构成数学命题的八个条件浅析

摘 要：研究数学命题，必须研究构成数学命题条件的八种形式。了解这些形式与命题之间的逻辑关系，才能透彻地理解数学定义的含义，才能深刻地认识定理的证明和解题过程。这样才能科学的掌握数学命题。

关键词：数学命题 八种形式 证明和解题

我们研究一个数学命题，总要分析它在什么条件下才能成立。或者说，要使一个数学命题成立，必须具备什么条件。构成数学命题的条件有八种形式，它们实质上是数学命题的条件（前提）与结论之间的八种逻辑关系。如果不了解这些条件与命题之间的逻辑关系，就不可能透彻地理解数学定义的含义，也不可能深刻地认识定理的证明和解题过程。构成数学命题的八个条件既是基础数学教学的重点，又是基础数学教学的难点。本文试给出命题八个条件的一种言简意赅的定义方式，并结合例题进行浅析，仅供读者参考。

一、充分条件

已知命題“若有条件A，则有结论B。”，如果“由AB。”为真命题，那么称已知命题的条件A是结论B成立的充分条件。

要证明已知命题的条件A是结论B成立的充分条件，只要进行由AB的论证即可。

例1：已知命题“若两个角是同位角，则这两个角相等。”，求证该命题的条件是结论成立的充分条件。

证明：∵由命题的条件“同位的两个角”，可以推出（）命题的结论“这两个角相等”成立，∴已知命题的条件是结论成立的充分条件。

必须注意的是，充分条件不是唯一的。

例如：在已知真命题“若两个角是直角，则这两个角相等。”中，由于条件“两个角是直角”可以分成“对顶的两个直角”和“不对顶的两个直角”两种情形，因此“对顶的两个直角”和“不对顶的两个直角”都可作为结论“这两个角相等”的充分条件。因此，使已知命题的结论“这两个角相等”成立的充分条件有两个。这就是说，只要有了其中的一个充分条件，而缺了另一个充分条件，也能够推出结论成立的结果。由此可知：有了充分条件A，必有结论B；没有充分条件A，不一定没有结论B。但是，给出使结论B成立的充分条件的个数越少越好，要少到不能再少的程度。否则，往往会产生有多余条件的错误数学命题或错误定理。

二、非充分条件

已知命题“若有条件A，则有结论B”。如果由条件A推不出结论B（由AB，说明原命题是假命题）成立，则称已知命题的条件A是结论B成立的非充分条件（即条件A不是结论B成立的充分条件）。

例2：已知命题“若两个加数都是偶数，则它们的和是奇数。”，求证该命题的条件是结论成立的非充分条件。

证明：∵由命题的条件“两个加数都是偶数”推不出（）命题的结论“它们的和是奇数”成立，∴已知命题的条件是结论成立的非充分条件。

三、必要条件

由于一个命题与它的逆否命题同真同假，因此构成命题的必要条件定义通常采取以下两种形式：

定义1。已知命题“若有条件A，则有结论B。”，如果“没有条件A，就推不出结论B（无AB）成立”为真命题，那么称已知命题的条件A是结论B成立的必要条件。

因为命题“没有条件A，就推不出结论B（无AB）成立”与命题“由结论B条件A”同真同假，所以对“必要条件”还可以进行如下定义。

定义2。已知命题“若有条件A，则有结论B。”，如果“由结论B条件A（即结论B是条件A成立的充分条件）”，那么称已知命题的条件A是结论B成立的必要条件。

根据上述两种定义，判断已知命题的条件A是结论B成立的必要条件，可采取如下两种办法：

1.根据必要条件定义1，只要断定没有条件A就没有结论B即可。

2.根据必要条件定义2，由结论B条件A，论证结论B是条件A成立的充分条件。由于用这种办法证明简便易行，所以常被人们所采用。具体说来，要证明“条件A是结论B成立的必要条件”只要证明“结论B是条件A成立的充分条件”即可。同理可知，要证明条件A是结论B成立的充分条件，只要证明结论B是条件A成立的必要条件就行了。

例3：已知命题“若两个三角形的三条边对应相等，则这两个三角形全等。”求证该命题的条件是结论成立的必要条件。

证明1：∵若没有该命题的“两个三角形的三条边对应相等”这个条件，就推不出（）该命题的结论“两个三角形全等”成立。∴已知命题的条件是结论成立的必要条件。

证明2：∵由“两个三角形全等”推出（）“三边对应相等”，即已知命题的结论是条件的充分条件，∴已知命题的条件是结论成立的必要条件。

四、非必要条件

已知命题“若有条件A，则有结论B。”，如果“没有条件A，也可能推出结论B”是真命题（等价于真命题“由结论B条件A”），则称已知命题的条件A是结论B成立的非必要条件（即条件A不是结论B成立的必要条件）。

例4：已知命题“若两个加数都是奇数，则它们的和是偶数。”，求证该命题的条件是结论成立的非必要条件。

证明1：∵若没有该命题的条件“两个加数都是奇数”，也可能推出（）该命题的结论“它们的和是偶数”成立，例如两个偶数的和是偶数，∴已知命题的条件是结论成立的非必要条件。

证明2：∵由该命题的结论“两个数的和是偶数”推不出（）该命题的条件“这两个加数都是奇数”成立（因为和是偶数的两个加数可能是偶数），∴已知命题的条件是结论成立的非必要条件。

从上述“四个条件”定义的内涵中，恰当地选取两个相容的内涵，作为构成新条件定义的内涵，还可以衍生出“四个新条件”定义的外延，即充分条件、充分非必要条件、必要非充分条件和非充分必要条件（详见插图）。它们的定义如图：

五、充分非必要条件

已知命题“若有条件A，则有结论B。”，如果“由AB”是真命题（充分性），且“无A可能B。”也是真命题（非必要性），那么称已知命题的条件A是结论B成立的充分非必要条件。

定义中的“由AB”是说，条件A是B成立的充分条件。“无A可能B”是说，条件A是结论B成立的非必要条件。

一般而言，要判断条件A是结论B成立的充分非必要条件，依据充分不必要条件的定义，从两个方面着手即可。

例5：已知命题“若两个角是对顶角，则这两个角相等。”，求证该命题的条件是结论成立的充分非必要条件。

证明：∵由该命题的条件“两个角是对顶角”能够推出（）该命题的结论“这两个角相等”成立，∴充分性成立；又∵若没有该命题的条件“两个角是对顶角”，可由“非对顶角的两个角（如等腰三角形的两个底角）”也能推出（）该命题的结论“这两个角相等”成立，∴非必要性成立。综上所述，已知命题的条件是结论成立的充分非必要条件。

例2：已知命题“如果a=b，那么a2=b2。”，求证该命题的条件是结论成立的充分非必要条件。

六、必要非充分条件

已知命题“若有条件A，则有结论B。”，如果“没有条件A，就没有结论B（无AB）。”是真命题（必要性成立），且“由条件A推不出结论B （由AB）。”也是真命题（非充分性成立，说明原命题是假命题），那么称已知命题的条件A是结论B成立的必要非充分条件。

定义中的“没有条件A，就没有结论B”是说，A是B成立的必要条件。“由A推不出B”是说A是B成立的非充分条件。

根据定义，判断条件A是结论B成立的必要非充分条件要从两方面着手：一是判断条件A是结论B成立的必要条件；二是判断条件A是结论B成立的非充分条件。

例6：已知命题“整数是偶数。”，求证该命题的条件是结论成立的必要非充分条件。

证明：∵没有该命题的条件“整数”，就推不出（）该命题的结论“偶数”成立，∴必要性成立。又∵由该命题的“整数”这一条件推不出（）该命题的结论“偶数”成立，∴非充分性成立。综上所述，已知命题的条件是结论成立的必要非充分条件。

七、充分必要条件（简称充要条件）

已知命题“若有条件A，则有结论B。”，如果“由AB。”是真命题；且“由BA。”也是真命题，那么称已知命题的条件A是结论B成立的充分必要条件。

定义中的“由AB”是说，条件A是结论B成立的充分条件；“由BA”是说，结论B是条件A成立的充分条件，亦即条件A是结论B成立的必要条件。

由充分必要条件的定义不难看出：对于一个真命题而言，如果一个命题的条件A是结论B成立的充分必要条件，那么这个命题的结论B也是条件A成立的充分必要条件。也就是说条件A与结论B互为充要条件，可记为“AB”。

例7：已知命题“若三角形中有两个角相等，则这个三角形是等腰三角形。”，求证该命题的条件是结论成立的充分必要条件。

证明：∵由该命题的“三角形中的某两个角相等”这一条件能够推出（）该命题的结论“这个三角形是等腰三角形”成立，∴充分性成立；又∵由该命题的结论“这个三角形是等腰三角形”能够推出（）该命题的条件“该三角形中的某两个角相等”成立，∴必要性成立。因此，已知命题的条件是结论成立的充分必要条件。

“充分必要条件”通常也可以用“当且仅当”或“在且仅在”或“须且只须”等词语来代替。这里的“当”、“在”、“须”指的是“充分条件”，而“仅当”、“仅在”、“只须”指的是“必要条件”。

例如：“梯形的两个底角相等”是“梯形是等腰梯形”的充分必要条件可以表达成“一个梯形，当且仅当它的两个底角相等，是等腰梯形”；也可以表达成“一个梯形，在且仅在它的两个底角相等，是等腰梯形”；还可以表达成“一个梯形，须且只须它的两个底角相等，是等腰梯形”。

如果一个定理的条件是结论成立的充分必要条件的话，那么它可以作为下定义的性质给与该定理的结论相同的概念下定义。

例如：由于“一个三角形的三条边相等”和“一个三角形的三个角相等”都是“这个三角形是等边三角形”的充分必要条件，因此等边三角形的定义方法有两种：一是“三条边相等的三角形是等边三角形”，二是“三个角相等的三角形是等边三角形”。由此可知，一个概念可以有不同的定义，但它们都是等价的。

八、非充分必要条件

已知命题“若有条件A，则有结论B。”，如果“由条件A推不出结论B（由AB）。”是真命题（非充分性，说明已知命题是假命题），且“无条件A，可能推出结论B（无A可能B）。”也是真命题（非必要性），那么称原命题的条件A是结论B成立的非充分必要条件。

定义中的“由条件A推不出结论B”是说，条件A是结论B成立的非充分条件；“无A可能B”是说，条件A是结论B成立的非必要条件。

例8：已知命题“能被2整除的整数是奇数。”，求证该命题的条件是结论成立的非充分必要条件。

证明：∵由该命题的条件“能被2整除的整数”，推不出（）该命题的结论“这个整数是奇数”成立（只能是偶数），∴条件是结论成立的非充分条件（非充分性成立）。又∵若没有该命题的条件“能被2整除的整数”，也能推出（）该命题的结论“这个整数是奇数”成立，∴条件是结论成立的非必要条件（非必要性成立）。因此，已知命题的条件是结论成立的非充分必要条件。

值得注重的是，以数学命题条件的名称中是否含有“非充分”三字划分，数学命题的八个条件可以分成两类：含有“非充分”三字的一类中包括3个，即非充分条件、必要非充分条件和非充分必要条件，它们各自的命题都是假命题；未含有“非充分”三字的另一类中包括5个，即充分条件、必要条件、非必要条件、充分非必要条件和充分必要条件，它们各自的命题都是真命题。

作者简介

毕育舜（1963.9—）男，辽宁瓦房店人。本科，大連瓦房店师范学校，研究方向，数学教育与教育管理。