复合函数的高阶混合偏导数的简便算法

童昌林 蒋海军

摘要：本文将提出一种基于递推式的方法来巧求复合函数的高阶混合偏导数。然后通过论理证明该算方法的可行性以及相比于传统算法的简单性。最后将用具体的例子进行验证与对比。

关键词：复合函数;链式法则;高阶混合偏导数;似叉乘

一、 引言

偏导数（PartialDerivative）是一种特殊的极限，它反映了函数中因变量在某一固定方向随自变量的变化而变化的快慢程度，是全微积分中重要的基础概念，同时也是联系初等数学与高等数学的重要桥梁。在理论上，研究几何性质，证明不等式等方面扮演着重要的角色，在探究多元函数性质，寻求多元函数极值与最值以及描绘函数图形等方面也起着重要的作用。同时，在实际应用中，也提供了重要的方法和基本途径。例如求企业利润的最大化，生产耗材最少化，或效率最高化，位置最佳化等与经济或科学研究有关的问题，这些问题通常称之为优化问题。如何才能找到解决该类问题的最佳方案是求解该类问题的关键，而利用导数或偏导数就可以简捷地解决这些问题，从而真正解决我们的实际生活问题。无论是在实际应用中还是理论研究上，对复合函数的高阶混合偏导数的求解大都无法避免，因此对其求解方法的研究是有意义。

对于传统的求解法则来说，复合函数的高阶偏导数的求解过程比较复杂繁琐的，一般伴随着求导阶数的上升所用“链式法则”的次数成倍数性增长，所以复合函数的高阶混合偏导数的求解至少需要运用两次的 “链式法则”。对于初学者来说，往往感到求解过程复杂繁琐且正确率较低。因此，在这篇文章中，将提出一种求解复合函数的高阶混合偏导数的简便方法。该种办法只需要运用一次“链式法则”解出复合函数关于各变元的偏导数，然后通过我们约定的一些法则进行简单的运算即可得到答案。

二、 基本知识及相关法则约定

（一） 偏导数的定义

一般地，设f（x，y）是一个二元函数，定义在R2内某一个开集内，点（x0，y0）∈D。在f（x，y）中固定y=y0，那么f（x，y0）是一个关于变元x的函数，如果它在点x0可导，则称此导数是二元函数f（x，y）在点（x0，y0）关于x的偏导数，记为

fx（x0，y0）或fx（x0，y0）或fx′（x0，y0）

亦即

fx（x0，y0）=limΔx→0f（x0+Δx，y）-f（x0，y0）Δx

同样，在f（x，y）中固定x=x0，那么f（x0，y）是一个关于变元y的函数，如果它在点y0可导，则称此导数是二元函数f（x，y）在点（x0，y0）关于y的偏导数，记为

fy（x0，y0）或fy（x0，y0）或fy′（x0，y0）

亦即

fy（x0，y0）=limΔx→0f（x0，y0+Δy）-f（x0，y0）Δy

同样地，n元函数f（x1，x2，…，xn）的偏导数fxi（x01，x02，…，x0n）或fxi（x01，x02，…，x0n）或f′xi（x01，x02，…，x0n） （1≤i≤n）可以类似地定义。

（二） 高阶偏导数

就二元函数而言，设f（x，y）的两个偏导数fx（x0，y0），fy（x0，y0）都存在，显然，它们都是二元函数。如果它们关于x的偏导数存在，或者关于y的偏导数存在，就这些偏导数就是二阶偏导数，即

f关于x二阶偏导数，记为2fx2或fxx或f″x，

f关于y二阶偏导数，记为2fy2或fyy或f″y，

f先关于x后关于y二阶混合偏导数，记为2fyx或fxy或f″xy，

f先关于y后关于x二阶混合偏导数，记为2fxy或fyx或f″xy，

更高阶的偏导数可以类似定义。

（三） 关于混合偏导数的求导顺序

定理1 设二元函数f的两个混合偏导数fxy或fyx在点（x0，y0）连续则有fxy（x0，y0）=fyx（x0，y0）。

类似地，定义n元函数f（x1，x2，…，xn）的高阶混合偏导数与求导顺序无关，从而彼此相等。

（四） 多元函数可微

设D是R2中的一个开集，（x0，y0）∈D，f是定义在D内的函数。如果

Δz=f（x0+Δx，y0+Δy）-f（x0，y0）可以表示为

Δz=AΔx+BΔy+o（r）

其中A，B是两个与点（x0，y0）有关而与Δx，Δy无关的常熟，r=Δx2+Δy2，即点（x0+Δx，y0+Δy）与（x0，y0）之间的距离。o（r）是当r→0时关于r的高阶无穷小量，则称f在点（x0，y0）可微。

定理2 设函数f的两个偏导数fx和fy在点（x0，y0）不仅存在，而且都连续，则函数f在点（x0，y0）可微。

（五） 链式法则

设函数z=f（x，y）为二元函数，x=x（s），y=y（s）。由f，x，y可以构成复合函数

z=f（x（s），y（s））

则当函数f在点（x0，y0）可微，x0=x（s0），y0=y（s0），而x（s），y（s）在s0均可导，则当s=s0时，

zs=zxxs+zyys。

（六） 运算法则的约定

在本文中约定函数的“叉乘”，“似偏导数”以及“平移似偏导数”的运算法则，并且本文涉及的复合函数关于各变元均具有高阶连续偏导数，因此由定理1有复合函数的高阶混合偏导数与求导顺序无关。ui=u（x1，x2，…，xn）ui=u（x1，x2，…，xn）

设复合函数Z=Z（u1，u2，…，um）其中中间变量ui=ui（x1，x2，…，xn），i=1，2，…，m.从自变量x1，x2，…，xn中任意选取p个自变量（可重复选取），并且不妨记为Xp=（xi1，xi2，…，xip），1≤p其中xij，1≤j≤p是x1，x2，…，xn中的某一个，且记符号Xp=（xi1，xi2，…，xip）（注：此处无任何意义，只是一个符号表示）。则对于任意的a和b（实数或函数）都有：

由上证明知：当k=m + 1时。求导公式也得证，所以由数学归纳法得对于所有的正整数k求导公式都成立。故该定理得证。

四、 偏导数定理的推广

在本例题的求解中，无论是二阶混合偏导数的求解还是三阶混合偏导数的求解，运用偏导数定理进行求解都只用了1次链式法则，而运用传统方法进行二阶混合偏导数的求解使用了3次链式法则，三阶混合偏导数的求解使用了6次链式法则，并且比较上述两种方法的求解过程不难得出;运用本论文的方法求解高阶混合偏导数要更为简便，计算量小。

例2：设f关于各变量均有二阶连续偏导数。

参考文献：

[1]欧阳光中，等.数学分析（第三版，下册）[M].复旦大学出版社，2011-06.

[2]张志会.多元复合函数偏导数的计算方法[J].科技展望，2016，26（26）：233.

[3]王伟珠.多元复合函数偏导数计算中的几点注意[J].廊坊师范学院学报（自然科学版），2012，12（05）：22-23+26.

作者简介：

童昌林，蒋海军，新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市，新疆大學 数学与系统科学学院。