二次根式解题思想方法例析

施俊芳

同学们学习二次根式时，对于某些题目，若能讲究解题策略，则能简化解题过程，提高解题速度，此外，同学们还要注意总结归纳.下面，我们对二次根式中的解题思想方法进行分析，供同学们参考.

一、知识转化思想

知识转化不仅是一种解题思想，也是一种思维策略，更是一种有效的思维方式.所谓的转化思想，是将复杂的问题通过变换转化为简单问题，将难解的问题通过变换转化成容易求解的问题，将未知的问题通过变换转化为已知的问题，以达到解决问题的目的.

【例1】已知[3-x]+[12x-1]在实数范围内有意义，则x的取值范围是什么？

【解析】确定二次根式中字母的取值范围，可列方程组解决，应综合考虑两方面问题：一是对于二次根式来说，被开方数3-x、2x-1要为非负数，二是作为分母，2x-1不能等于零，所以可得[3-x≥0，2x-1>0，]解不等式组得[12]

二、巧妙配方思想

配方公式的应用在本章中是非常广泛的，要求我们从问题整體出发，发现问题的整体特征.在本章的学习中，我们常把某些式子看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识地整体处理，从而使得问题简单化、明晰化.

【例2】已知m=1+[2]，n=1-[2]，则代数式[m2+n2-3mn]的值为_______.

【解析】解本题时不能直接代入字母的值，应首先对被开方数里的3mn进行拆分，得[m2+n2-2mn-mn]，这样便得到完全平方式子[m-n2-mn]，把m-n与mn看成一个整体，求得m-n=[22]，mn =-1，所以得到[222+1]=[8+1]=3.

三、整体换元思想

对于有些数学问题，分开讨论十分麻烦或解题思路不明显.这时可考虑将需要解决的问题引入变量，进行换元，然后通过对整体结构的转换，使之获解.

【例3】有一天，小华的爸爸和小华做了一个小游戏，小华的爸爸说：“你现在学习了二次根式，若x表示[10]的整数部分，y代表它的小数部分，我包里的钱是（[10]+x）y元，你猜一猜我包里的钱数是多少？若猜对了，包里的钱全给你.”你说，小华爸爸包里有多少钱？

【解析】因为3<[10]<4，所以[10]的整数部分是3，即x=3 ，小数部分y=[10]-3，代入得（[10]+x）y=（[10]+3）（[10]-3）=1，所以小华爸爸包里是1元钱.

四、数形结合思想

数形结合思想，其实质是将比较抽象的数学语言与直观的图像结合起来，可以使代数问题几何化，也可以使几何问题代数化.

【例4】在数轴上找出表示[5]的点.

【解析】建立一个直角坐标系，画一个直角边分别为2和1的直角三角形OAB，如图1，根据勾股定理可求出斜边为[5]，再以O为圆心，斜边长为半径画弧，弧与x轴的交点C就是表示[5]的点.

（作者单位：江苏省句容市下蜀中学）