巧用几何画板设计镶嵌图案

摘要：本文从数学教材中的“镶嵌”话题引入，利用几何画板的“平移”“反射”等变换进行镶嵌图案设计，有极强的可操作性。这种设计方法得到的镶嵌图案整体可以进行动态变化，且操作简便，这是利用现代教育技术与数学学科融合的典例。

关键词：镶嵌；几何画板；教育技术

中图分类号：G434 文献标识码：A 论文编号：1674-2117（2018）15/16-0120-03

在华东师大版《数学》七年级（下）第91页的阅读材料《多姿多彩的图案》中有以下两幅特殊的图案（如图1、图2）。类似地，在北师大版《数学》八年级（下）第85页的例题中也有类似图案（如图2）。

这两个版本的教材中均选择了这样的图案，说明这样的图案一定有其神奇之处，而事实上它们就是镶嵌图案。查阅资料可以发现，荷兰艺术家埃舍尔（M.C.Escher，1898—1972）对镶嵌图案颇有研究，教材中选取的图2就是出自这位艺术家的作品《蜥蜴》。他在创作《天使与恶魔》（如图3）时，更是借助了“旋转”“分形”等变换加以实现。创作这些作品时，他自觉不自觉地使用了数学中的“平移”“轴对称”“旋转”“分形”等知识，再通过艺术加工，最后兼具了艺术性与科学性。

分析这些图案可以发现，它们都是以一个图案为基础，将图案中的一部分进行分割，利用“平移”“轴对称”“旋转”变换中的一种或几种进行变换，拼补后得到一个新的基本图案（注意新的基本图案与原图案的面积是相等的）。一个图案好画后，要形成一系列有这种特征的图案，单单借助手工绘图很难实现。在教学实践中，如果给学生布置一个这样的实践作业，完成的效果基本不会太好，而利用几何画板的“平移”“反射（轴对称）”“旋转”等变换就可以设计出美妙的镶嵌图案。

利用“平移”变换设计镶嵌

操作过程如下：

1.画一个矩形ABCD。

2.在矩形ABCD内部靠近线段AD，任作三个点E、F、G，依次选定点A、E、F，选择菜单栏“构造”菜单下“过三点的弧”，就可得到图4，选定点F、G、D，重复之前的步骤，可得到图5。移动点E或点F，可改变两弧的形状或长度（如图6）。

3.依次选定点A、B，选择菜单栏“变换”菜单下“标记向量”，会看到由点A到点B闪烁一下，接着选定两弧，选择菜单栏“变换”菜单下“平移”，弹出“平移”对话框，点击“平移”按钮，得到如上页图7的效果。

4.在矩形ABCD内部靠近线段CD，任作三个点H、I、J，依次分别选定D、H、I和I、J、C，重复步骤2的过程，可得如图8的效果。依次选定点D、A，选择菜单栏“变换”菜单下“标记向量”，会看到由点D到点A闪烁一下，接着选定两弧DHI和IJC，重复步骤3中的其余步骤，得到如图9的效果。

5.依次选定线段AB、BC、CD、DA，选择菜单栏“显示”菜单下“隐藏对象”，实现隐藏四条线段（或按快捷键Ctrl+H也可）。选定点E、F、G，选择菜单栏“编辑”菜单下“操作类按钮”的下级菜单“隐藏/显示”按钮，生成一个“隐藏/显示”图标按钮。点击按钮，可以让以上各点隐藏或显示，为后期形成整幅图案后，调整基本图案做好准备工作。同时如果需要调整基本图案，可以适当调整A、B、C、D、E、F、G中的某点或几个点的位置，以进一步美化图案。

6.依次选定点A、D，选择菜单栏“变换”菜单下“标记向量”，会看到由点A到点D闪烁一下，接着选定所有对象（整幅图案），选择菜单栏“变换”菜单下“平移”，用文本工具点击点D平移后的对应点D'，会显示出“D'”，依次选定点A、D'，重复之前步骤，出现图10的效果。

7.依次选定点A、B，选择菜单栏“变换”菜单下“标记向量”，會看到由点A到点B闪烁一下，接着选定所有对象（整幅图案），选择菜单栏“变换”菜单下“平移”。根据需要可重复步骤6、7，得到图11的效果。如果根据需要打印出来，适当涂色，则可变换出各种效果。

利用文本工具依次点左上角第一幅图，可看到点的标签隐藏，适当调整图中某一点或某几个点的位置，则会出现整个图案动态变化。

利用“平移”“轴对称”变换设计镶嵌

如何能出现图1、图2的特殊效果呢？有了上面第一种做法为基础，用“平移”“轴对称”进行镶嵌图案的设计就很好操作了。具体步骤如下：

1.任画一条线段AB，并分别过点A、B作AB的垂线，在过点A的垂线上任取一点C，双击线段AB（或选择菜单栏“变换”菜单下“标记镜面”），选定点C，选择菜单栏“变换”菜单下“反射”，得到点C'（如点C'标签未显示，则点击左侧文本工具，再点击点C'，即可显示标签）。

2.在线段AB上方取三点D、E、F，依次选中B、D、F，选择菜单栏“构造”菜单下“过三点的弧”，得到弧BDE，同理再作弧CFE。

3.选定过点B的垂线，选择菜单栏“变换”菜单下“标记镜面”（双击该直线也可标记），会看到该直线闪烁一下。同时选定弧BDE与弧CFE（不选点），选择菜单栏“变换”菜单下“反射”，得到图12。

4.依次选中点B、C'， 选择菜单栏“变换”菜单下“标记向量”，同时选定刚刚步骤3中得到的两弧，选择菜单栏“变换”菜单下“平移”，弹出对话框，点击“平移”，得到图13。隐藏步骤3中得到的两弧。

5.在直线AC右侧（靠近AC），线段AB上方取点G、H、I，依次选中A、G、H，选择菜单栏“构造”菜单下“过三点的弧”，得到弧AGH，同理再作弧CIH。

6.双击该直线AC标记镜面，同时选定弧AGH与弧CIH，选择菜单栏“变换”菜单下“反射”，得到上页图14。

7.依次选中点A、C'，选择菜单栏“变换”菜单下“标记向量”，同时选定刚刚步骤6中得到的两弧，选择菜单栏“变换”菜单下“平移”，弹出对话框，点击“平移”，得到上页图15。隐藏步骤6中得到的两弧。

8.分别选定线段AB及两垂线，按快捷键Ctrl+H，加以隐藏。基本图案已经完成。

9.选定点G、H、I、D、E、F，选择菜单栏“编辑”菜单下“操作类按钮”的下级菜单“隐藏/显示”按钮，生成一个“隐藏/显示”图标按钮，点击按钮，可以让以上各点隐藏或显示，为后期形成整幅图案后，调整基本图案做好准备工作。

10.依次选中点A、B，选择菜单栏“变换”菜单下“标记向量”，同时选定图案中的所有弧和点B，选择菜单栏“变换”菜单下“平移”，弹出对话框，点击“平移”，得到上页图16。用文本工具点击最右侧点，显示点B'的标签，依次选中点A、B'，重复刚才的操作过程，可得如图17的图案。根据需要，可继续重复之前过程（注意：不能复制粘贴后再手动平移）。

11.依次选中点C、C'，选择菜单栏“变换”菜单下“标记向量”，同时选定图案中的所有弧和点C'，选择菜单栏“变换”菜单下“平移”，弹出对话框，点击“平移”。用文本工具点击最下端的点，显示点C''的标签，依次选中点C、C''，重复刚才的操作过程，可得类似图18的图案。

如果要调整图案形状，就需要调整A、B、C点的位置，更进一步可以点击步骤9中生成的“隐藏/显示”图标按纽，对其他点进行调整。这时会发现，左上角的基本图案变化的同时，其他部分也变化了。

你理解整个镶嵌图案设计的原理了吗？你是否想尝试挑战一下自己，用“平移”“旋转”等变换设计一个镶嵌图案？

参考文献：

[1]王建磐.义务教育教科书·数学（七下）[M].上海：华东师范大学出版社，2016，12.

[2]江玉軍.几何画板5.0从入门到精通[M].中山：中山大学出版社，2011，8.

[3]邵新虎，王凤进，罗新展.利用几何画板探究数学问题[M].北京：北京师范大学出版社，2016，4.

作者简介：亢建波，山西省临汾市第一中心学校数学高级教师。