关于研究生图论教学的研究

摘要：《图论及其应用》是我校数学系研究生的一门基础选修课，选修的同学来自多个专业方向，存在基础不同，研究方向迥异等诸多问题。论文分析了上这门课时遇到的问题，并提出解决方法，希望能提高教学效果。

关键词：图论；研究；教学模式

一、引言

图论是研究由若干点及连接点的边所组成的图的科学，是数学的一个分支，属于应用数学的一部分。图论是一门古老而又新兴的科学，它的起源很早。早在1736年，著名的科学家欧拉在哥尼斯堡七桥问题[1]上就用图的方法解决这个问题，并开创了一门学科——图论。虽然在欧拉发表奠基性论文之后的几百年时间，图论发展非常缓慢，很多问题都是围绕游戏展开，如迷宫问题，博弈问题，棋盘上马的行走问题等。直到十九世纪中叶，图论问题大量出现，如四色问题，汉密尔顿问题[2]等，并且以图为工具解决了其他领域的问题。随着上世纪七八十年代科学的发展，在生产管理，交通运输，军事，计算机等领域提出了很多离散问题，促进了图论的发展。所以现在图论知识涉及到各个领域，有着举足轻重的地位。

我校数学系开设《图论及其应用》这门基础选修课[3]，是希望同学能掌握基本的图论知识，学会图论中的算法，并灵活掌握解决图论问题的方法。在讲授这门课的时候，发现同学存在基础差异巨大、研究方向迥异、对图论应用缺乏了解等诸多问题[4]。

二、图论教学中存在问题分析

1、同学基础差异较大

学校的研究生本科阶段在不同的学校学习，各校的培养计划不同，所学的知识也不同。有些学校将图论列为必修课，所以这些同学在本科阶段已经有了系统的学习，对图论的基本概念，重要定理，主要方法已经有了很好的掌握，基础较好。另外一部分同学所在学校仅开设了《离散数学》，或者将图论列为选修课，同学重视程度不够，所以虽然了解一些相关概念，但是基础不佳。最糟糕的是极少数同学在本科阶段没有学习过任何图论有关的知识，所以同学的基础为零。同学基础差异太大，给图论的教学带来了很大麻烦。

2、同学自身学习能力不足，对图论这门学科的应用背景不了解

研究生阶段是一个深层次学习的阶段，不同于本科阶段的学习，要求同学有一定的自学能力和研究能力，上课也不会像本科上课那样讲得很细，更多需要引导同学自己去思考，具备独立思考和解决问题的能力。对同学的学习要求较高。同时同学思维固化，觉得跟数学相关的学科都没有什么实用性，学了没用。学习缺乏积极性和主动性，也是同学学好图论的拦路虎。

3、图论本身知识结构复杂，内容多，覆盖面广

图论本身脱胎于实际问题，一开始人们的研究也是从游戏开始的。很多概念名称都是从外国文献中翻译过来，所以造成不同图论书存在概念名称不统一，符号表示不一致等问题。同一个概念在不同的书中用不同的符号表示，同一个名称在不同的书中表示不同的概念。比如二部图、偶图、二分图在英文中都是bipartite graph。又比如“环”，在一些教材中表示两个端点重合的边，而在另外一些教材中表示顶点数与边数相等的图。这些都给同学们自主学习带来一定的困难。同时图论概念定理比较多，看着接近，实则不同，容易混淆，不利于记忆。另外图论的证明方法多样，比较灵活，难度较大。所以同学们在学习过程中普遍反映能看懂证明过程，但自己想不到，做不来。

4、研究方向不同，学习侧重点不一样

研究生阶段学习时间紧张，任务较重，加之图论内容多，覆盖广。本身这门课是选修课，所以他们不可能对每个课题都感兴趣，而会选择跟自己的研究方向较近的，或者在研究过程中需要用到的内容去深入研究，而其他内容则泛泛而读，这种现象也不利于学好图论。

三、图论教学的改进意见

在认识到了问题所在，对于图论的教学，我们从提高学习兴趣，改革教学模式等方面著手，以提高同学的学习效果，提高教学质量。

1、提高学习图论的兴趣

“兴趣是最好的老师。”这句话是对兴趣在学习中的作用的最好诠释。我们首先要做的就是激发学生的学习兴趣，提高他们的求知欲。图论本身就是跟生活最接近的数学分支之一，它的应用非常广泛。最开始可以抛开理论，先介绍图论的应用背景，让他们知道图论是有用的学科。可以从一些经典的问题出发，比如排课问题，货郎担问题，四色问题等等，激发他们的学习兴趣。

2、改变教学模式，安排学生讲解，提高自主学习能力

由于图论的一些基础知识具有内容通俗易懂，上手容易的特点，所以可以在开学初，将同学分成若干小组，每组3人，选择一些课题，让小组成员学习，然后讲解。这既提高了他们自主的学习能力，也能在小组之间产生讨论的氛围，培养研究精神，比较符合研究生的培养特点。同时也可以弥补不同基础层次同学之间的差异，形成基础好的同学带动基础差的同学，最后达到共同进步。

同时教学和练习相结合，课堂上既有讲解，也可适当安排练习，当场熟练所讲内容。同时安排课后的思考题，思考题难度较大，有利于同学巩固所学，提高学习能力。

3、教学内容与实际相结合

所谓的教学内容与实际相结合，包含两个含义：既是教学内容与学生所学专业相结合，也可以教学内容与实际应用相结合。让同学分组讲解内容，在课题选择时要有针对性。比如对于运筹方向的同学，可能对图论中涉及到的一些算法比较感兴趣，所以可以分配最短路算法、最大匹配算法等算法方面的内容；对于优化方向的同学，可以自学网络优化方面的内容，再讲给大家听。这样既可以提高他们的积极性，也便于学以致用。同时注重教学与实际相结合，培养同学发现问题的能力。将实际问题转化为数学模型，并用数学模型解决是图论的应用之一，培养同学建模能力。

四、结束语

研究生学习阶段，是一个深度学习的阶段。它在学习内容、学习方法、培养模式等方面跟本科生阶段都有很大的不同。研究生的图论教学，有其特殊的地方，如何结合研究生的特点更好的设计教学方法，提高教学效果，需要我们进一步探索和讨论。

参考文献

[1]Douglas B. West，图论导引（第2版）[M]，北京：机械工业出版社，2006.

[2]J.A.邦迪，U.S.R.莫蒂，图论及其应用[M]，北京：科学出版社，1984.

[3]张清华，图论及其应用[M]，北京：清华大学出版社，2013.

[4]罗文昌，关于图论教学的一些有益尝试[J]，大学数学，2014年12月，第A01期.

作者简介：沈健，1981年11月，男，汉族，籍贯：江苏省苏州市，研究生学历，讲师，应用数学，研究方向：图论，单位：杭州电子科技大学。