基于载弹量约束的舰艇目标价值分析和导弹分配方案∗

宋贵宝 贾汝娜 李一夫 王城超

（1.海军航空大学 烟台 264001）（2.91959部队 三亚 572000）

1 引言

一方面，海上形势日益严峻，战场环境日益复杂，立体化、网络化的联合作战方式成为主流，反舰导弹等杀伤力巨大的武器不断发展，给水面舰艇的生存带来极大威胁；另一方面，作为海军部队作战的重要支撑平台，水面舰艇承担着海上作战、护卫巡航、保障港口和海上运输安全等众多艰巨使命，必须提高自身的防御和多种综合作战能力［1］。本文立足水面舰艇的实际情况，即出航过程较长且武器补给难以实现，威胁和任务多样化，解决总导弹武器携载数量存在约束条件下，合理确定对目标的导弹武器使用数量，从而确定各型导弹配置数量。

2 问题模型建立

2.1 作战任务

作战任务确定考虑驱护编队在近海和远洋战活动中目标威胁多样、执行多种任务的特点，按照目标作战平台对作战任务进行划分。

作战任务：军语中对作战任务的定义为武装力量在作战中所要达到的目标及承担的责任［2］。作战任务的类型可依据具体作战目标确定，本文中将对某一作战平台采取的导弹武器分配确定为一项作战任务，从而根据整个作战过程中目标平台的类型和数量确定完成任务使命所需要完成的各个子任务，这种任务确定方法可以将任务执行与武器分配进行有效挂钩，简化分析模型。

作战平台：军语中对作战平台的定义为现代各种武器系统中，具有运载功能并可作为火器依托的载体部分［2］。本文中根据具体情况，定义为可携带一定武器装备、具备一定防御和攻击能力的武器载体。如一艘装载导弹、舰炮等武器的驱逐舰，一架装载导弹的战斗机。

2.2 问题模型

本文模型中为在只考虑各型导弹的总量约束情况下，设可携载的导弹武器总量为M；要打击的目标平台数量为N，表示为Ti（i=1，2，…，N），不同目标平台的价值系数VTi。打击不同目标平台所需的舰载导弹类型不同，由于本文主要考虑导弹总量约束，所以对具体平台的打击我们总选择对其单发毁伤概率最高的导弹类型［2］。

设对平台Ti使用的导弹数量为XTi，单发导弹对目标平台的毁伤概率为pi，单个平台的毁伤程度Ti毁表示为［3］

此时对该目标平台的作战任务价值V'Ti为

目标函数V为总作战任务价值最大，公式为

3 目标价值系数确定

本文的目的是在驱护编队出海作战时导弹武器携载量存在约束条件下，综合考虑对各个作战平台所采取的打击方式，以实现总任务价值V最大为目标函数，以此最终确定各型导弹配置数量。其中价值系数VTi的计算对于整个配置方案的合理性起到决定性作用，对各个目标的相对重要性进行合理评估确立各目标平台价值系数，才能准确进行下一步计算。

3.1 建立目标价值指标体系

对于目标价值的计算，有文章提出使用综合分析方法，将目标价值分解为目标个体价值和目标网络价值两个分量，分别通过目标个体价值分析和目标网络价值分析得到两个价值分量的排序，最后通过一个综合算法得到最终目标价值排序［4］。

参照上述思路对建立目标价值体系如图1所示。

图1 目标价值指标体系

个体价值指标主要从目标平台自身特性分析得出，包括［5～6］：

抗毁伤能力a1：以造成重创所需要的导弹武器数量作为衡量基准。

目标类型a2：不同目标具有不同的威胁等级排序。

距离和速度：两者描述了目标与我方接近距离的变化情况，速度越快距离越近威胁越高，我们用两者比率a3来表示。

武器装备a4：武器的装备情况反映了目标对我方毁伤能力的程度。

目标造价a5：该指标在一定程度上可以衡量对其打击的价值。

组间价值主要从整个目标体系出发，分析其在体系中的价值，包括：

目标战术价值a6：目标在整个体系中重要性，如航母舰艇编队中主航母战术价值通常最大。

战术要求满足性a7：从任务使命和任务角度出发，描述目标平台在作战中的价值，如作战要求为破坏敌方的侦察能力，那么携带侦察设备的平台战术满足性更高。

作战协同地位a8：目标在目标体系中起到的通信、火力支援等作用越重要认为协同地位越高。

为方便计算，将各指标进行相应等级划分，然后进行［0，1］区间打分法。

各指标相应处理结果如表1～表8：

表1 目标抗毁伤能力等级表

表2 目标威胁等级表

表3 距离速度比率等级表

表4 武器装备等级表

表5 目标造价等级表

表6 目标战术价值等级表

表7 目标战术满足性等级表

表8 目标作战协同能力等级表

3.2 计算各目标价值指标权重

以上指标按照可理解性指标处理原则进行统一处理。可理解性指标可以进行理解计算，通常难以确定具体的计算函数。对其处理的过程采用二元对比排序法方法，相较于专家打分法可以减少主观性。首先对以上指标进行两两比较，确定排列矩阵。通常会采用9标度排序法，但由于传统的9标度指标判断矩阵的约束性太强，本文采用1，0，-1的3标度法，并使用最优传递矩阵进行计算［7］。计算过程如下：

首先确定标度含义，如

然后对各级指标进行两两比较，建立比较矩阵，然后建立最优传递矩阵和判断矩阵。

最优传递矩阵计算方法：

判断矩阵计算方法：

那么A矩阵中最大特征值对应的特征向量记为各因素的相对权重记为（a1，a2，a3，…，a8）。

我们请十位相关专家按照上述方法进行打分，取均值后最终确定指标（a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8）的相应指标权重为

（0.14，0.25，0.18，0.11，0.09，0.05，0.14，0.04）

各指标权重分布较为均匀也侧面表现了指标选取的有效性。

对于目标平台Ti，邀请十位专家对其相关的八个指标进行等级打分，然后加权求和得到VTi(pj)，最后各得分求均值，则目标价值：

4 算法设计

4.1 整数规划模型［8～10］

由于所求各平台所需导弹数量均为整数，可以考虑整数目标规划模型。求解过程如下：

首先为简化计算公式，计算不同导弹数量下目标平台毁伤概率。根据实际情况确定导弹数量区间：对一个目标平台都要采取打击和防御手段，所以XTi取值下界为1；由毁伤程度Ti毁计算公式可以看出，当导弹攻击数量达到一定时，毁伤效果增加不明显，我们界定XTi取值上界为10，所以1≤XTi≤10。

其次定义定义向量a=（a1，a2，…，an）T表示一个符合约束的分配决策，a1+a2+…+an=M，且其中ai表示分配给目标平台Ti的导弹数量。

整数规划模型如下：

以任务总价值最大化为目标函数，并约束了总的导弹需求数量不超过可携载导弹总量。

4.2 基于动态规划的算法设计［11～12］

采用动态规划的思路，将该问题划分为若干相关的过程去求解。求解思路为：将问题分为N个阶段，在阶段K=N时，将导弹武器分配给目标平台N；当阶段K=N-1时，将导弹武器分配给目标平台N-1；依此类推，在任意阶段都将导弹武器分配给目标平台K；当阶段K=1时，把导弹武器分配给目标平台1。状态变量UK表示第K阶段初剩余未分配的导弹数量。由题意可知U1=M，UK+1=0。

决策变量XK表示第K阶段分配给目标平台K的设备台数，且满足。

用 fK（UK）表示将 UK分配给目标平台 K，K+1，…，N时的最大任务价值，动态规划方程为：

初始条件为fN+1（UN+1）=0，问题的求解即为计算f1（M）。

5 算例求解

下面以一个简单的算例进行验证求解。假设目标平台数量N=3，表示为平台1，平台2，平台3，可携载导弹数量M=10，单发导弹对平台毁伤概率分别取值为0.5，0.52，0.54，各平台价值系数Vt1，Vt2，Vt3按照上文方法，邀请十位专家进行等级评分，最终计算得三个平台价值系数0.36，0.3，0.34。计算平台毁伤概率时发现当导弹攻击数量取值5时各平台毁伤概率均在95%以上，认为此时已经对平台造成重创，所以本题中限定对各平台分配导弹数量取值小于6。

对不同导弹数量条件下目标平台的毁伤程度Ti毁见表9。

表9 不同导弹数量目标毁伤程度Ti毁汇总表

5.1 采用整数线性规划求解过程

我们用（n，m）表示一个组合情况，表示对第m个平台分配的导弹数量为n，用A表示选定的武器目标分配方案，表示为｛（X1，1），（X2，2），（X3，3）｝表示。

定义决策变量

计算出Xnm以后转化为对应导弹数量，可以简化计算。将导弹总数限制，Xnm取值限制作为条件约束输入，以最大任务总价值为目标函数进行计算。

计算得出，该问题具有唯一解，对平台1，2，3的分配数量分别为4，3，3时所求得的总任务价值最大，为0.911。

5.2 采用动态规划思路求解

首先计算不同数量导弹攻击时各任务价值，其结果如表10所示。

表10 不同导弹数量任务价值表

此时 u1=10，u4=0，0≤uk≤10（k=2，3）。递推求解如下：

K=3时：U3表示将武器分配到平台3时剩余的导弹数量，根据实际要求，U3＜ 6，又因为VK（XK）是增函数，所以

K=2时：U2表示分配到平台2时导弹剩余未分配数量，因为平台1所分配数量最大为5，所以U2取值最小为5，这样可以减少计算步骤。

类似地，可以得到

根据计算过程可以看出，当X1=4，X2=3，X3=3，即对于平台1，2，3所使用的导弹数量为4，3，3时所取得的任务价值最大，计算结果为0.92。

两种计算方式分配方案相同，计算结果因为数值的四舍五入误差导致。

6 结语

该问题的求解可以看做是一类运输资源分配问题。资源分配问题考虑如何将运输资源分配到多个区域中，以最小化整体运作成本。当假设运输资源数量为M，待分配区域数量为P时，可行解K的数量为

当问题规模较大时，可行解的数量会非常多。因此考虑合适的求解算法降低计算复杂度也是要考虑的问题之一。本文从实际作战条件下水面舰艇执行任务时武器不及困难、携载数量有限的条件出发，对问题进行具体分析从而简化了计算过程。此类问题当规模较大时可采用智能算法求解优化解，将是下一步研究的方向。