数学图表信息题的破解之道

张慧敏

图表信息题是通过图像、图形及表格等形式给出信息的一种新题型.这类题立意新颖、构思精巧、解法灵活，能突出对考生的阅读理解能力、获取信息与处理信息能力的考查，备受各级各类考试命题者的青睐，频频出现在各级各类考试的试卷中.下面通过从部分省市的高考题及高考模拟题中精选出的一些典型试题，研究图表信息题的破解之道，探索题型规律，揭示解题方法.

一、从函数图像信息抽象数学情景

函数图像能反映函数的定义域、值域、单调性、奇偶性（对称性）、特殊点（交点、边界点、最值点）等性质，考生在解答时应从这些方面人手加以分析，充分挖掘图像信息，并注意与方程、不等式联合起来正确求解.

例1 （2017年高考北京理科卷第14题）三名T人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图1所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3.

①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Qi，Q2，Q3中最大的是____.

②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则Pi，p2，p3中最大的是____。

分析通过作图，观察线段A1B1，A2B2，A383的中点的纵坐标的大小，可判断工人加工零件总数的大小.分别作点B1，B2，B3关于原点的对称点B1，B2，B3，通过比较直线A1B1，A2B2，A3B3的斜率大小，可判断每个工人平均每小时加工零件数的大小.

解 连接A1B1，A2B2，A3B3，比较所得三条线段的中点纵坐标的大小，可知Qi，Q2，，Q3中最大的是Q1.分别作点B1，B2，B3关于原点的对称点B1，B2，B3，比较直线A1B1，A2B2，A3B3的斜率大小，可得直线A2B2的斜率最大.所以，pl，p2，p3中最大的是p2.

小结 本题考查了考生分析和解决问题的能力及转化与化归的能力.第一问中，设Ai（si，mi），Bi（ti，ni），第i名工人加工零件的总数为mi+ni比较零件总数的大小，可转化为比较

的大小，其中

表示线段AiBi的中点的纵坐标.第二问也可转化为比较线段AiBi的中点与原点连线的斜率大小.

二、探索几何图形的内在规律

几何图形具有多样化和直观化的特征，图形信息题是一类极富思考性、挑战性和趣味性的问题.充分挖掘图形内涵，全方位地审视图形，全面掌握图形所提供的信息，以形助数，是解答图形信息题的关键.

例2如图2，小正六边形沿着大正六边形的边，按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半.如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中向量OA围绕着点O旋转了O角，其中O为小正六边形的中心，则sin

分析考生要仔细阅读题意，分析图形，从简单情形、特殊位置入手，找到变化规律来解决问题.旋转），从位置2变化到位置3时，向量OA绕点O旋转了一3，则从开始位置变化到位置3时，小正六边形正好滚过大正六边形的一条边，向量OA绕点O旋转了-π.所以，小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回开始位置，向量OA绕点O共旋转了一6π，即o=-6π.于是可得sin +coS =sin（-π+cos（-π）=-1.

小结 本题主要考查考生的读图能力及有关向量、三角的基本运算能力.考生要注意全方位地审视图形，而不能只局限在一两个图中.

三、提取统计图信息构建数据模型

统计图一般能直观反映各种数据，具有可比較性和规律性.理解图形内容，找出变化趋势和规律，是解答统计图信息题的关键.

例3 （2017年高考全国卷三理科卷第3题）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了折线图，如图3所示.

根据该折线图，下列结论错误的是

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

分析根据已知的月接待游客量的数据，逐一分析给定的四个结论的正误.

解由图3可知.8月份后月接待游客量减少，选项A错误.其他选项均正确.选A.

小结将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起来，就得到一条折线，我们称这条折线为本组数据的频率分布折线图.频率分布折线图的首、尾两端取值区间两端点需分别向外延伸半个组距，即折线图是频率分布直方图的近似，它们比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律.

四、抽象表格信息构建合适模型

表格能集中给出解题信息，简洁明了.理解表中的内容，根据数据特征找出数量关系进行计算或推理，是解答表格信息题的关键.

例4 函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的部分数值如下：

则函数y=lg f（x）的定义域为____

分析 通过观察可知表中有三个X值可使y=0，联想二次函数的零点解析式y=a（x一x1）（x-x2），不难设出函数f（x）的解析式，进而求出函数y=lgf（x）的定义域.

解设f（x）=a（x+1）（x-l）（x-2）.由f（0）=4，可得a=2，所以f（x）=2（x+1）（x-l）（x-2）.要使y=lgf（x）有意义，则f（x）=2（x+1）（x-l）（x-2）>0，由数轴标根法解得-l2.

所以，函数y=lg f（x）的定义域为（-1，1）U（2，+oo）.

小结本题属于开放性问题，它把求函数解析式与高次不等式的解法巧妙地结合在一起，而且给出了多余的条件信息，这些正是题目命制的创新之处.考生在解答这类信息过剩的问题时，要注意从众多的信息中，观察、分析、筛选，放弃无用的信息，挑选出与解题有关的信息，找到解题的突破口.这种能力正是在当今“信息大爆炸”的社会所需要的能力.解答这类背景新颖的创新试题，要善于观察分析，挖掘问题的本质特征，联想熟悉的问题（如本题中联想二次函数的零点解析式），通过类比迁移使问题得到解决.这种联想、类比、迁移的能力是继续学习和发明创造的需要，因而也是现在高考考查的热点.