详辩几何概型中角度与长度两种测度

张宏斌��

摘 要：几何概型中关于角度与长度两种测度的选择是学生不容易掌握的，主要是由于没看清考查对象、没抓住几何概型特性中“每个结果发生的可能性相等”这个本质要求造成的。教学中要强调考查对象，引导学生理解几何概型基本事件等可能出现的特性加以区别，多举实例，防范出错。

关键词：几何概型；等可能性；角度与长度两种测度

几何概型是高中阶段比较重要的概率类型，通常学生掌握较好。但在涉及到底用长度还是角度作为测度时，不少同学分辨不清，好像两种都有理由都说得过去。出现这种情况，是由于没看清考查对象、没抓住几何概型特性中“每个结果发生的可能性相等”这个本质要求造成的。几何概型的基本特征：（1）可能出现的结果有无限多个；（2）每个结果发生的可能性相等.

下面几题是学生做题时混淆、易错的典型例子，现分析说明。

例1：在等腰直角三角形ABC中，

（1）过直角顶点C作一条射线CM，与边AB交于点M，求AM

（2）在边CB上取一点M，求∠CAM<30°的概率。

解：（1）错解：设AC=BC=a，则AB=2a，在AB上截取AC′=AC，于是P（AM

以上错解中都有哪些错误？出错的原因是什么？如何防范？

本题错误解答是由于没看清考查对象、没抓住几何概型特性中“每个结果发生的可能性相等”这个本质要求。结果把角度问题错误地转化成了线段长度问题。

首先，不少同学因为要求AM

正解：在AB上取AC′=AC，则∠ACC′=180°-45°2=67.5°，

设A={在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，AM

则所有可能结果的区域角度为90°，事件A的区域角度为67.5°。

所以P（A）=67.590=34。

此题切不可将∠CAM作为考察对象，是由点M的运动才造成角的变化，点M等可能的分布在线段CB上，所以应将长度作为测度。当∠CAM=30°时，CM=33AC=33BC，符合条件的点M等可能的分布在线段CM上，故所求概率为CMBC=33

例2：如图，四边形ABCD为矩形，AB=3，BC=1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为 .

解：因为在∠DAB内任作射线AP，则等可能基本事件为“∠DAB内作射线AP”，所以它的所有等可能事件所在的区域H是∠DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在∠CAB内，区域H为∠CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为∠CAB∠DAB=30°90°=13

变式：将“以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，作射线AP″，改为“在线段DB上任取一点P”，求射线AP与线段BC有公共点的概率。

分析：此时考察对象是“DB上的点P”，其等可能地在DB上运动，显然应该以长度作为测度了，概率为12。

例3：已知△ABC中，∠ABC=60°，AB=2，BC=6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为（ ）

A. 16

B. 13

C. 12

D. 23

解析：此题的测度为长度，点D在线段BC上等可能地运动。当BE=1时，∠AEB为直角，则点D在线段BE（不包含B，E点）上时，△ABD为钝角三角形；当BF=4时，∠BAF为直角，则点D在线段CF（不包含C，F点）上时，△ABD为钝角三角形.所以△ABD为钝角三角形的概率为1+26=12.

变式：将“在BC上任取一点D”改为“过A点作射线AD与边BC交于点D”，求△ABD为钝角三角形的概率。

分析：应以角度为测度，此时考察对象是射线AD，所处的区域为∠CAB=60°，且等可能地运动。造成点D在线段BE、CF（均不含端点）上运动时，△ABD为钝角三角形，其概率为：∠BAE+∠CAF60°.

例4：AB是半径为1的圆的直径，M为圆周上异于A、B的任意一点，过点M作垂直于直径AB的弦，则弦长大于3的概率是 。

解析：依题意知，点M在圆周上等可能运动，应以弧长AM为测度，当相应的弦长大于3时，圆心到弦的距离OD小于12-322=12，120°>∠MOA>60°因此π3

此题也可以用圆心角∠MOA作为测度，因为此时弧长和圆心角成正比关系。切不可以用OD长作为测度。原因无它，点M在圆周上等可能运动时，点D在OA上并不是等可能运动的。

做题经验表明，当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，常以角的大小作为区域量度来计算概率，切不可用线段代替，否则会导致基本事件发生的可能性不相等。

由上几题的分析告诉我们，教学几何概型时，应当引导学生看清对象，牢牢抓住几何概型中基本事件等可能出现的本质特性，防范易错易混题。

参考文献：

[1]曾燕瑞.是“长度”还是“角度”？——几何概型中度量的选择[J].中学数学教学参考，2015（18）：78-79.

[2]孙彩红.几何概型问題 常见错误辨析[J].理科考试研究，2014，21（19）：13-14.

作者简介：

张宏斌，重庆市，重庆市铜梁中学校。