转子不平衡量的HBGM估计

赵宏武，陈洪武，蔡正祥

（上海海洋大学 工程学院，上海 201306）

在转子所有故障中，不平衡故障占70%。在转子进行动平衡时，所加平衡块质量和位置的微小误差也会对转子造成很大的影响，所以转子的不平衡量识别问题显得尤为重要。国内学者提出了利用升速响应振幅进行转子模态平衡的方法[1]。国外学者则采用遗传算法，可以有效识别转子的不平衡量[2]。以上方法都需获得相对准确的数据，但在干扰较大的环境下，不平衡量结果仍会受到很大影响。

在转子的平衡计算过程中，目前普遍使用的是影响系数法，该方法较为简便，但存在病态方程[3]。将最小二乘法和影响系数法相结合，虽能解决病态方程问题，但最小二乘法受异常值影响非常大，导致得到的加重质量和相位不够精确[4]。加权最小二乘法虽能抵抗异常值的影响，但需要经验积累并对振动数据进行繁琐的处理。稳健方法中的GM估计虽能有效识别不平衡量，但振动数据较多时无法识别异常值。现提出一种基于HBGM估计的方法对转子进行不平衡识别，该方法根据转子回归模型，在GM估计的基础上利用中位数计算稳健距离，在振动数据较多的情况下，也可以通过稳健距离有效识别异常值并降低权重。该方法具有较高的崩坏点，保证了稳健性，使转子动平衡量的识别更加精确并能有效识别异常值。

1 转子回归模型及平衡方法

影响系数法是转子动平衡最常用的方法。根据线性振动理论，在a个转速、b个测振点、m个平衡平面条件下，转子平衡方程为[5]

其中：[E0]为各测点的残余振动；[Y]为转子不平衡量引起的各测点的初始振动列阵；[X]为影响系数；[β]为校正质量。

矩阵形式表达为

式（2）可以转化为多元回归问题[9]

当存在病态方程时，采取最小二乘法原理，使各测试点的残余振动平方和最小，矩阵表示为

虽然最小二乘法容易理解，计算简单方便，但是不具有稳健性，受异常值影响较大。

2 转子回归模型的HBGM估计基本表达式

转子动平衡的最小二乘法矩阵形式如式（4）所示，现讨论转子回归模型的HBGM基本矩阵表达式。

HBGM估计是一种以GM估计为基础的、具有较高崩坏点的估计。在识别转子不平衡量的过程中，GM估计不仅将转子平衡后的残余振动进行了降权，也将影响系数矩阵进行了降权处理。GM估计有两种形式，此处我们只考虑Mallows所提出的形式

因此标准化的HBGM估计

矩阵形式表示为

式（8）、式（9）即为转子回归模型的HBGM估计（GM-estimation with high breakdown point）矩阵表达式。

3 基于稳健距离的转子振动数据异常值的识别

转子不平衡量识别过程中，异常值对不平衡量的识别影响非常大，尤其在临界转速处，可能存在多个异常值，所以异常值的识别成为一个重要问题。

在线性回归分析中，杠杆点（x方向异常值）和粗差（y方向异常值）的主要识别方法为分析帽子矩阵，帽子矩阵表达式如下

然而，当观测值较多时帽子矩阵难以识别[10]。尤其在转子临界转速处，可能存在多个异常值，此时利用帽子矩阵无法识别出多个异常值。现提出一种基于稳健距离的寻找异常值方法。

对于式（3）中的转子多元线性回归模型，可通过计算稳健距离识别振动数据中的异常值。该方法包含5步：

（1）计算各个点之间的距离Sij；

（3）计算稳健距离

（4）计算临界值

即使在转子临界转速处，通过该方法也可以推测潜在的异常值，重新计算权重值，然后再应用HBGM估计。

4 HBGM在转子回归模型中的应用

4.1 转子的简单线性回归模型

为了更好理解HBGM估计并将其应用到转子动平衡的线性回归模型中，先讨论转子的简单线性回归模型。现假设转子简单线性回归模型为

首先计算各个点之间的距离

如果振动数据中包含影响系数异常值、初始振动异常值，这些异常值与正常值之间的距离Sij明显比正常值之间的距离大。在这种情况下，我们仍然无法推测数据中包含哪种异常值，因此在标准化过程中有两种不同的形式。

影响系数的标准化距离

初始振动的标准化距离

分别计算影响系数稳健距离和初始振动稳健距离：

SL、SG可分别形成一个对角元素为0的n×n矩阵，由于medxi、MEDX、medyi、MEDY根据中位数计算，所以不会受到异常值的影响，所以上式可以用来推测数据中包含的异常值。为了识别出潜在的异常值，临界值可以根据卡方分布计算，也可以根据MAD计算。如果说明第i个点是影响系数中的异常值。如果则第i个点是初始振动的异常值。它们的权重函数如下

影响系数权重函数

初始振动权重函数

式中t=3，z=2。

通过这种算法，调整后的权矩阵会降低两种异常值影响，不平衡量的估计更加准确，这种方法的崩坏点达到了50%[6]。

4.2 转子的多元线性回归模型

由于转子不平衡量回归模型是一个多元回归分析问题。转子的多元线性回归模型如式（3）所示。

计算第i个点和第j个点的标准距离

根据式(26)，对于影响系数矩阵，计算多个标准化距离

对于初始振动，标准化距离

与转子的简单线性回归相似，medx1i、medx2i、…、medxmi、MEDX1、MEDX2、…、MEDXm、MADX1、MADX2、 …、MADXm和 MADY计算方法和式(15)、式(16)、式(17)、式(19)、式(20)、式(21)相似，通过以上方法我们可以识别出振动数据中的异常值，计算权重函数，得到转子不平衡量。

5 转子动平衡实验及分析

通过转子试验台对转子不平衡量的HBGM估计进行验证。试验台结构见图1。实验中采用两个测振点A、B，进行单面转子不平衡量识别。转子的1阶临界转速为2 600 r/min。

图1 转子试验台

本次转子平衡实验中，在保证转子无任何故障的前提下，在平衡面1的30°位置处添加已知不平衡量1.2 g，在此情况下测量转子的测振点A、B两处不平衡量振幅和相位分别如图2、图3所示。

图2 A、B测点不平衡量响应振幅

图3 A、B测点不平衡量响应相位

影响系数矩阵通过实验得到。在已知不平衡质量和相位的情况下，分别用最小二乘法、GM估计和HBGM估计计算转子不平衡量的大小和相位，结果如表1所示。采用不平衡量实际值b和估计值b^的相对误差比较三种方法的效果，相对误差为[7]

由表1可知，利用GM估计和HBGM估计得到的转子不平衡量的相对误差与最小二乘法相比明显减少，不平衡量大小和相位的精度明显提高。

表1 不同方法计算得到不平衡量结果

现分析异常值。根据式（11）计算帽子矩阵，得到帽子矩阵对角线元素值hii见图4。

根据HBGM估计，分别得到影响系数和不平衡量响应中各个点的稳健距离和临界值，可得到异常值。影响系数各个点的稳健距离和临界值如图5所示，不平衡响应各个点的稳健距离和临界值如图6所示。

图4 帽子矩阵对角线元素值

图5 影响系数矩阵各点稳健距离和临界值

图6 不平衡响应量各点稳健距离和临界值

由图4可知，在临界转速附近存在1个异常值。由图5、图6可知，影响系数矩阵无异常值，不平衡响应量在1阶临界转速附近有3个异常值存在。由图2、图3可知，由于振动剧烈在临界转速处难以获得准确的振动信息，存在多个异常值。因此，根据稳健距离能更好识别数据中异常值。

6 结语

建立了转子不平衡量识别过程中的多元线性回归模型，在此基础上介绍了GM估计和具有高崩坏点并能准确识别异常点的HBGM估计。实验过程中，在转子1阶临界转速下，振动较为剧烈而难以获得准确的振动信息且振动数据较多，在此情况下，利用HBGM估计可以准确识别1阶临界转速处的异常点，而帽子矩阵无法识别多个异常点。实验结果表明：

(1)在已知不平衡质量大小的情况下，GM估计和HBGM估计得到的不平衡量大小和相位与最小二乘法相比较，可以得到更好的估计值。两种方法均有较好的识别效果。

(2)振动数据较多时，帽子矩阵无法识别多个异常值，HBGM估计能够有效识别转子振动时产生的异常值。