参数激励和强迫激励联合作用下的系统的分岔分析

摘要：本文应用多尺度法得到了系统的振幅方程和频率响应方程，并根据奇异性理论讨论了系统的分岔类型，得到了这类非线性系统发生分岔的条件。

关键词：多尺度法；分岔；参数激励

引言

参数激励和强迫激励联合作用下的非线性系统，具有十分丰富的动力学性能，长期以來一直受到广泛关注.文献研究了非线性方程在亚谐共振和非共振情况下的分岔问题；文献研究了参量激励的振子在非亚谐共振和非共振情况下的分岔特性.本文研究如下非线性系统：

（1）

其中 ， ， 均为参量.

1、分岔响应方程

对于系统（1）引入小参数 ， ，并令 ，则系统（1）变为：

（2）

不妨设 ， ，对于系统（2）应用多尺度法，将 展开成 的幂级数 ，其中 于是得到

（3）

（4）

（5）

设方程（3）的通解为 ，将 代入方程（4），消去永年项，得到 ， 将 代入方程（5），为消去 中的永年项，得 （6）

（7）

由方程（6），（7）可知，若系统存在稳态解，则必有 ， 为常数.因此稳态解存在的条件是： ，即 ，换句话说，仅当激励是周期激励时才会有稳态运动产生.

令 ，则方程（6）（7）可写为

（8）

（9）

对于稳态运动， ，则

（10）

（11）

于是得到了系统（2）的分岔响应方程.

2、分岔特性分析

设 是由方程（10）（11）所确定的稳态解，令 ，其中 是扰动变量.把 代入（8）（9），注意到 是方程（10）（11）的解，于是得到扰动方程

易知其的系数行列式的特征方程为 ，其中

于是有

（1） 时

时，特征值是一对互异的正实根，不动点是不稳定的结点.

时，特征值是一对互异的负实根，不动点是稳定的结点.

时，特征值是一对异号的实根，不动点是鞍点.

（2） 时

时，特征值是一对相等的正实根，不动点退化为不稳定的临界结点.

时，特征值是一对相等的负实根，不动点退化为稳定的临界结点.

（3） 时

时，特征值是一对实部为正的共轭复根，不动点为不稳定的焦点.

时，特征值是一对实部为负的共轭复根，不动点是稳定的焦点.

时，特征值是一对纯虚根，不动点为中心.

由上面的分析，可以知道当 时，系统产生亚临界的霍普夫分岔，当 时，系统产生超临界的霍普夫分岔.系统的稳态解的稳定性同时也发生变化，由稳定的变为不稳定的.

参考文献：

[1]张冬梅，李凤伟，徐涵.一类含参数激励和强迫激励的时滞反馈系统的分岔分析.徐州师范大学学报，2007，25（2）：28-30

[2]陈予恕，Langford W F.非线性马休方程的亚谐分解及欧拉弯曲问题.力学学报，1998，20：522-532

[3]彭解华.参数激励Van der pol-Duffing系统的非共振与共振分岔.邵阳师范高等师范专科学校学报，2000，22：53-57

作者简介：于霞，女，1976年12月生，山东聊城人，讲师，主要从事非线性分析研究。