无心插柳柳成荫

李光平

摘要：因为一次备课不够严谨，导致选择了一个错误的例题带到课堂上让学生解题；但庆幸的是，学生发现了命题的科学性有问题，并提出了四种反驳理由，把原本平淡无奇的课堂推向了一个又一个思维高峰。

关键词：反驳；科学性；思维

原景再现：这一天是2018年4月23日，不是什么具有特别纪念意义的日子，但是这一天却让我印象如此深刻——我居然拿着一个错误的例题给学生做，更没想到学生的出色表现让我惊讶不已。

例题（选自东博文化传媒《高职考专项突破训练优化解析》数学复习第二轮P115例4）

已知椭圓的焦点是F1（-2，0），F2（2，0），P是椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项.（1）求椭圆的标准方程；（2）若∠F1PF2=90°，求△F1PF2的面积。

第一小题，学生快速求出椭圆的标准方程为x2/16+y2/12=1。第二小题看着学生素手无策的神态，于是我很得意地在黑板上讲思路分析，讲解题技巧，讲解题反思。

第（2）题参考答案∵∠F1PF2=90°，∴由勾股定理得|PF1|2+ |PF2|2=|F1F2|2=16

又|PF1|+|PF2|=8，两边平方得|PF1|2+2|PF1||PF2|+|PF2|2=64

∴|PF1||PF2|=24，∴△F1PF2的面积S=1/2|PF1||PF2|=12，

我讲得是那么地投入，突然下面吕**同学冒出一句“老师，答案好像不科学？”“啥？对我的解题有疑义。”我谨慎地带领学生仔细梳理了一下黑板上的解题过程。“No problem！Are you sure？”我对着提出问题的学生发问。吕同学有点迟疑。“我也说不好。我不是像你那样解的。我是把列出的两个等式解方程组来算，发现代入消元后的方程中，根的判别式小于零。这不应该是无实数解的意思吗？但是我又说不出你黑板上的方法有什么问题！”我一听，学生的思路也没有丝毫问题。不好，今天要出大事了，我心里暗自想，眼睛又快速地看了一下黑板上的椭圆图象，还真有问题，求出的面积根本不可能做到。

我缓缓转过身，眼光很严肃很认真地扫过每一位同学，说：“吕同学的观点是（故意拉长声音）：正确的（脸上绽开笑容）”！你非常棒（竖起大拇指）。“编者把这样一个错误的题目编入复习课本是一个重大的科学性错误，而老师选题时没有对题目的科学性产生任何怀疑是老师的失误。庆幸的是，今天，你们发现了错误并勇敢的提出质疑，老师为你们在解题时具有的这种严谨性和批判性表示赞赏。那么，除了用吕同学的观点反驳例题的科学性错误外，其他同学还有什么不同的观点来说明例题的科学性错误”。

话音刚落，柯同学就举手了。“诶，你怎么可以这么快就想到了”。“其实，您刚才在黑板上讲解过程时，我就觉得答案不可能，但是找不出你解题的漏洞，所以我又不敢讲出来”。

柯同学的反驳理由：点P可以理解为椭圆上的一个动点，当P运动到短轴端点时，△F1PF2的高最大，而底边|F1F2|=4在点P运动过程中始终保持不变，那此时的△F1PF2面积最大，且最大值为

，所以

=12不可能。

除了以上两种反驳观点能说明本例题（2）出错外，其他同学还有没有不同的反驳理由要补充。让学生思考2分钟后，又有两位学生提出了自己的观点。

黄同学的反驳理由：假设参考答案中△F1PF2的面积S=12成立，因为|F1F2|=4，所以点P到|F1F2|的距离为6

（短半轴长），所以点P必定在椭圆之外，这与已知点P是椭圆上的一点相矛盾。

杨同学的反驳理由：因为|PF1|+|PF2|=8，所以由均值定理得|PF1||PF2|≤[（|PF1|+|PF2|）/2]2=（8/2）2=16

这与参考答案中|PF1||PF2|=24相矛盾。

教师小结：同学们的表现实在是太优秀了。真没想到一个看似可以做的题目居然是错的，更没想到你们竟然能找出这么多的方法来反驳这个题目的科学性错误。你们今天的表现恰恰体现了你们已经逐步具备了数学思维的严谨性、批判性、深刻性和广阔性。为你们的精彩表现表示祝贺！（全体鼓掌）换个角度看这个例题，如果不去追究它的科学性，那么在高职考复习中像椭圆的这种涉及“焦点三角形”的问题时，常利用椭圆定义和余弦定理（勾股定理是余弦定理的特殊形式）联立方程组，再通过将定义式两边平方后解题仍然是我们需要掌握的重要解题方法和技巧，请同学们仔细体会并掌握。

反思：教师在备课环节一定要本着严谨的态度去对待每一个例习题，尽量避免出现类似的错误；但如果意外不可避免地发生了，务必要冷静对待。著名思想家老子说过：“祸兮福所倚”。有时候意外情况的发生恰恰可能是一笔宝贵的教育资源，抓住契机，变废为宝才是我们教师应该培养和具有的教育智慧。虽然此题的科学性错误并对此进行的深入探讨研究打乱了原定的教学计划，但是在反驳例题科学性的过程中，学生的数学思维被充分调动，让学生的课堂学习主动性和发散辩证思维得到了完美的展现。一次无心之失，却获得盆丰钵满，真应了那句“无心插柳柳成荫”。