一种变截面悬臂梁挠度计算方法研究

王利平

摘 要：考虑梁的弯曲变形和剪切变形，利用单位荷载法推导等宽矩形截面且高度线性变化的悬臂梁分别在弯矩、集中荷载和线形分布荷载作用下的最大挠度理论计算公式，得到此类梁的柔度，再利用截面分解和变形协调条件，导出箱形和工字形变截面悬臂梁的挠度公式。通过算例，验证了该方法的合理性，为此类截面构件的变形控制提供了参考。

关键词：悬臂梁；挠度；变截面；箱型截面

中图分类号：TU311 文献标识码：A 文章编号：1003-5168（2018）22-0122-03

Method of Deflection Calculation of Cantilever Beam with

Variable Cross Section

WANG Liping

（Henan Construction Engineering Quality Supervision Station，Zhengzhou Henan 450014）

Abstract： Taking account of bend and shear deformation， the maximum deflection formulae of the cantilever beam with a variable cross section under distribution and concentrated load were deduced by unit-load method. The flexibility of the beam was also given. By use of section decomposition and compatibility of deformation，the maximum deflection formulae of the cantilever beam with a box shaped variable cross section under the same loads were suggested. Example showed the method was rational. The results could be as reference in deflection control of the member with a variable cross section.

Keywords： cantilever beam； deflection ； variable cross section；box shaped cross section

變截面梁由于充分利用了材料强度而在工程中应用广泛。相对等截面梁而言，一般的力学教材[1]或结构设计手册[2]有等截面梁在常用荷载下的最大挠度计算公式，而变截面梁由于截面模量是位置的变量，其理论解答较为复杂甚至无法得到显式表达，也就无具体的表达式。学者宋相道[3]给出了矩形变截面悬臂梁在3种荷载下的挠度公式，并编制了计算表，但是，该表仅考虑了弯曲引起的挠度且适用范围有限。此外，朱皓明和高轩能等学者[4]将连续变截面构件分为若干等刚度段后求其等效刚度，再利用等截面梁的挠度公式得到最大挠度；赵则昂和邓宗白等学者[5]从数据分析和理论推导两方面归纳出一种不通过复杂计算就能对大挠度变形进行定量估计的方法；周丹和王应军等学者[6]采用插值型求积公式构造了积分矩阵，用数值计算方法求解变截面梁的挠度；计算工作量大是已有变截面梁挠度计算的共性。

对于工字形和箱形变截面悬臂梁，工程上一般采用取平均的方法将变截面梁转化为等截面梁进行分析，而本文则从截面分解和变形协调来求解其挠度。首先，利用结构力学中的单位荷载法[7]（即Mohr定理）考虑构件的弯曲和剪切变形，通过合理的积分计算，得到截面为矩形且高度线性变化的悬臂梁在弯矩、集中荷载和线形分布荷载作用下的最大挠度理论计算公式；其次，通过截面分解和变形协调条件，得到工字形和箱形变截面梁在此类荷载下的最大挠度。为此类构件提供一种简便而实用的挠度计算方法。

1 计算简图和挠度计算原理

1.1 计算简图

以等宽矩形截面且高度连续线性变化的悬臂梁为研究对象，梁悬挑长度为L，LK端部和根部高度分别为h1和h，分别受到端部集中弯矩、端部集中力、线形分布线荷载和三角形分布力等4种形式的荷载作用，相应的构件及截面尺寸和计算简图分别如图1和图2示。

图1 构件和截面

[f=0LMXMXEIXdx+0LkVXVXGAXdx] （1）

式中，[MX]和[VX]分别为荷载引起的截面位置[x]处的弯矩和剪力；[MX]和[VX]分别为单位力作用在自由端时截面位置x处的弯矩和剪力；E和G分别为材料的弹性模量和剪变模量；[AX]和[IX]分别为截面位置[x]处的截面面积和截面模量（惯性矩）；[k]为考虑截面上剪应力的不均匀系数，矩形截面时，取[k=1.2]。

显然，式（1）右端的第1项即为弯曲变形产生的挠度，第2项则为剪切变形产生的挠度。

2 矩形变截面梁最大挠度的理论解

利用式（1），通过积分变换，可求得图2所示变截面悬臂梁的最大挠度。为了与等截面梁的结果相对应，采用相应根部等截面梁最大挠度乘系数[ζ]的表达形式。这里，[ζ]即为截面影响系数，用不同下标来分别表示荷载形式和变形特征，具体推导过程此处不再详述。

①端部集中弯矩作用时（图2（a））：

[fM=ζMML22EI] （2）

[ζM=hh1] （2a）

②端部集中力作用时（图2（b））：

[fF=ζm，FFL33EI+ζV，F1.2FLGA] （3）

[ζm，F=3hh-h1lnhh1-hh-h1-h-h122h2] （3a）

[ζV，F=hh-h1lnhh1] （3b）

③均匀分布力作用时（图2（c））：

[fq=ζm，qqL48EI+ζv，q1.2qL22GA] （4）

[ζm，q=4hh-h132h2+5h1h-h212h2-3h1h-h1lnhh1] （4a）

[ζv，q=2hh-h11-hh-h1lnhh1] （4b）

④三角形分布力作用时（图2（d））：

[fp=ζm，qpL430EI+ζv，q1.2pL26GA] （5）

[ζm，q=5hh-h13h2-8hh1+h21h+h12h2h-h1+6h21h-h1lnhh1]（5a）

[ζv，q=3hh-h1h+3h12h-h1+h21h-h12lnhh1] （5b）

在式（2）—（12）中，[A=bh]，[I=bh3/12]。

分析上述结果后不难得出：①当[h-h1]时，有[ζM=ζm，F=ζV，F=ζm，q=ζv，q=ζm，p=ζv，p=1]，式（2）至式（5）即为相应等截面梁的最大挠度计算公式；②[h/h1]是确定系数[ζ]的唯一因素；③由于土木工程中钢和混凝土的G约为0.4E，若梁的跨高比[L/h]不小于10时，剪切引起的挠度在总挠度所占的比例一般不超过1%，可忽略其影响；④在同一种荷载下，有[ζm>ζv]，式（3）至式（5）可偏于安全地分别简化为式（6）至式（8），即

[fF=ζm，FFL33EI1+0.3EGhL2] （6）

[fq=ζm，qqL38EI1+0.4EGhL2] （7）

[fp=ζm，ppL430EI1+0.5EGhL2] （8）

当M=F=q=p=1时，式（2）至式（8）即为相应荷载形式下变截面悬臂梁的柔度系数计算公式。

3 工字形和箱形变截面梁的最大挠度计算方法

下面以翼缘和腹板厚度分别为t和tw的等宽且高度连续线性变化的工字形悬臂梁在自由端作用有集中力F的最大挠度计算为例来说明此方法的具体应用，计算简图如图3（a）所示。

（a） 工字形截面