思维导图在学习三角函数中的运用

摘要：思维导图是一种可视化的图表，将人的思维过程以图文并茂的形式呈现出来。借助思维导图可以将学生头脑中零散的、碎片化的知识有机整合起来，帮助学生把握知识的整体性，真正吸收消化所学知识，从而建立良好的知识体系结构。思维导图应用在解题中，可以发散学生的思维，以最快的速度找到解题方法。本文选取三角函数为研究内容，三角函数是高中数学学习的一个重点内容，涉及有函数、方程、不等式等综合运用，蕴含类比思想、方程思想、等价转化思想等多种数学思想方法。三角函数内容复杂，公式多，推理公式更多，学生学习困难，不能真正理解有关三角函数知识的内在联系。因此，使用思维导图学习三角函数帮助学生真正理解知识是非常有必要的。

关键词：思维导图；三角函数；解题

一、 思维导图概述

1. 思维导图的概念

思维导图是一种将思维形象化的方法，由世界著名脑力开发专家东尼·博赞（Tony Buan）于70年代发明的。思维导图运用可视化技巧，充分发挥大脑的全脑功能，即右脑的节奏、色彩、空间、图像、想象力、总览，及左脑序列、文字、数字、列表、行列及逻辑，它最大的特点在于采用结构化的放射性思考模式，充分发揮左右脑的天赋智能，符合大脑的结构倾向及运作的方式。因此思维导图被誉为强力学习、记忆和思维训练方法，能大幅提升人们学习效率以及快速掌握新事物的能力。

思维导图可以应用于演讲、听课笔记、时间规划、旅行安排、学习等诸多领域。同时，思维导图已经在全球范围内得到广泛使用，微软、IBM、甲骨文等世界著名公司已将思维导图作为员工的必修课之一，在新加坡，思维导图已经成了中小学生的必修课。本文以三角函数为例阐述思维导图在高中数学学习中的应用。

2. 绘制学习思维导图

绘制思维导图，既可以宏观也可以微观。如果绘制的思维导图是针对宏观性的（学期或者高三复习），那么就需要层次性和概括性。首先确定思维导图的中心即知识范围，其次明确知识是如何分类的以及确定什么是难点。如果是针对微观性的（针对章节或某个知识点），就需要细致入微了。

在绘制思维导图时，首先要以该章节的知识内容中重要的数学知识点为关键词，从关键词处延伸，标明各个知识之间的内在联系；然后要展开联想，对重要的知识点进行多角度的思考，充分发掘知识点之间的内在联系，并将其合理链接在一起。可以根据自己的风格设计思维导图的风格，但是注意一定要呈现出所写的数学知识结构的整体性。最后检查所画的思维导图中的内容是否不明确，或者衔接有误，检查无误以后一张完整的思维导图就绘制成功了。

二、 思维导图在学习三角函数中的运用

高中数学有五百多个知识点，可分为以下大类：集合、复数、基本初等函数、导数及其应用、立体几何、解析几何、概率统计、三角函数、平面向量、数列、不等式等。本文以三角函数相关知识为例，介绍思维导图在学习三角函数中的运用。

1. 梳理知识体系，强化知识记忆

利用思维导图将我们梳理知识点的过程可视化。对学过的知识结构进行整理，一方面在引导学生绘制思维导图时对已学知识进行复习巩固，另一方面，在对知识点回顾和反思的同时，形成知识体系，形成的体系在学生解题中能够起到至关重要的作用。

三角函数的知识点错综复杂，公式繁多，推导出来的公式更多，因此可以分为两级梳理，即宏观性的与微观性的。利用发散思维建立的三角函数知识体系宏观思维导图如下图所示：

三角函数知识体系宏观思维导图

从上图三角函数知识体系思维导图中可以看出，三角函数相关知识可以分为三个主类：基本三角函数、三角恒等变换和解三角形，这是按照必修四的第一章、第三章以及必修五的第一章进行分类的。其中基本三角函数又分为：任意角的三角函数、诱导公式、三角函数的图像与性质和函数

y=Asin（ωx+φ）的图像；三角恒等变换分为两角和差公式、倍角公式以及半角公式；解三角形分为正弦定理、余弦定理和三角形面积公式。图中的虚线体现知识点之间的联系，一和三表示诱导公式配合三角恒等变换将一个非一般的三角函数式子化简为一般的三角函数即型如

y=Asin（ωx+φ）的式子，二表示三角函数的一般式常考察三角函数的基本性质。四表示倍角公式可由和差公式推导出来，五表示半角公式可由倍角公式进行推导。这绘制的是三角函数宏观性的思维导图，其他各个知识点都可以继续发散，绘制出更细致的思维导图。通过绘制宏观思维导图以及对应的微观思维导图，辅助学生梳理知识点形成知识体系结构，同时强化对各知识点的记忆。

2. 引导思维发散快速选择解题方案

在解题时，由于学习的知识点过多，如果对知识点没有深入的理解和掌握，没有理解知识点之间的联系，遇到题目时，学生通常不知道从何下手，而只要老师一提，马上就知道应该如何解题了。虽然学生记住了各个知识点，但并不能从题目的已知条件联系到相应的知识点，因此出现看题很熟却不能动笔的现象，这在中差等生中最是常见。

老师在讲解某类题型时，可以先引导学生主动思考，发散思维，尽可能多地把解题思路与相关知识点展示出来，形成一类题型的思维导图。

例（2017·山东济南二模，6）已知sinα+cosα=15，

α∈[0，π]，则tanα=（）。

A. -43

B. -34

C. 34

D. 43

例题以条件为中心，所画思维导图如上图所示。首先引导学生区分考点，此题主要考察同角之间的基本关系；确定范围后，发散思维，回忆相关的知识点，如同角之间的基本关系，任意角等；然后分析解题思路，要求tanα，有两个切入点，一是先求出sinα与cosα，再求出tanα，二是将tanα构造出来直接求解；最后让同学分析不同解题方法的优劣。图中的虚线表示知识点与解题的联系。

将思维过程如图展示出来，帮助学生尽可能多地找到解题思路，并分析不同解题思路中的关联与区别，并从中选择最优的解题方案。培养学生分析问题的能力，培养学生的发散思维。

三、 总结

在高中数学学习中使用思维导图是为了帮助学生以高效的方式记忆繁杂的数学知识，理解知识点之间联系与区别，分析梳理各类题型的解题方案，提高学生的学习效率。让学生在学习过程中培养发散思维，提高数学思维能力。

作者简介：张锦洪，四川省南充市，西华师范大学。