时标上指数函数的符号变化规律

黄星寿, 王五生

(河池学院 数学与统计学院，广西 宜州 546300)

Hilger[1]在1988年首先提出了时标上动力系统理论，把连续型和离散型动力系统统一起来研究。之后,许多研究人员研究了不同类型的时标上的动力系统[2-5]。时标上的动力系统具有广泛的应用,它可以用来研究生物模型、热传导模型和传染病模型等参见文献[6-8]。

1 预备知识

ξh(z):=Ln(1+zh),

(1)

其中Ln是自然对数。当h=0时，对任意z∈C有ξ0(z)=z。

注对于任意复数z∈C自然对数Lnz=Ln|z|+iarg(z),arg(z)是复数z的主幅角-π≤arg(z)≤π。对于任意正实数a,有Lnz=lna,Ln(-a)=lna+iπ。

定义6如果p∈R,我们定义指数函数为

(2)

注由柱变换定义(1)式和指数函数定义(2)式，我们可以推出：当μ(τ)>0时，(2)式改写成

(3)

(4)

引理1如果p,q∈R,指数函数有下列性质

(i)e0(t，s)≡1andep(t，t)≡1；

(5)

(ii)ep(σ(t)，s)=(1+μ(t)p(t))ep(t，s)；

(6)

(iii)ep(t，s)ep(s，r)=ep(t，r)；

(7)

(8)

ep(t，t0)=α(t，t0)(-1)nt，

(9)

其中

(10)

(11)

2 指数函数的符号变化规律

在文献[9]的基础上，利用前面给出的定义与引理研究了下面的定理。

证明(i)因为1+μ(t)p(t)>0，Ln(1+μ(t)p(t))=Ln(1+μ(t)p(t))∈。由指数函数的定义和柱变换定义看出ep(t，t0)>0。

(ii)由引理1中的(ii)可以推出ep(t，t0)ep(σ(t)，t0)=(1+μ(t)p(t))ep(t，t0)ep(t，t0)，故当1+μ(t)p(t)<0时，ep(t，t0)ep(σ(t)，t0)<0。

…

(ii)如果|T|=N∈,则对所有1≤i≤N-1在[σ(ti),ti+1]∩上有(-1)iep(·，t0)>0成立,在[σ(tN)，∞]∩上(-1)Nep(·,t0)>0成立。

ep(t1,t0) =ep(t1,ρ(t1))ep(ρ(t1),t0)

=[1+μ(ρ(t1))p(ρ(t1))]ep(ρ(t1),ρ(t1))ep(ρ(t1),t0)

=[1+μ(t1)p(ρ(t1)]ep(ρ(t1),t0)>0。

(12)

(-1)i+1ep(t,t0) =(-1)i+1ep(t,σ(ti+1))ep(σ(ti+1),t0)

(13)

(ii)如果|T|=N∈,由上面的证明可知对所有1≤i≤N-1，在[σ(ti),ti+1]∩上有(-1)iep(·，t0)>0成立。从而有(-1)N-1ep(tN,t0)>0,进而有(-1)N-1ep(σ(tN),t0)<0。在[σ(tN)，∞)∩上由引理1和指数函数ep(t,t0)的定义6知

(-1)Nep(t,t0) =(-1)Nep(t,σ(tN))ep(σ(tN),t0)

(14)

(iv)如果|S|=M∈，则对所有1≤i≤M-1在[σ(si+1)，si]∩上有(-1)iep(·，t0)>0，在(-∞,sM]∩上有(-1)Mep(·，t0)>0。

(15)

ep(t,t0) =ep(t,ρ(s1))ep(ρ(s1),t0)

(16)

(-1)i+1ep(t，t0) =(-1)i+1ep(t,ρ(si+1))ep(ρ(si+1),t0)

(17)

(iv)如果|S|=M∈,由上面的证明可知对所有1≤i≤M-1在[σ(si+1,si)]∩上有(-1)iep(·，t0)>0。从而有(-1)M-1ep(σ(sM),t0)>0，进而有(-1)Mep(sM,t0)>0。因对于任意t∈(-∞,sM)∩有由引理1和指数函数ep(t,t0)的定义6知

(-1)Mep(t,t0) =(-1)Mep(t,ρ(sM))ep(ρ(sM),t0)

(18)

综上证明了：如果|S|=M∈，则对所有1≤i≤M-1在[σ(si+1,si)]∩上有(-1)iep(·，t0)>0，在(-∞,sM)∩上有(-1)Mep(·，t0)>0。

ep(t,t0) =ep(t,ρ(t1))ep(ρ(t1),t0)

(19)

3 指数函数的应用

研究生物问题、热传导问题和电路问题时可以建立时标上的动力系统模型,有时时标上的动力系统模型又可以简化为时标上的一阶线性动力系统方程初值问题。

yΔ(t)=p(t)y,y(t0)=1,

(20)

(21)

Δy(t)=p(t)y(t),y(t0)=1,t∈N,

(22)

因为知道了指数函数ep(t1,t0)的变化规律就可以知道生物、热传导和电路的变化规律，因此我们研究指数函数ep(t1,t0)的变化规律是有意义的。