FxRLS算法在齿轮箱振动主动控制中的应用

罗顺安，张 锋，汪 涵

（华侨大学 机电及自动化学院，福建 厦门 361021）

齿轮传动有传动效率高、传动平稳等优点，广泛应用于汽车、航空、工程机械等领域。但在实际工作过程中由于制造安装误差、刚度时变性、啮合冲击等因素引起的动态啮合力会引发齿轮系统振动，从而降低系统传动精度，加快零件疲劳失效[1]。为抑制齿轮系统振动，传统上一般采用被动控制的方法，如对齿轮进行修形[2]、增大系统阻尼等，被动控制能在一定程度上降低齿轮系统振动，稳定性高，但对中低频振动不能进行有效控制，且需改变传动系统结构，灵活性差。

相比被动控制，从外部添加控制源，并以自适应算法为控制策略的主动控制方法对齿轮系统的中低频振动具有更好的控制效果[3]，其中控制策略是影响控制效果的主要因素，LMS算法由于计算简单，便于分析而被广泛应用。Mingfeng Li等[4]设计了以单只压电作动器为执行结构的齿轮传动振动控制系统，并采用Fx LMS算法为控制策略，实验结果显示齿轮箱体振动最多有10 dB的衰减。Yuan H.Guan等[5]在同样的控制结构上应用D-LMS算法以简化计算。WU Jian-da等[6]在齿轮振动主动控制中，将Fx LMS算法与μ分析相结合，使得控制系统具有更快的收敛速度和更好的鲁棒性。李以农等[7]构建了在齿轮轴上附加压电作动器的主动控制结构，采用次级通道在线辨识的Fx LMS算法以控制单级直齿轮传动系统的振动，结果表明，在不同啮合频率下，经过主动控制后的齿轮传动系统振动有了不同程度的减弱。李自强等[8]采用非线性的BFxLMS算法，对次级通道进行在线辨识，在二级齿轮箱上进行试验，结果在第一对齿轮啮合基频处可以达到11 dB的衰减，在第2对齿轮啮合基频处可以达到10 dB的衰减。

以上研究证明基于LMS算法的主动控制方法能有效抑制齿轮系统振动，但由于LMS算法采用随机梯度下降法搜索最优值，振动主动控制系统在实际应用中存在收敛速度缓慢和稳态误差较大的不足，而另一自适应算法递归最小二乘算法（RLS）能有效解决控制系统的这一问题[9]。Mirza A等[10]将FxRLS算法应用在有源噪声控制（ANC）中，并与采用FxLMS算法的ANC系统比较，仿真结果证明，FxRLS算法具有更快的收敛速度和更小的稳态误差。Quanzhen H等[11]以压电陶瓷作动器为执行器控制悬臂梁的振动，分别采用FxRLS算法和FxLMS算法作为控制策略进行实验，结果FxRLS算法相比FxLMS算法有高于5倍的收敛速度。

齿轮系统的振动由刚度、误差、啮合冲击等多种激励综合作用而产生，振动系统复杂度高，为验证FxRLS算法在齿轮系统振动主动控制中的有效性，本文以一组压电作动器为执行机构，设计了二级齿轮箱振动主动控制结构，采用FxRLS算法作为控制策略，并分别在ADAMS与Simulink中建立齿轮系统虚拟样机模型与FxRLS控制系统，连接两者进行联合仿真，仿真结果证明了FxRLS算法在齿轮传动系统振动主动控制应用中的有效性。

1 FxRLS算法

FxRLS算法是RLS算法在振动主动控制应用中的一种改进，其系统框图如图1所示。

图1 FxRLS算法结构框图

d(k)为振动信号，y(k)为控制信号，S(z)为次级通道，表示控制信号输出至误差信号输入之间的信号传播通道，引入次级通道模型S′(z)对输入控制器的信号进行滤波，以抵消次级通道对控制系统的影响。e(k)为残余振动信号，即系统振动信号与执行器产生的振动信号之差

自适应滤波器采用FIR滤波器结构，则s(k)可表示为

式中：

定义Fx RLS算法的目标函数为观测区间内的加权误差平方和，即

其中：λn-k为加权因子。

当目标函数ξ(n)相对权向量wn的梯度为0时，滤波器结构参数在最小二乘意义上取得最优值，对应的权值向量为

此时，滤波器的估计误差为

将上式代入正则方程，得权值向量更新方程为

将FxLMS算法与FxRLS算法的性能进行比较。FxLMS算法的目标函数相比维纳滤波器的目标函数移除了期望算子，并采用随机梯度下降法搜索最优解，使其能在输入信号统计特性未知的环境下工作，但这导致FxLMS算法无法最终收敛于维纳解，而是在维纳解的邻域内以随机游走的方式徘徊，从而达到稳定状态后存在较大的稳态误差。同时在随机梯度下降过程中需选择较小的步长因子以保证算法收敛，这导致算法收敛速度缓慢[12]。

FxRLS算法的目标函数为观测区间内的加权误差平方和，依赖于观测区间内所有输入信号与目标信号的时间平均，由于振动系统产生的随机信号具有各态遍历性，可使用时间平均代替集平均，从而FxRLS算法可视为维纳滤波器理论在时间上的表现形式，当迭代次数n趋于无穷大时，其最优解收敛于维纳解，均方误差趋于零，即相比FxLMS算法，FxRLS算法在达到稳定后的稳态误差更小。同时在迭代过程中FxRLS算法使用逆相关矩阵Φn-1对输入信号进行白化处理，使其具有更快的收敛速度。

2 构建齿轮箱振动主动控制结构

齿轮系统在误差、刚度和啮合冲击等多个激励下产生动态啮合力，引起振动，因此在激励源附近添加控制力以对动态啮合力进行抵消，可以有效地阻止振动的产生，并减少振动的传递。以二级齿轮箱为研究对象，设计二级齿轮箱如图2(a)所示，其中齿轮采用直齿圆柱齿轮，输入轴齿轮齿数为19，中间轴大齿轮齿数为37，中间轴小齿轮齿数为23，输出轴齿轮齿数为35。在齿轮箱内部将一对压电作动器通过支撑轴承分别添加在输入轴与输出轴上，如图2(b)所示。

压电作动器尾端固定在支架套筒内以限制其径向移动，作动器前端通过防载棒顶在支撑轴承垫块上，以限制其轴向移动，当压电作动器接收控制信号时将输出作动力，并通过支撑轴承作用在轴上，直接削弱齿轮副的动态啮合力，达到抑制振动的目的。

将建立的二级齿轮箱三维模型导入ADAMS中以构建虚拟样机模型。用impact碰撞函数模拟齿轮副啮合和碰撞过程，其函数表达式为

其中q为两接触物体的实际碰撞距离，q0为两接触物体的参考碰撞距离，K为刚度系数，e为刚性力指数，C为阻尼率，d为阻尼率达到最大所经过的距离[13]。

选择齿轮材料为45号钢，对于齿轮间的接触碰撞 ，设 置K为 9.16×105N/mm32，e为 1.5，C为30 N·S-1/mm，d为0.1 mm，取动摩擦系数为0.05，静摩擦系数为0.08；采用型号为6003的深沟球轴承，对于轴承滚子与内外圈之间的接触碰撞，设置K为1.644×105N/mm32，e为 1.5，C为30 N·S-1/mm，d为0.05 mm，动、静摩擦系数分别为0.036和0.05。在输入轴施加转动，在输出轴施加负载，从而得到二级齿轮传动系统的虚拟样机模型。

3 构建联合仿真系统

结合图1的Fx RLS算法结构框图及图2中二级齿轮箱振动主动控制结构，设计齿轮箱振动主动控制系统如图3所示，激励作用于齿轮副引起的振动即为控制目标，二级齿轮箱有两对齿轮副，从而有两个控制目标，S1(Z)和S2(Z)分别表示两个次级通道，为消除次级通道的影响，将对应的模型引入控制系统中以对控制器输入信号进行滤波。在振动主动控制中，参考信号的选择对控制效果有很大影响，为获得与齿轮系统振动具有高相关性的参考信号，通过2阶IIR自适应陷波器对实时采集的振动信号进行频率估计[14]，以获取齿轮副啮合频率，再在线合成参考信号。

通过仿真以验证FxRLS算法在二级齿轮箱振动主动控制应用中的有效性。在Simulink中构建振动主动控制系统，其核心为FxRLS自适应滤波器，由于滤波器为多输入多输出，采用Level-2函数编写FxRLS算法，对参考信号合成器中的自适应陷波器同样采用Level-2函数进行设计，使用FIR滤波器结构模拟次级通道，连接控制器、参考信号合成器及次级通道模型，得到振动主动控制系统；将ADAMS中的齿轮传动系统虚拟样机模型作为机械模块导入Simulink，与控制系统进行连接，得到如图4所示的机械系统与控制系统一体化的齿轮传动振动主动控制联合仿真模型。

图2 二级齿轮箱振动主动控制结构

图3 二级齿轮箱振动主动控制系统

图4 齿轮箱振动主动控制联合仿真系统

联合仿真需要两个软件进行数据通信，定义齿轮传动系统的输入变量为两个压电作动器分别作用在输入轴与输出轴上的控制力，输出变量分别为对应控制力作用点上的振动加速度[15]。

4 仿真结果

设置齿轮箱的输入转速为2 543 r/min，则通过各齿轮齿数可计算得高速齿轮副的啮合频率为805 Hz，低速齿轮副的啮合频率为500 Hz，设置负载为1 N·m。

设置仿真参数如下：作为控制器的自适应滤波器阶数为90；FxRLS算法的加权因子λ=0.999 7，初始化自相关矩阵的正则参数δ=0.002；另外采用FxLMS算法作为控制策略进行仿真以作为比较，由于在宽松意义下，FxLMS算法的步长因子μ与FxRLS算法的1-λ有类似作用，因此选择步长因子μ=0.000 3；设定采样频率为0.000 1 Hz。

进行联合仿真，仿真结果如图5、图6所示。其中图5(a)为输入轴振动主动控制的时域历程，图5(b)为对应的频域结果；图6(a)为输出轴振动主动控制的时域历程，图6(b)为对应的频域结果。

从仿真结果可见，所设计的振动主动控制结构在采用自适应算法为控制策略时，能有效控制二级齿轮箱的振动。在图5(a)中，FxRLS控制系统经过1 500次迭代后达到稳定，而FxLMS控制系统经过3 000次迭代后达到稳定，在图6(a)中，FxRLS控制系统经过1 000次迭代后达到稳定，FxLMS控制系统经过2 000次迭代后达到稳定，图5(a)与图6(a)的结果可以证明FxRLS算法具有比FxLMS算法更快的收敛速度；在图5(b)中，主动控制系统对振动的抑制主要在第4阶谐波3 220 Hz处，其中FxRLS控制系统对振动的削减量为5 dB，FxLMS控制系统对振动的削减量为3 dB，在图6(b)中，控制系统对振动的抑制主要在第3阶谐波1 500 Hz和第4阶谐波2 000 Hz处，FxRLS控制系统在这两个频率处分别降低振动6 dB和7 dB，FxLMS控制系统在两个频率处分别降低振动2 dB和3 dB，从图5(b)和图6(b)的结果可见，FxRLS算法具有比FxLMS算法更小的稳态误差；对比图5和图6可见，高速齿轮副动态啮合力引起的振动大于低速齿轮副动态啮合力引起的振动，而FxRLS控制系统与FxLMS控制系统对输出轴振动的控制效果均好于对输入轴振动的控制效果，即主动控制方法对齿轮传动系统的中低频振动控制效果更好，有效控制齿轮箱输出轴振动能减少振动传递至负载，符合实际需求。

5 结语

为有效控制二级齿轮箱振动，将一对压电作动器通过支撑轴承分别安置在输入轴与输出轴上以构建振动主动控制结构，采用FxRLS算法作为控制策略，在Simulink中构建控制模块与机械模块一体化的联合仿真系统，并将FxLMS控制系统作为对比，根据仿真结果可见：

图5 输入轴振动主动控制仿真结果

图6 输出轴振动主动控制仿真结果

(1)以FxRLS算法为控制策略，所提出的振动主动控制结构对二级齿轮箱输入轴与输出轴振动在多个频率处都有超过5 dB的衰减，证明了所提主动控制方法的有效性。

(2)相比FxLMS控制系统，基于FxRLS算法的控制系统对二级齿轮箱输入轴与输出轴振动的控制都具有更快的收敛速度，且在多个频率处都能取得更好的控制效果，与理论分析相符。

(3)控制系统对输出轴振动的控制效果好于对输入轴振动的控制效果，在二级齿轮箱中，输入轴为高速轴，输出轴为低速轴，可见主动控制方法对齿轮系统的中低频振动能进行更有效的控制。