基于PMCM模型的裂缝滑移与宽度计算★

张 川 艾星宇

(重庆大学土木工程学院，重庆 400045)

0 引言

钢筋混凝土是当今时代最通用、最常用的建筑材料。由于混凝土具有抗拉强度较低这一特点，通常情况下它是处于带裂缝工作状态，在设计中应考虑裂缝的影响。如修正斜压场理论[1]考虑裂缝的方法是将开裂后的混凝土视作一种新型材料，对裂缝局部进行验算，降低了裂缝的考虑程度。而纯力学裂缝模型(PMCM)则考虑了裂缝的宽度以及裂缝的滑移以及裂缝的方向。

本文基于Calvi的两篇论文[2,3]，提出PMCM模型中计算裂缝宽度以及裂缝滑移的方法。

1 纯力学裂缝模型

1.1 相容条件

单元的应力状态见图1，裂缝处局部平衡关系见图2。假设穿过裂缝的钢筋可以被认为在给定的有效长度Leff上是未粘结的，则整体相容性可以表达为钢筋应变与裂缝位移的关系，即裂缝宽度w和裂缝滑移s。

(1)

其中，εsh为混凝土收缩引起的应变，取为0.3×10-3。

局部相容关系则是裂缝处滑移、宽度、骨料尺寸的关系。与Walraven和Reinhardt[4]的方法相似，假设在裂缝打开时，裂缝表面由一系列骨料颗粒组成，从几何关系中计算裂缝滑移：

(2)

将骨料接触平面与裂缝滑移方向的夹角定为α，即裂齿角，则:

(3)

1.2 平衡条件

由图1可知，竖直方向上，施加在板右侧的剪应力v和裂缝处的剪应力vvi相等；水平方向上，裂缝处钢筋中拉力fsx,cr、裂缝处正应力fci以及施加的拉应力fx也有平衡关系。

fci=ρx×fsx,cr-n×v

(4)

vci=v

(5)

其中，ρx为纵向配筋率；fsx,cr为裂缝处钢筋的应力；n为加载率(fx/v)。

如图2所示，局部裂缝处建立平衡式:

(6)

1.3 本构关系

钢筋的应力与应变关系由本构关系得到，忽略钢筋的销栓作用，采用双折线模型：

fsx,cr=Es×εsx,cr≤fsy

(7)

其中，Es为钢筋的弹性模型；fsy为钢筋的屈服应力。

1.4 抗剪刚度削减

裂缝在反复加载的过程中会逐渐退化，这与加载循环量和加载次数有关[5]。因此采用建模方法将裂缝滑移进行修正，用裂缝系统吸收的单位面积能量成正比的裂缝滑移增量来量化裂缝的退化。

s=s(w,μ,fci,vci)+Δs(En)

(8)

(9)

其中，En为剪应力—滑移曲线的面积：

(10)

2 计算流程

1)确定当前的应力状态，确定剪应力v；

2)假定裂缝宽度，初始为0；

3)计算裂缝处容许的最大剪应力vcimax：

(11)

4)计算裂缝正应力fci与剪应力差Δ:

(12)

(13)

V=1.642+3.28×(0.18×vcimax-v)

(14)

5)计算裂缝滑移:

s=max(s1,s2)

(15)

(16)

(17)

(18)

6)计算钢筋应力应变:

(19)

fsx,cr=Es×εsx,cr≤fsy

(20)

fci=ρx×fsx,cr-n×v

(21)

7)计算裂缝剪应力vci:

(22)

8)计算En:

(23)

卸载时，应力减少，位移不变。

3 参数讨论

计算流程中的第4步计算应力差Δ时，分别有式(13)和式(14)两种计算方法，两者均出自于Calvi的论文，分别出自于他的博士论文和美国混凝土协会的结构期刊论文，下面简写为博士论文与ACI论文，计算采用PC4板，板的参数详见论文[2]。

(24)

化简即为vvimax>v，即计算假定的当前剪应力不得超过裂缝处剪应力能够承担的最大值，是符合该模型的假设的。

而ACI论文方法中：

V=1.64×1.64+3.28×(0.18×vvimax-v)>0

(25)

化简即为0.82+0.18×vvimax-v>0，无物理意义，因此采用Calvi博士论文中计算裂缝处应力的公式，即式(13)。

计算流程中第五步计算裂缝耗散的能量En时，有式(17)，式(18)两种方法，同样对应于博士论文与ACI论文中的方法。Δs与En关系如图3所示。

由图3可以知道，在任何阶段，都有Δs=0.169×En0.634>Δs=0.01En，即为ACI论文上方法考虑滞回反应对裂缝刚度的折减程度更多，滞回耗散的能量高；反映到宏观上就是滞回消耗的能量越高，裂缝的滑移与裂缝的宽度越大。

由博士论文En计算方法得到的滑移—剪应力曲线见图4，由ACI论文En计算方法得到的滑移—剪应力曲线见图5。

可以ACI论文方法看出裂缝滑移计算结果与试验结果更为接近，因此采用式(18)。

综上所述，本文采取Calvi博士论文方法的计算方法，关于能量耗散Δs的计算参考ACI论文的方法，计算的滑移与剪应力曲线关系见图5，宽度与剪应力关系见图6。

4 结语

1)纯力学裂缝模型(PMCM)考虑了相容关系、平衡关系、本构关系以及裂缝刚度的削减，可以计算出裂缝的宽度、滑移与剪应力的关系。

2)PMCM中关于应力差的计算方法有博士论文与ACI论文两种方法，博士论文方法的实质是裂缝处剪应力不得大于容许最大剪应力，而ACI论文方法无含义，因此应该选择博士论文方法。

3)PMCM中关于能量耗散Δs的计算方法有博士论文与ACI论文两种方法，通过计算，应该选取ACI论文方法。

4)PMCM计算裂缝滑移与宽度时，采取Calvi博士论文方法的计算方法，关于能量耗散Δs的计算参考ACI论文的方法，计算的效果较好。