夏至日影测量

郭红锋

公元前古埃及的科学家埃拉托色尼，通过夏至日日影的测量，计算出地球周长。在古埃及的一个名为阿斯旺的小镇上，每当夏至日正午，太阳从头顶照射下来，物体是没有影子的。當地有一口水井，阳光会直接射入井中（见图1），而过了这一天，就不会出现这些现象。

后来埃拉托色尼在埃及的另一个城市亚历山大，在同样的夏至日正午，测量了当地物体的影子，发现在亚历山大城的夏至日正午，物体是有影子的，阳光偏离垂直方向大约7.5°（见图2）。

我们用图3解释地球的形状影响了地球表面不同地区的影子长度。如图3左边所示，假设地球是平的，入射的阳光不论是什么角度（直射或者斜射），在地球表面各处所成的影子都是一样长的；但如图3右边所示，假设地球是球形的，那么太阳照射地球表面物体所成的影子，就会随阳光入射角度不同而不同，同一时间在各地所成的影子长度与所在地纬度有关。

所以埃拉托色尼根据测量太阳在同一天两地产生不同的影子长度，从而联想到地球可能是球状；又假设太阳离地球很远，所射来的光线是平行光，进一步利用照射到地球表面的两个城市影子的偏差，推算出地球的圆周周长。

这可以简化成一道小学数学题：已知地球圆周是360°，A地夏至日阳光直射，地面没有影子，B地夏至日阳光照射到地面上所成影子与垂直方向成7.5°，测量得到两城之间的距离（即地球周长的一部分）为5000希腊里，求地球周长。

分析已知数据和未知数据，可以通过一个圆周角度和圆周弧长的比例得到如下关系：

利用简单的比例计算，就可以得出地球周长（即360°圆周弧长）

换算到现代的千米制单位，埃拉托色尼测算的地球圆周长约为39360千米，与今天通过现代技术航迹测算的结果（赤道周长=40075千米），误差仅在5%以内。

埃拉托色尼在人们并不知道（一直争论但却无法证实）地球是方还是圆的年代，使用简单的测量和计算，推导出地球周长这样重要的数据，从而给出地球大小（周长）和形状的概念，的确是非常很了不起的成就。这一实验也被现代人们评价为史上最美+大物理实验之一，是载入史册的重大成果。

我们今天仍然可以参考2000多年前埃拉托色尼的测量方法，做一些基本的测量和计算。我们建议全国各地的同学们，在每年的春分、秋分、冬至和夏至时节，一起参加日影测量活动。因为在这几个节点，太阳直射地球的角度是确定的。

图4中的角度δ代表观察者当地纬度，角度代表观察日太阳直射点的纬度。根据图中的三角关系，可知观察者所在地当天正午的太阳高度角为H，H′是H的内错角，所以有H′=H。此外，在直角三角形AOB中，H′=90°-（φ-δ），所以我们得到任何纬度上任何一天正午太阳高度角与当地纬度有如下关系。

H=H′=90°-（Φ-δ）

以北京为例（Φ=40°），计算正午太阳高度角：

春分日与秋分日，太阳直射赤道，δ=0°

H=90°0（Φ-δ）=90°-（40°-0°）=50°（春秋分日正午太阳高度等于90。减当地纬度）

夏至日，太阳直射北回归线，δ=23°.5

H=90°-（Φ-δ）=90°-（40°-23°.5）=73°.5（夏至日正午太阳高度等于春秋分日值加）

冬至日，太阳直射南回归线，δ=-23°.5

H=90°-（Φ-δ）=90°-（40°+23°.5）=26°.5（冬至日正午太阳高度等于春秋分日值减）

每年夏至日，我们都会组织一些同学测量当地正午日影。不同纬度的数据组合起来，可以让我们直观地看出地球表面的弯曲，也可以用来估算更多的地球参数。

活动时间：夏至日正午前后各半小时（总共约一小时）（天气不好可提前或延后一两天）

活动内容：记录太阳影子端点，记录采样时间，测量全部影子长度数值，填表保存。然后通过分析数据，计算出各种有关的结果。

活动方法：（建议）：

1.准备工作

①立竿：在空旷的平地上找一个竖直立在地面上的标志物（可以是一根竿子，也可以是窗户楞、栏杆、旗杆、单杠等固定物）；

②确定垂直：用线吊重物垂直于大地，或用大三角板、直角钢尺等工具检验立杆的垂直度；窗户楞、栏杆、旗杆、单杠等固定物本身就是垂直的，可以不必再测；

③找出垂点，用做测量基点（见图5）；

④确定观测时间：因为我们全国都使用北京时间，但各地正午时刻是不同的，可以在网上查表得到当地任何一天的日中时刻，观测时间可以安排在日中时刻前后半小时；

⑤准备好计时器（手机或闹钟等）、卷尺、直尺、铅笔、水笔、记录纸（或表格）等；

⑥建议准备一张lK大小的厚型白纸铺在地面上，把立竿放在纸的一端，影子端点记录在纸的另一端，便于记录和保存测量结果。同时建议拍摄全部测量过程和测量结果，以便后期核对。

2.测量工作

①测量竿高：用卷尺预先测量竿子的高度，并记录数据（厘米）；

②记录影子：正午前半小时到正午后半小时，每隔1～2分钟记录一次，建议每次把影子的端点画在地面上或纸面上（用铅笔或画笔点一个点），画的点不要过大（1毫米以下的圆点为宜，见图6）；

③测量影长：全部记录完毕，再用尺子测量垂点到每个时刻影子端点之间的长度数据，填入表格。

④记录表格建议如下：

3.从测量结果得出

①确定当地正午时刻：最短的影长所对应的时刻，就是当地当日真太阳时的正午时刻。

②确定当地南北方向：最短影长的方向，就是正午时刻影子的方向，也是当地的正南正北方向。

4.引申的问题

①你知道当地正午时刻与北京时间中午12点有什么差别吗？

②你知道怎样把测量得到的数值换算成太阳高度角的角度值吗？

③你知道怎样利用你的测量数据估算地球周长吗？

④你能利用自己测量的数据计算当地的纬度吗？