基于孔结构分形维数的水泥基材料宏观性能的研究

金仁东,许修超,林清辉

(台州职业技术学院 建筑工程学院,浙江 台州 318000)

1 引言

水泥基材料是一种多孔介质,其内部微观孔隙结构特征决定着材料的力学和耐久性等宏观性能。因此研究水泥基材料微观孔结构有助于进一步分析宏观性能的变化机理和预测相应的变化趋势。传统的SEM只能定性地反映多孔材料内部的孔隙结构,而分形理论则可以通过分形维数来量化孔结构的复杂性。另外工程中常用的水泥基材料,其孔结构在孔隙体积、孔形、孔隙通道和面积方面都表现出明显的分形特征,因而孔结构和宏观性能的研究就具备了新途径。近年来,众多学者借助分形理论开展了水泥基材料微观孔结构和宏观性能的理论和试验研究。随着对孔结构和分形理论的深入研究,基于孔结构分形维数的水泥基材料宏观性能的研究取得了长足的进展,也逐渐成为水泥基材料孔结构性能研究的重要方向。

2 分形及分形理论概况

2.1 分形

分形是美国教授B.B.Mandelbrot在1973年根据拉丁语Frangere这一词汇创造得到的,其本来的意义为支离破碎的、不规则的和分数的物体[1]。与此相关的分形几何学则是一门研究非规则几何形态的学科,而自然界普遍存在不规则物体和相关现象,因而它又是一门描述大自然的几何学。它的研究对象主要为处处不规则、处处不可微、复杂并具有自相似性的几何体。分形结构的几何体一般具有的特征：①具有不规则性,其局部和整体均无法通过几何语言进行描述；②具有精细的结构,无论在何种尺度下它都是复杂的；③具有自相似性,这种自相似性可以被统计亦可以是近似的[2]。

2.2 分形理论的历史沿革

经典的欧式几何对诸如汽车、飞机、建筑等人造物体可以用直线、方形、圆圈、立方体、球体等规则几何形状加以描述,但遇到自然界中许多复杂非线性的山川景色、岩石结构、海岸边界等真实事物却无法通过传统的几何学去描述和解决[3]。其中分形理论是研究此类问题的重要工具,它源于“大不列颠海岸线有多长”的课题研究。分形几何学创始人B.B.Mandelbrot将相关研究者对于该课题的早期结论与周长无限的结构进行联系,发现了整体和局部形态之间相似的性质。此后,Mandelbrot在1967年发表在《科学》上的论文“英国海岸线有多长”引起学界的高度重视；在1973年首次在法兰西讲学中提出分形几何学的概念；在1977年出版的著作《Fractal, Form, Chance and Dimension》又创造了“fractal”一词,标志着分形理论的诞生[4]。近年来,因分形理论可以较为精确的描述被研究对象的复杂不规则性这一特点,所以随着学科之间的交叉发展,它被各学科广泛借鉴而应用于生物、物理、化学、材料学、断裂力学、勘探等多个工程领域之中,也成为目前学界的热门课题。

3 孔分形维数

分形维数是一种能量化分形特征的重要参数,它能够定量的表征一个复杂体系的不规则性和复杂程度。习惯上常说的维数是欧几里得空间维数,常用来确定几何图形和空间物体定位所需的独立坐标数目,它所体现的维数数值为整数。分形理论则认为空间维数是连续变化的,它可以是整数也可以是分数。分形集的维数有多种定义,如盒维数、信息维数、关联维数、容量维数等,而Hausdorff维数则是其中最具代表性的维数,也可以称为分形维数。以下是根据不同分形模型所确定的各种与孔结构相关的分形维数。

3.1 孔表面积分形维数

根据Menger海绵模型来模拟混凝土中的孔结构：将边长为R的初始立方体等分成m3个边长均为R/m的小立方体,然后以一定的规则随机取出其中n个立方体,剩余立方体数目为N1=m3-n。按此方法经过k次迭代后,余留的小立方体边长rk=R/mk,相应数目为Nk=(m3-n)k。

分形维数和立方体数目的关系式为：

Nk=(rkR)-D

(1)

式中：D为分形维数,D=lgN1/lgm。

那么相应余留的立方体体积为：

(2)

转化得：

(3)

基于Menger海绵模型所确定的孔表面分形维数一般研究的对象是中低强度等级的水泥基材料,若遇到高强水泥基材料适用性不强。张宇等就该问题进行研究,根据压汞法中外界环境压汞的功等于入孔汞液表面能的增加而建立了基于热力学关系的分形模型,相应关系式为：

lnWn=lnQn+lnC

(4)

式中C为常数,Wn和Qn为通过压汞试验数据计算得到。另外将Qn和Wn取对数后绘制曲线图,若该曲线斜率趋近于1时,则表明式中所含的D为相应试样的表面积分形维数,否则需重新假设并计算直至曲线斜率约等于1为止。另外式(4)因多次迭代循环拟合致计算量过大,进而简化可得：

(5)

式中Vn为进汞总量,δn为第n次进汞相应的孔径。利用此式进行线性回归,确定相应斜率即为简化后高强水泥基材料的孔表面积分形维数D。

孔表面积分形维数随着孔表面积、中值孔径和平均孔径的增大而增大,它与孔隙率结合使用可更为合理高效地表征高强水泥基材料的孔结构情况[5]。

3.2 孔体积分形维数

Ji等人基于水泥混凝土水化反应的特点构建空间填充模型：将1m3的立方体作为初始单元并等分为m3个相等的小立方体,为模拟水泥水化过程而按一定规则填充其中n个立方体,剩余未被填充的部分则视为孔隙,此部分立方体数目为m3-n。据此规则经历k次迭代并根据分维定义得到空间填充模型的分形维数D=lg(m3-n)/lgm,同时结合压汞测孔法建立分形维数和孔隙体积的关系,经过一定的推导得到：

lgV=lgt+(3-D)lgr

(6)

将压汞数据按照式(3)绘制相应曲线,孔体积分形维数D的数值即为该曲线斜率[6]。

然而空间填充模型的模拟过程与压汞测孔之间存在一定的差异,那么直接由压汞仪得到的数据关联至该模型进而求得的分形维数也会存在一定的误差,并影响后续分析的精准性。相比之下,Menger海绵模型在一定程度上与压汞测孔法在过程上更为接近。因此对式(1)亦可推导出：

lgVk∝(3-D)lgrk

(7)

然后利用压汞数据求得Vk和rk并据式(7)绘制函数曲线图,则该曲线斜率即为孔体积分形维数。

水泥基材料的孔体积分形维数和孔结构参数相关性良好,该分形维数越大,则该孔隙率越高、中值孔径越大,抗拉压强度越小。所以,孔体积分形维数既能有效评价微观孔结构特征,又能合理反映宏观力学性能。

3.3 孔轴线分形维数

前文所述Menger海绵模型,空间填充模型和基于热力学关系的分形模型所考虑的混凝土孔隙通常是平滑直线型的圆柱孔,而实际上孔隙一般是非平滑的曲线型复杂孔。为形象描述其迂曲程度,以更接近真实情况的Von Koch曲线特征模型为基础如图1所示,构件孔轴线分形维数模型具体过程如下：

将长度为1的直线初始单元按照一定规则等分得到N个小直段,每段长度为1/m,则相应曲线长度为L1=N/m,以这样的操作经过k次迭代后得到最终曲线长度为Lk=(N/m)k。同时依据分形维数相关概念得到曲线长度关于分形维数的函数表达式为：Lk=(1/mk)1-D。结合压汞法试验原理可导出：

(8)

图1 Von Koch曲线特征模型

4 研究现状

4.1 力学性能方面

2003年,李永鑫等通过建立适用于水泥基材料的Menger海绵分形模型,并结合MIP实验数据回归分析得到粉煤灰-水泥净浆的孔体积分形维数,重点分析了分形维数与孔结构参数之间的关系,并初步探讨了分形维数与相应砂浆强度的关系,研究表明粉煤灰-水泥砂浆抗折及抗压强度随孔体积分形维数的增大而增大[7]。2006年,尹红宇设计了对不同配比混凝土试件分别进行压汞和单轴受压试验研究,得到孔隙体积分形维数和孔轴线分形维数与混凝土抗压强度关系散点图相关性良好,表明混凝土抗压强度可用孔结构分形维数来评价[8]。2007年,喻乐文等通过压汞法测得掺珍珠岩水泥石孔结构参数,结合Menger海绵模型计算出相应孔体积分形维数,并着重分析了该分形维数与微观孔结构参数与宏观力学性能之间的关系,结果表明它与抗压强度成反比,同时也可综合评定水泥基材料的微观孔结构[9]。2014年,周明杰等借助MATLAB编写程序并基于盒计数法原理计算得到不同粉煤灰掺量下泡沫混凝土的分形维数,另外将同等情况下的抗压强度与之关联对比研究,结果表明泡沫混凝土的分形维数和抗压强度拟合良好,也说明分形维数可用于泡沫混凝土力学性能指标的预测和控制[10]。2016年,韦庭丛等通过压汞法和Menger海绵模型计算出漂珠低密度水泥石孔体积分形维数,探讨了该水泥基材料的孔体积分形维数和力学性能的关系,得出其抗拉压强度随着孔体积分形维数的增大而减小的结论,表明孔体积分形维数能在一定程度上反映水泥基材料宏观力学性能的优劣[11]。

4.2 耐久性方面

2005年,唐明等以Menger海绵模型为基础结合压汞测孔试验计算混凝土冻融循环后的孔隙分形特征,得到C40的普通混凝土和高性能混凝土在250次冻融循环后孔隙体积分形维数较受冻前明显降低[12]。2009年,尹红宇等结合压汞试验和Menger海绵分形模型研究了碳化后水泥砂浆的分形特征,结果表明水泥砂浆孔结构具备多重分形特点,其中凝胶孔孔隙体积分维降低,而毛细孔和大孔等有害孔体积分维增大[13]。2010年,张建波等利用压汞法和Menger海绵模型定量研究含矿物掺合料混凝土孔体积分形维数,并据此探讨了掺加不同矿物掺合料条件下混凝土氯离子渗透性与孔体积分形维数的关系,结果表明两者之间相关性良好,且成反比关系,另外掺加掺合料活性越大,两者负相关性越明显[14]。2011年,杨帆引入分形理论,从孔隙通道屈曲分形维数Dτ和孔隙分布分形维数D入手研究水泥基材料的渗透性和孔隙复杂程度的关系,结果表明混凝土渗透率与孔隙分布分形维数D成正比,而与孔隙通道屈曲分形维数Dτ成反比[15]。2017年,邓雷等基于分形理论并通过MIP法求得锂渣混凝土孔分形维数,并得出锂渣混凝土气体渗透性与孔轴线分形维数相关性较差,而与孔体积分形维数相关性较好的结论[16]。

5 结语

通过以上综述内容发现,经过国内外研究者的共同努力,在水泥基材料孔结构分形方面的研究已经已取得了一定的进展,在此基础上也有众多学者初步探讨了水泥基材料宏观性能和孔结构分形维数的相关关系,并取得了一定的研究成果,然而归纳现有成果发现,在这方面的研究仍然存在以下方面需要进一步研究：

(1)不同的分维模型因测试理论和结构参数的不同导致求得的分形维数差异较大,即使同一分维模型也因研究者关于物理意义和公式参数的理解差异而造成分形维数仍有计算偏差,因此进一步统一分维模型和强化理解是一项重要工作。

(2)绝大多数研究者关于水泥基材料孔结构分形维数和宏观性能研究的重点偏向分形维数的求解上,对于如何定量反映分形维数和宏观性能的相关关系缺乏深入研究。

(3)水泥基材料宏观性能中的耐久性是目前研究的重点,尤其是其中抗冻、抗渗方面如何通过分形维数建立与孔结构的定量关系尤为重要,所以水泥基材料耐久性和孔结构分形维数的关系方面仍然有较大的研究空间。