试论多项式综合除法在中学函数中的应用

摘 要：多项式综合除法是高等函数中矩阵算法的简单化，能够有效帮助学生求解多项式函数，但是理解难度较大，想要学生转变函数思想来接受多项式综合除法的解题方式较为困难，但只要学生接受了多项式综合除法的使用，将会优化解题方式，有助于加深对函数的理解。笔者从多项式综合除法的角度出发，明确了综合除法的概念以及用于中学函数的一般解题步骤，探究多项式综合除法在多种题型中的应用。

关键词：多项式综合除法；高中函数；矩阵算法

在中学数学学习中，函数作为学习难度较大的部分，也是高考考察的重點，应引起学生的高度重视。由于部分多项式函数求解难度较大，而高中生接触到的数学解题方法较为繁琐，因此要结合高等函数的解题方法，在一定的程度上对中学函数解题方式进行优化。从本质上来看，多项式综合除法运用了矩阵算法，将多项式函数运算进行了简单化，进而达到良好的解题效果。对于高中生来说，善用数学思维并巧用解题方法，能够大大提高解题效率，提高学生的得分率。因此，对多项式综合除法的研究具有重要意义。笔者从多项式综合除法出发，对其在高中函数中的应用进行深入探究，为现代高中生学习提供借鉴。

一、 多项式综合除法概述

综合除法是一种相对简单的除法运算，通过乘法与加法两种方式可以得到多项式处以（x-a）的商式与余式。运算的过程中，除式通常为一次式的快速除法并按照原式、计算式、结果式、商式、余式进行排列。具体的做法为首先将函数的系数进行分离，缺少的项系数为0，并排列最后写出除式的根c。而后，将最高次项系数1直接写在结果列第一个，而后根据除式商的根，在得到的系数放在计算列的位置，最后将原式列与计算列进行相加，得到结果列。结果是按照列的顺序依次算出，在进行相加之后，再乘以除式的根，将结果放在计算列右上的位置，直到计算完成。如果结果列最后一位为余数，也会作为f（c）的值，且该值的上一个值为商的系数。为了避免将系数与除式根之间计算混淆，一般在计算得过程中会添加区分记号，在余数与商之间也是一样，同样会用区分记号标记。此时并没有计算完全，只是完成了一半，要根据一个特定的综合除法定理，来计算（ax-b）除式。如果除式为（ax-b）的商等于除式为（x-a）的商，则余数相同。利用该定理来对多项式进行计算，就能够快速得到真正的商值，达到快速计算的目的。如果在进行计算的过程中，一个多项式除以另一个多项式的余数为0，则认为该多项式可以被除式整除。

通过对以上计算过程以及定理进行分析，能够得到多项式综合除法的一般步骤，为了让高中生更加容易理解以及掌握该计算方法，具体将计算过程分为以下四步：

1. 对原式与除式按照某个字母进行优化排列，按照该字母的降幂依次写出，并用系数0补出缺少的项。

2. 从排列好的第一项开始，用除式去除原式，并得出商式。

3. 用除后的商式去乘除式，将得到的结果写在原式下面对齐，而后从原式中，减去得到的乘积。

4. 将减去乘积后的差，作为新的原式，重复1～3的计算步骤，继续对计算结果进行推演，直到余式为0，或者余式的次数低于除式的次数。此时，原式等于除式乘以商式加上余式。

二、 多项式综合除法的应用

通过对多项式综合除法的计算过程以及涉及的定理进行概述，能够看出采用多项式综合除法，对高中生函数学习来说，能够优化部分多项式的计算，节省解题时间。多项式综合除法在计算多项式的值、分解因式、求解函数值、求解高次方程、多项式的变形、有理函数积分等均可以应用。以下对多项式综合除法的计算应用方法进行简单介绍。

（一） 求解函数值

部分多项式在计算的过程中，运算量较大，尤其是对于高次幂多项式来说，会耗费大量的解题时间，且在大量的计算过程中很容易出错，降低分值。因此，针对在对多项式函数f（c）的值进行计算的时候，可以采用综合除法，将f（x）写成（x-c）的多项式形式，得到的余式就是所求f（c）的函数值。采用综合除法来计算多项式的值能够大大减少计算量，培养高中生更好的矩阵算法思维，对其他数学题型的计算也具有一定的帮助。

（二） 因式分解

因式分解在函数解题中至关重要，然而对于高次幂多项式的因式分解来说，简单的十字交叉法，采用多项式综合除法以及其中的定理，能够快速解决高次幂多项式求解问题。同时，可以利用多项式综合除法来解决多项式中求解有利根的问题。

（三） 求解整系数多项式

在除式为高次项多项式的时候，想要采取简单的计算方法难以进行，因此可以将综合除法中对（x-c）除式计算的方法进行推广，使其能够提高多项式求解的可操作性，便于高中生求解整系数多项式。

三、 结论

笔者通过对多项式综合除法的解题步骤以及应用方向进行探究，为现代高中生解题提供了良好的思路与解题方法，能够大大提高部分题型的解题速度，培养高中生良好的矩阵算法思维，为高等数学的学习打下坚实的基础。

参考文献：

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作者简介：

蒋艳燕，中学二级，浙江省金华市，浙江省东阳市南马高中。