一种基于法布里-珀罗干涉仪的位移测量方法

任冬梅，朱振宇，段小艳，李华丰，万宇

(航空工业北京长城计量测试技术研究所 计量与校准技术重点实验室，北京100095)

0 引言

法布里-珀罗干涉仪以其特有的分辨力优势在高精度微位移测量中受到关注，国内外有不少关于用法布里-珀罗干涉仪测量微位移的文献报道[1-9]，测量精度可以达到纳米级。Howard等人研制了一种通过相位调制外差锁定技术将可调外腔式半导体激光器锁定到法布里-珀罗腔的系统，用于原子力显微镜和纳米分辨力位移传感器的可溯源测量[2]。然而，这种位移测量方法在实际应用中有一定的局限性，由于受到组成干涉系统的激光器的波长调节范围、光电接收器的频率响应范围和频率计数器的测量范围等限制，其测量范围一般只能达到微米量级。因此，如何扩大法布里-珀罗干涉仪的测量范围是这种干涉仪在精密位移测量中推广应用的关键。Lawall研制了一个用法布里-珀罗干涉仪测量25 mm位移的系统，对法布里-珀罗腔的两个相邻模式进行探测，利用它们的绝对光学频率和频率差来计算位移[3]。余载泉等人研究了使用换模锁定法消除激光器模间隔的限制，扩展法布里-珀罗干涉仪的测量范围的方法[4]。飞秒光梳技术的出现为干涉测量提供了良好的参考频率，Bitou等人用Fabry-Perot干涉仪和光梳技术相结合，研制了具有皮米分辨力的位移计量装置[5-6]。一些研究者还研制了多光程法布里-珀罗干涉仪和将光纤应用于其中的法布里-珀罗干涉仪[7-8]。由于可以突破双光束干涉仪在非线性误差和测量分辨力方面的限制，法布里-珀罗干涉仪在纳米测量仪器校准方面受到重视，研究高精度位移测量方法对提高纳米测量仪器溯源能力有重要意义。本文作者之前也开展过基于法布里-珀罗干涉仪的微位移测量方法研究[9]，在此基础上本文讨论了用法布里-珀罗干涉仪进行较大范围位移测量的方法。

1 法布里-珀罗干涉仪和频率追踪测量方法

法布里-珀罗干涉仪由两块高反射率反射镜组成，其工作原理是多光束干涉。与迈克尔逊干涉仪等双光束干涉仪产生的正弦信号不同，法布里-珀罗干涉仪输出信号的典型特征为狭窄的谐振峰，法布里-珀罗腔的长度每变化二分之一波长，峰值光强出现一次，谐振峰的宽度可小至光波长的千分之一。

通常情况下，用法布里-珀罗干涉仪测量微位移时采用频率追踪方法，即通过将波长可调激光器的频率锁定于法布里-珀罗干涉仪的谐振频率上，将法布里-珀罗干涉仪测量镜位移的测量转化为可调激光器频率变化的测量，测量系统的组成如图1所示。

图1 微位移测量系统示意图

当法布里-珀罗腔的长度发生变化时，其谐振峰的频率也会发生变化。如果将可调激光器的波长锁定于法布里-珀罗干涉仪的某一谐振模式N上，则法布里-珀罗腔的长度L与谐振频率f和模数N满足

(1)

式中：c为真空光速；λ为激光波长；n为腔内介质的折射率。当测量镜发生微小移动时，频率f会随着腔长的变化而发生变化。在测量过程中，如果将可调激光器的频率始终锁定在法布里-珀罗腔的同一谐振模式N上，则由式(1)可得，腔长变化量dL与频率变化量df之间关系为

(2)

由式(2)可见，测量镜位移可通过测量初始腔长、法布里-珀罗腔的初始谐振频率和可调激光器的频率变化来确定。

可调谐激光器的频率变化通过与一个稳频激光器进行拍频来测量，如图1下部分所示，即通过跟踪测量法布里-珀罗干涉仪谐振频率变化，实现了测量镜位移的测量。

这种方法通过将位移量转化为频率变化量来进行测量，避免了干涉仪非线性误差对测量结果的影响，可以提高测量分辨力。但在实际应用中，由于受到激光器波长调节范围、光电接收器的频率响应范围和频率计数器测量范围等限制，其测量范围一般只能达到微米量级。

2 扩大法布里-珀罗干涉仪测量范围的方法

扩大法布里-珀罗干涉仪的位移测量范围的一个直接方法就是进行换模锁定激光频率，即：当前文中所述方法的激光频率随着法布里-珀罗长度的变化即将超出测量范围时，将激光频率锁在下一个谐振模上，继续上述测量过程，重复此过程，直到完成全范围的位移测量。但这种方法测量速度比较慢，一般不适用于较大范围位移测量。下面介绍一种通过测量不同时刻法布里-珀罗腔的长度来确定测量镜位移的方法，可将法布里-珀罗干涉仪应用于较大位移的测量。

2.1 测量原理

法布里-珀罗干涉仪的谐振频率随法布里-珀罗腔长的变化如图2所示，图中横轴为谐振频率，纵轴为输出光强。随着腔长的变化，模数为N和N-1的两个谐振峰由虚线所示位置移动到实线所示位置。可以看出，不仅谐振峰的频率发生变化，两个谐振峰的间距也会发生变化。

图2 法布里-珀罗腔谐振频率随腔长变化示意图

由式(1)可以看出，法布里-珀罗腔的长度可以通过测量其一个谐振频率f和其所对应的模数N来获得，模数N可以通过下式来计算

(3)

式中：Δf为模数为N和N-1的两个谐振峰的频率差。于是，通过测量某一频率f和其与相邻谐振峰的频率差Δf，根据式(3)和式(1)，即可计算出此时法布里-珀罗腔的长度。

本文所述的位移测量方法就是通过分别测量位移开始和结束时法布里-珀罗腔的长度，并计算其差值来确定法布里-珀罗干涉仪测量镜的位移

(4)

式中：L1，L2分别为测量开始和结束时法布里-珀罗腔的长度；f1，f2分别为测量开始和结束时某一谐振峰的频率；N1，N2分别为测量开始和结束时被测谐振峰的模数。

2.2 测量过程的实现

2.1所述测量方法可以通过将两束可调激光的频率分别锁定在法布里-珀罗腔的两个相邻谐振峰上，并利用拍频方法测量谐振频率来实现，测量系统的组成如图3所示。两束偏振方向互相垂直、频率有一定差异且可调的激光束同时射入法布里-珀罗腔，在测量过程中，两束光的频率分别锁定在法布里-珀罗腔的两个相邻谐振峰上。这两束可调激光即可来自于两台可调激光器，如图3所示，也可以采用可调声光调制器来产生。在位移起始位置，同时测量法布里-珀罗干涉仪某一谐振峰的光学频率f和相邻谐振峰的频率差Δf，根据式(3)和式(1)得到此时法布里-珀罗腔的长度。然后测量镜发生移动，在位移结束位置，用同样的方法测量出法布里-珀罗腔的长度，根据式(4)即可计算出测量镜的位移。这种方法并不要求在位移过程中对干涉信号进行连续监测，因此，适于较大范围的位移测量。

图3 位移测量系统示意图

3 测量不确定度的主要来源

用上述方法进行位移测量时，测量不确定度的主要来源包括位移起始时法布里-珀罗腔长度的测量不确定度、位移结束时法布里-珀罗腔长度的测量不确定度和位移过程中产生的不确定度。这里以标准不确定度形式对各不确定度来源进行简单分析。

如果测量在真空中进行，折射率的影响可以忽略，则法布里-珀罗腔长度的测量不确定度主要来源于谐振频率的测量不确定度。谐振频率的测量不确定度来源包括可调激光频率锁定的不确定度和可调激光频率测量的不确定度。可调激光频率锁定的不确定度受激光功率变化、法布里-珀罗腔精细度和锁相电路精度等影响，如果该项不确定度能够控制在5 MHz以内，按正态分布考虑，则标准不确定度为u1=3.510-9f。可调激光的频率通过与稳频激光拍频用频率计数器来测量，若采用碘饱和吸收稳频激光器作为标准，其波长相对标准不确定度小于5×10-10，则激光频率的测量不确定度主要来源于拍频结果的测量不确定度，假设此项不确定度也能控制在5 MHz以内，按正态分布考虑，由此引入的标准不确定度为u2=3.510-9f。对这两项不确定度分量进行合成，得到谐振频率测量的标准不确定度为u(f)=510-9f。由此引入的腔长测量标准不确定度为u(L)=510-9L。

测量过程中产生的不确定度主要来源于测量镜在运动过程中的偏转和环境温度变化引起的腔长变化，通过采用精密位移台和低膨胀材料法布里-珀罗腔等措施，能够将测量镜运动过程中产生的标准不确定度控制在1 nm以内，则位移测量的合成标准不确定度为

假如法布里-珀罗腔的最大长度为200 mm，则位移测量的合成标准不确定度为1.7 nm，如果取k=2，则扩展不确定度为3.4 nm。

以上对这种位移测量方法的主要不确定度来源进行了简单估算，结果表明该位移测量方法有望达到纳米级测量不确定度。针对具体的测量系统，其测量不确定度还需要进行具体分析。

4 结束语

本文介绍了一种基于法布里-珀罗干涉仪的位移测量方法，并对其测量不确定度进行了简单估算。通过上文描述可以看出该位移测量方法有以下三个特点：①将可调激光的频率锁定在法布里-珀罗腔的谐振频率上，通过测量频率来测量腔长，这种方法保持了法布里-珀罗干涉仪的高分辨力的优势；②通过对法布里-珀罗干涉仪的两个相邻谐振峰的频率进行测量，扩大了法布里-珀罗干涉仪的位移测量范围；③在位移测量过程中，不要求对干涉信号进行连续测量，只需对位移起始和结束两个时刻的腔长进行测量。

综上所述，这种基于法布里-珀罗干涉仪的位移测量方法可以消除传统的双光束干涉测量中非线性误差的影响，使测量精度达到纳米级，同时克服了通常的法布里-珀罗干涉仪在测量范围方面的限制，在位移台运动精度可以保证的情况下能够实现较大范围的位移测量，在微米至毫米级的高精度位移测量方面有实用价值。