力学课程中能量原理教学探讨

万泽青

摘 要 能量原理是本科基础力学课程中的基本理论，能量法是计算结构位移、内力等的基本方法。针对现行本科阶段力学课程中能量原理知识点分散的现状，从问题的基本变量选取的角度，分三个方面整理和归纳能量原理的知识体系，指出能量法与静力法的对偶关系，可供教师作为教学参考。

关键词 力学课程；能量原理；能量法；静力法；变分原理

中图分类号：G642 文献标识码：B

文章编号：1671-489X（2018）06-0098-03

Teaching Discussion of Energy Principles in Mechanics Courses//

WAN Zeqing

Abstract Energy principles are the basic theories in undergraduate mechanics course. Energy method is a basic method to calculate the displacements， internal forces of various structures. Currently， the relationship is loose about energy principle content between courses of mechanics. In this paper， from the point of view of selection of basic variables， the knowledge system of energy principles divided into three parts was concluded. The duality relation between energy method and static method was pointed out. These contents can be used by teachers for teaching reference.

Key words mechanics course； energy principle； energy method； static method； variational principle

1 引言

在固体力学中对结构进行静力分析时，有两种不同的途径：一是从几何条件、物理条件、平衡条件三个方面来求解结构的内力和位移，这就是所谓的静力法；二是用能量泛函驻值或极值条件来研究力的平衡和变形协调条件，這种解法叫作能量法。

在现行本科力学课程体系中，从理论力学、材料力学、结构力学到弹性力学，静力法的教学知识体系搭建较为完善，各课程间的知识联系也较为紧密。根据多年的基础力学教学观察，学生整体上对静力法求解问题的知识脉络还是比较清晰的。而在各门力学课程中关于能量原理的教学内容却相对松散，知识点的连续性也有所欠缺[1-2]。目前，在基础课学时普遍减少的背景下，不少教师通常还不得不对能量部分的内容进行删减，这也导致学生普遍反映学习较困难，很难将相关知识点由点串成一条线。

2 能量原理概述

在变形固体力学中，与能量有关的一些原理、定理统称为能量原理。弹性结构静力分析的能量原理，以及结构动力分析的哈密顿原理，在数学上都归属于泛函变分原理。所以可以认为能量原理就是以能量变分形式表述的力学定律。应用能量原理解决问题的方法称为能量法，它是与静力学方法平行的一种方法。

能量原理根据其基本变量的个数，可分为基本能量原理和广义变分原理两大类[3]。基本能量原理，也称自然能量原理，是取单类变量作为基本变量的，包括最小势能原理和最小余能原理；其中最小势能原理以位移为基本变量，最小余能原理以应力为基本变量。广义变分原理是取多类变量为基本变量的，常用的有Hellinger-Reissner变分原理（H-R原理）和胡海昌-鹫津久一郎变分原理（H-W原理）；其中H-R原理以位移和应力作为基本变量，H-W原理以位移、应变和应力作为基本变量。

能量原理有两个基本特点：1）对于各种杆系结构的计算非常方便；2）它是针对任意复杂的工程结构数值分析方法——有限元法的理论基础。

3 能量原理的知识体系

在静力法中，有位移法和力法两种基本方法，有时也采用基本变量是多类变量的混合解法。与之对应，在能量法中分别有以位移为基本变量的最小势能原理、以应力为基本变量的最小余能原理，以及有多类变量的广义变分原理。下面就以这样的分类方法介绍能量原理的知识体系。

最小势能原理 在外力作用下，变形固体发生变形，设材料是非线性弹性的，力-位移曲线如图1所示。当外力从零开始缓慢增加到F1时，外力作用点沿外力作用方向的位移也从零增大到Δ1，此时外力功为：

从图1可见，外力功的定义式（1）中FdΔ相当于图中带阴影线的长条面积，由此可知，外力功就相当于Δ从0到Δ1之间F-Δ曲线下的面积。根据功能原理，在弹性变形范围内，外力所做的功将全部转化为变性固体内储存的能，称为应变能Vε。

虚功原理是静力学的重要原理，在理论力学中有关于质点系的虚功原理。对于变形体，虚功原理可表述为：设结构在外力作用下处于平衡状态，假定由于其他任何原因，使结构从其平衡位置偏离任意一个满足位移边界条件和变形连续条件的虚位移（可看作真实位移的一个变分），那么外力对虚位移所做的虚功必等于各微段上的内力在其变形上所做的变形虚功（虚应变能）。

上面的描述中，位移状态是虚设的，这时的虚功原理可称为虚位移原理。在虚位移原理表述中，没有涉及结构材料的本构关系，也没有涉及在外力作用下实际变形的过程和大小，因此，虚位移原理不限定用于线弹性问题。虚位移原理是结构在外力作用下处于平衡状态的充要条件，它等价于平衡条件和静力边界条件。

单位位移法是虚位移原理的一个应用，如所设虚位移为单位位移，则可用于求解与虚设的单位位移相对应的未知力，其关键是找出虚位移状态的位移关系，其特征是用几何方法解决静力平衡问题。

虚位移原理对应弹性力学之最小势能原理：在所有满足结构位移边界条件和变形连续条件的位移中，真实的位移即满足结构平衡条件的位移使结构的总势能取得驻值。这里的总势能定义为结构在可能位移状态下的应变能和外力势能之和。对于线弹性结构，总势能的二阶变分恒为正，因而使总势能取最小值，所以这个原理又称最小势能原理。显然，最小势能原理与虚位移原理等效，实质是用能量形式表示的平衡方程。

卡氏第一定理：如果结构的应变能Vε表示成广义位移Δi的函数，则应变能Vε对任一广义位移Δi的一阶偏导数等于相应的广义力Fi。卡氏第一定理适用于一切受力状态下线性或非线性的弹性体，它可以用来求解两类问题，即已知位移求相应的力或已知力求相应的位移。在第二类问题中，其用法实际上与最小势能原理相同。

在能量原理的上述体系中，以虚位移原理为基础，推导出最小势能原理、卡氏第一定理，它们都事先满足变形协调条件和位移边界条件，所要建立的是能量形式的平衡方程。

最小余能原理 与外力功对应的一个概念是余功。如图2所示的力-位移曲线，当外力从0缓慢增加到F1时，仿照外力功的定义计算另一积分：

Wc与外力功具有相同的量纲，由图2可见，它是外力F从0到F1之间F-Δ曲线以上的面积，与对应的外力功之和正好等于F1Δ1矩形面积，所以习惯上称之为余功。由于材料是弹性的，仿照外力功与应变能相等的关系，将与余功相应的能称为余能Vc。

需要指出的是，余能并没有具体的物理意义，只是具有与应变能相同的量纲，引进这一概念是为了讨论能量原理的需要。在线弹性问题中，由于力-位移呈线性关系，因此余能和应变能在数值上是相等的，但两者在概念和计算方法上截然不同。

虚力原理是与虚位移原理对偶的基本能量原理，其内容可表述为：设结构在外力作用下处于平衡状态，如果给外力一个满足平衡条件和静力边界条件的虚变化，即虚力，则虚力对外力所引起的位移所做的功（称为虚余功）必等于结构的虚余能。必须指出，同虚位移原理一样，虚力原理既不限定用于弹性问题，也不限定用于线性问题。虚力原理是结构变形协调的充要条件，它等价于变形协调条件和位移边界条件。

单位荷载法是虚力原理的一个应用，如所设虚力为单位力，则可用于求解与虚设的单位力相对应的位移，其关键是找出虚力状态下的静力平衡关系，其特征是用静力平衡方法求解几何问题。材料力学中的莫尔定理实质就是虚力原理，它用虚设单位力的方法求解结构真实的位移，但通常只介绍荷载作用下结构位移的计算。至于结构力学中的虚力原理，公式的表述与莫尔积分完全一致，但综合考察了荷载、温度和支座沉降等三种因素对结构位移的影响。在结构力学中，为了简化计算，对于以弯曲变形为主的杆系结构，忽略轴力和剪力的影响，更多地利用内力图形将莫尔积分转化成图形互乘的图乘法。

虚力原理对应弹性力学之最小余能原理：在所有满足平衡条件和应力边界条件的应力中，真实的应力即满足结构变形条件和位移边界条件的应力，使总余能取得驻值。这里的总余能定义为结构在可能应力状态下的应变余能和边界位移余能之和。如果弹性体无位移已知边界，则应变余能即为总余能。可以证明，对于稳定平衡来讲，真实的应力使总余能取极小值，所以该原理称为最小余能原理。最小余能原理实质是用能量形式表示的变形协调方程。

卡氏第二定理：如果结构的余能Vc表示成广义外力Fi的函数，则余能Vc对广义外力Fi的一阶偏导数等于相应的广义位移Δi；对于超静定结构，余能要表示成广义外力Fi和多余未知力Xi的函数，而不能只表示为广义外力Fi的函数。这一定理称为Crotti-Engesser定理，既适用于线弹性结构，也适用于非线性弹性结构。但在线弹性结构体系中，由于力与位移成正比，结构的应变能Vε在数值上等于余能Vc，因此，对于线弹性体，结构的应变能对于任一外力的偏导数等于与该外力对应的位移，称为卡氏第二定理。显然，卡氏第二定理是Crotti-Engesser定理在线弹性情况下的特例，该定理为计算静定线弹性结构的位移提供了一个非常简便的方法。

在能量原理的上述体系中，以虚力原理为基础，推导出最小余能原理、卡氏第二定理，它们事先都满足平衡条件，所要建立的是变形协调方程。

广义变分原理 前面分别讨论了最小势能原理和最小余能原理，在应用最小势能原理时，选取位移为基本变量，原理等效于问题的平衡方程和静力边界条件；在应用最小余能原理时，选取力（或应力）作为基本变量，原理等效于问题的几何方程和位移边界条件。显然，在把位移和力（或应力）作为基本变量时，它们都有约束条件，最小势能原理的位移变量受到几何变形协调和位移边界条件的约束，最小势能原理的力（或应力）变量受到平衡条件和静力边界条件的约束。在这样的背景下就发展了广义变分原理。

赫林格（E.Hellinger）和瑞思纳（E.Reissner）分别于1914年和1950年研究推广了最小余能原理，提出以位移和应力为基本变量的混合变分原理，称为H-R变分原理。胡海昌和鹫津久一郎分别于1954年和1955年将最小势能原理进行推广，提出以位移、应变和应力为基本变量的混合变分原理，称为H-W变分原理。这两个广义变分原理通过引入可以识别物理意义的Lagrange乘子，放松了约束条件，在有限元方法和工程弹性理论中，广义变分原理具有广泛的应用。

4 能量法与静力法的对偶关系

能量法和静力法是弹性结构静力分析中两种并行的解法，两种解法之间存在共性，也有区别。在静力法中，有位移法、力法和混合法。在能量法中，分别由最小势能原理、最小余能原理和广义变分原理导出的解法实际上与位移法、力法和混合法是等价的。能量法和静力学的共性体现在两种解法都要求真解满足几何条件、物理条件和平衡条件，两种解法都可按照基本变量的选取方式分为三类方法。

1）位移法：选取位移作为基本变量（在结构力学中选取独立的节点位移作为基本变量）。

2）力法（应力法）：在超静定结构分析中选取多余未知力为基本变量（在弹性力学中选取应力作为基本变量）。

3）混合法：选取的基本变量不是单类变量，而是多類变量，如混合选取位移和应力作为基本变量，或选取位移、应变、应力作为基本变量。

基于最小势能原理的解法本质上是以能量形式表示的位移法，唯一的区别是采用能量表述形式，用势能驻值条件代替位移法基本方程。基于最小余能原理的解法本质上是以能量形式表示的力法，唯一的差别是改用能量的表述形式，把力法基本方程换成与其等价的余能驻值条件。

5 结束语

本文将能量原理分成两个系统：一是从外力功和应变能的概念出发，将“虚位移原理—单位位移法—最小势能原理—卡氏第一定理”这些点串成一条线，基本思想与静力法中的位移法对偶；二是从余功和余能的概念出发，将“虚力原理—单位荷载法—最小余能原理—卡氏第二定理”串成线，其思想与静力法中的力法（弹性力学中的应力法）对偶。广义变分原理是弹性力学最小势能原理和最小余能原理的推广，其特点是变分式中各量都可以有独立的变分，并且事前不受任何限制。在能量原理教学中，如果能够按照上述体系讲授，并注意能量法与静力法中的力法和位移法的对偶关系，可以期望取得更好的教学效果。

参考文献

[1]龚相超，胡百鸣.力学课程中能量原理教学相关性初探[J].大庆师范学院学报，2011，31（6）：129-132.

[2]刘又文.虚位移原理与变形体能量法的教学衔接[J].力学与实践，2007，29（3）：71-72.

[3]龙驭球，刘光栋.能量原理新论[M].北京：中国建筑工业出版社，2007.