基于金属切削加工中产生强迫振动现象的数学应用与研究

董冠文，李自勇*

（甘肃机电职业技术学院，甘肃 天水 741001）

强迫振动是在外界周期性干扰力持续作用下，振动系统被迫产生的振动。它是靠外界振动源补充能量来维持振动的。金属切削加工中产生的强迫振动不会迅速衰减，而是一种危害较大的振动。不论是金属的精密加工还是一般切削加工，强迫振动往往是影响加工质量及生产效率的关键问题。据不完全统计，在金属切削加工过程中，强迫振动要占到30%[1],是不可避免的。因此，工程技术人员很有必要学习有关数学知识来研究金属在切削加工过程中产生强迫振动机理，掌握强迫振动的发生和变化规律，探讨如何提高工艺系统的抗振性和积累消除振动的经验措施，使金属工件的切削加工过程，既能保证较高的生产率，又可以保证金属工件的加工精度和表面质量，这对金属切削加工的相关研究和实践具有现实意义。

1 强迫振动数学模型的建立[1]

图1 强迫振动的模型图

如图1（a）所示，一台电动机安装在一简支梁的中部，以ω的角速度旋转时，由于电动转子不平衡而产生离心力P0，则P0沿着X方向的分力，为该系统外界周期性的干扰力。在这一干扰力的作用下，简支梁将做不衰减的强迫振动。为了便于研究，我们将上述实际的振动系统简化为图1.（b）所示的单自由度欠阻尼强迫振动系统的振动模型。在此系统上除了弹性恢复力kx及阻尼力作用外，还始终活跃着一个简谐激振力。

由牛顿运动定律，建立该系统的微分方程为：

则（1）可以改写为以下形式

这是一个非齐次二阶常系数线性微分方程式，（1-2）对应的齐次方程为

（3）是一个二阶常系数线性齐次方程，其特征方程为

将上式改写成如下形式：

记为

把上述第二个方程的两端除以第一个方程的两端，得

因为

根据非齐次二阶常系数线性微分方程式（2）右端，它有形如

为了求出E,F,将x1代入（2）比较系数即可，为此先来计算

将上式各式代入（2），比较系数可得方程组

因为

故有

因而，所求特解为

上述表达式可以写成如下形式

记

表达式

称为相位差。（2）的通解为

从（7）可以看到，金属切削产生强迫振动由两部分组成，第一部分是欠阻尼的自由振动，它是系统本身的固有振动，它随着时间的增长而衰减，经过一段时间，振动消失，第二部分是外力引起的强迫振动项，它的振幅不随着时间的增长而衰减。

2 强迫振动项的研究

金属切削产生强迫振动时，由于经过一段时间，衰减振动很快就衰减掉了，而强迫振动一直持续下去，形成振动的稳定过程。以此我们来分析这一项。

记

为静变位

为频率比

为阻尼比

有

引入放大系数R则

图2 响应曲线图

图3 响应曲线图右侧局部放大图

图4 响应曲线图左侧局部放大图

3 共振的研究

金属切削产生强迫振动时，最值得研究的问题是什么情况下，放大系数达到最大值，此时振幅最大。为此，对（8）求导令：

图5 共振下的响应曲线图

4 结语

本文应用相关数学知识详细分析研究了金属切削加工中产生强迫振动现象，工程技术人员在切削加工金属工件时，应避开共振区，避免造成安全事故。