五阶群唯一性证明

刘英伟　张洋

摘 要：证明五阶群的唯一性.运用群的定义以及群乘法表的重排规律，简单明了、逻辑严密地推导了五阶群的完整乘法表，证明五阶群的唯一性，证明五阶群是对易群，即阿贝尔群.

关键词：群论；五阶群；乘法表

[中图分类号]O152 [文献标志码]A

Abstract：By the group definition and the rule of rearrangment of group multiplication table， the multiplication table of the five order group is deduced plainly and logically. It is proved that the five order group is unique and commutative.So the five order group is Abel group also.

Key words：group theory； five order group； multiplication table

群论是近代数学的一个分支，由19世法国天才数学家伽罗华创建.[1]它的出现对后世数学及其他学科的发展产生了巨大的影响，其重要程度不亚于物理学领域的傅里叶变换[2-3]，在物理、化学、计算机、机械、建筑、美术等领域得到广泛应用.[4]群就是一些按一定乘法规则联系起来的元素组成的一个集合.群元素之间的关系，是群的灵魂.元素间通过一定的乘法关系建立联系，这种联系可以用乘法表表示出来.对于4阶群，有两种乘法表[4]，即群不是唯一的.而5阶群则只有一种乘法表，因而是唯一的.关于5阶群的唯一性，有关教科书或文献都没有给出证明，本文根据群论的一般规则，通过简单明了的方式证明五阶群的唯一性，并给出群的完整乘法表，证明五阶群是可对易的，即为阿贝尔群.

1 群的基本概念

如果一个集合G={e，a，b，c…}中的元素满足下面四个条件，那么这个集合就是一个群：

（1）集合中任意两个元素的乘积必为群内另一元素，如 ab=c；

（2）元素之间乘法满足结合律 （ab）c= a（bc）；

（3）在集合中存在单位元素e，它和群内其他任意元素的乘积仍得到元素本身，即ea=a，eb=b，ec=c；

（4）集合中任意元素a，必定存在一个逆元a-1，使得aa-1= a-1a =e.

满足以上四个条件的集合就称为群，群中元素的个数称为群的阶，而群的乘法是指元素之间运算关系，它不是单纯意义上的乘法，比如全体实数之间按加法运算，就构成一个群，这里的加法就是“乘法”.

2 五阶群唯一性证明

五阶群，顾名思义群中含有五个元素，不妨设其为{E，A，B，C，D}，其中E为单位元素.一个群的灵魂在于元素之间的运算关系，群的阶数越高，元素之间的运算关系越复杂，各种可能性增多，导致群的种类不止一种.例如四阶群有两种，对于五阶群，可能性只有一种，下面证明之.

表1为群的乘法表.首先可以根据群的基本规则确定第一行和第一列的乘法结果.根据定义（3），这些结果是显而易见的.其他尚不能立刻确定的元素暂时空下，用数字代表，后面的工作就是利用群的定义逐步确定它们.

2.1 元素1的确定

元素1是A和A相乘的结果.根据群定义（1），A和A相乘结果必为群里的其他元素，这样就存在以下几种可能：AA=E，AA=B，AA=C或AA=D.可以立刻否定AA=E.因为如果AA=E成立，则{E，A}可以构成五阶群的子群，阶数为2.但是由于子群的阶数必为群阶的因数[12]，而2不是5的因数，因此AA=E不成立.这样就只剩下AA=B， AA=C或AA=D.实际上这三者是等价的，只需讨论AA=B即可.这样表1中的元素1就确定为B，于是在表1的基础上就得到表2.

2.2 元素2，3，4的确定

表2中元素2为AB相乘的结果，同样根据群定义（1），AB有以下三种可能性：AB=E，AB=C和AB=D，下面分别讨论.

2.2.1 AB=E

如果这种情况成立，则2=E.这样剩下的3和4只能是C，D或D，C.根据乘法表重排规律，表中每一行或每一列均不能有重复元素，因此必有3=D，4=C，即AC=D ，AD=C.这样的话，由AD=C可得AAD=AC，而AA=B， AC=D，因此得到BD=D，从而有B=E，这样群里出现两个单位元素，而这是不可能的，因而AB=E是不可能的.

2.2.2 AB=C

剩下的两种可能是AB=C和AB=D，不过二者是等价的，这将在后面详细讨论，现在不妨取AB=C.当AB=C时，必有3=D，4=E.这樣就得到表3.

2.3 元素5，6，7，8的确定

在表3的基础上，由于AA=B，因而AAA=AB，于是有BA=AB=C，从而 5=C.另外，根据AA=B，还可得到 AAB=BB，因此得到AC=BB=D，从而6=D.另外，由AA=B，还可得到AAC=BC，再根据AC=D，即可得出AD=BC=E，即7=E.当元素5，6，7确定后立刻可以确定8=A.因此表3进一步完善为表4.

2.4 元素9，13的确定

根据表4可知，AD=E，因此ADA=EA，即DA=A-1EA，因此DA=A-1A=E，即13=E.13确定后，立刻可以确定9=D，见表5.

2.5 元素10，14的确定

因为AB=C，从而有ABB=CB，而BB=D，因此AD=CB，从而 CB=E，即10=E.据此可立刻得出14=A，见表6.

2.6 元素11，12，15，16的确定

根据表6可知，AB=C，从而ABC=CC.又因为BC=E，因此，AE=CC，即CC=A=11.这样可立刻得到12=B，15=B和16=C.于是一张关于五阶群的完整乘法表就得到了，见表7.在2.2.2中，存在AB=C和AB=D两种可能，只考虑了AB=C这种情况.其实AB=C和AB=D是等价的，如果取AB=D的话，重复上述推理过程，会得到另一张乘法表8.表8与表7虽然表面上看不一样，其实是等同的：只要将表8中所有的C，D互换成D，C，并令C，D两行对调，然后再令C，D两列对调，得到的结果与表7一样.

3 结论

（1）通过理论推导得到了五阶群的乘法表，该表是唯一的，从而证明了五阶群是唯一的.

（2）群元素是可对易的，因而五阶群也是阿贝尔群.

参考文献

[1] 张端明，钟志成.应用群论导引：第二版[M].武汉：华中科技大学出版社，

2001.

[2] 关雪梅，王晓东.快速傅里叶变换（FFT）与小波变换技术[J].牡丹江师范学院学报：自然科学版，2002（4）：19-20.

[3] 王晓东，王荣芝.傅立叶变换在图像处理中的应用[J].牡丹江师范学院学报：自然科学版，2003（3）：22-24.

[4] 陈念骇，高坡，乐征宇.量子化学理论基础[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2002.

编辑：琳莉