基于ShiShkin网格奇异摄动两点边值问题的有限法及其计算有效性

池岸枫 熊之光 王易

摘要：本文针对一类奇异摄动两点边值问题，讨论了基于ShiShkin网格的有限元法及其收敛性，并通过数值例子验证了有限元法计算有效性。

关键词：奇异摄动，两点边值问题，ShiShkin网格，有限元法

1.前言

近年来，许多从事微分方程的研究者越来越关注于最高阶导数前含有小参数的微分方程。在自动控制理论、非线性振动理论、量子力学、气体动力学和一般动力学等学科的发展中，都会遇到这一类含有小参数的微分方程定解问题。对于线性奇异摄动两点边值问题：

（1）

其中ε是很小的正参数0<ε≤1。假设在[a，b]上p（x），q（x），f（x）是充分光滑函数。对于奇异摄动两点边值问题，因小参数会产生边界层，普通的数值方法在均匀网格上很难得到理想的数值解。为了得到奇异摄动问题稳定可靠的数值解，有必要在其边界层区域放置比边界层外区域的更多的网格点，以适应问题的奇异摄动特性。我们采用分段统一的ShiShkin网格来解决边界层问题。本文将基于这样的Shishkin网格Jh[1-2]，采用有限元法对问题（1）进行求解。

2 有限元方法及其格式及其

我們定义Sobolev空间H10（I），I=[a，b]为：

则等式（1）的弱形式是：寻找y（x）∈H10（I）满足

（2）

对任意v（x）∈H10（I）成立。在区间I对应的ShiShkin网格Jh上定义有限元空间

其中Pm（Ij）表示在Ij=[xj-1，xj]上所有阶数≤m的单变量多项式构成的空间。（2）对应的m次有限元yh∈Sh满足

（3）

对任意v（x）∈Sh成立。

设对应Shishkin网格Jh有限元空间基函数为φi（x），i=1，2，…，n，则

（4）

将（4）的表达式代入（5），并且v（x）取为φi（x），i=1，2，…，n，我们就可以得到

（5）

我们对线性问题（1）的有限元方法的研究得到了如下的结论[3-4]：

定理1yh∈Sh是方程（3）的m次有限元解，在ShiShkin网格Jh的所有节点上

（6）

3 数值例子与计算有效性

本小节给出一个数值例子，通过该数值例子讨论有限元法的有效性。

例1考虑如下奇异摄动两点边值问题（这是左边界层问题，见文献[5]中的例题3.1）。

（7）

其精确解为

微分方程（3.15）中p（x）=-1，q（x）=1，f（x）=-1对应的有限元格式为，寻求yh∈S0h使得

对于不同的小参数和剖分数N，当λ=2时，我们基于Shishkin网格分别计算了问题（7）的一次元，二次元和三次元，表1和表2分别给出了ε=0.001，ε=0.01及剖分数为N=1000时，在9个点上的一次元，二次元和三次元误差。表3给出了不同ε中一次元和二次元在剖分数N成倍增长时误差及误差比。

从表1-表3可看出在基于Shishkin网格下用有限元求解奇异摄动两点边值问题是有效的。有限元的精度不仅与剖分密度有关，也与有限元的次数有关。即当剖分密度越大，有限元次数越高，则有限元精度越高。

参考文献：

[1]M.K.Kadalbajoo and D.Kumar，A computational method for singularly perturbed nonlinear differential-difference equations with small shift，Appl. Math.Model.34（2010），2584-2596.

[2]Ram KishumLodhi and Hradyesh Kumar Mishra，Quintic B-spline method for solving second order linear and nonlinear singularly perturbed two-point boundary value problems， Journal of Computational and Applied Mathematics，319 （2017），170-187.

[3]陈传淼.有限元超收敛构造理论[M].湖南科学技术出版社，2001.

[4]陈传淼，黄云清，有限元高精度理论[M].湖南科学技术出版社， 1995.

[5]R.E. OMalley， Introduction to Singular Perturbations， Academic Press， New York， 1974.

作者简介：

池岸枫（1994.1），女，汉族，湖南湘潭人，学士，研究生， 主要从事微分方程数值解法研究

熊之光（1964.11），男，土家族，湖南凤凰县人，教授，主要从事微分方程数值解法研究

【项目基金】国家自然科学基金项目（11571102）资助课题