百试百灵的“套路”——借助因式分解求字母的值

◎河北省秦皇岛市第八中学八(11)班 李璧彤

我做数学题时，常常会遇到求字母的值的问题.这些题乍一看很难.学习了因式分解，我发现因式分解可以把一个多项式转化成几个整式的乘积，而且，利用因式分解可以让一些求字母取值的问题变得十分简单，我还发现了一个百试百灵的“套路”.下面就来跟大家分享一下.

【提出问题】

已知a2+4a+b2-6b+13=0，求a、b的值.

【分析问题】

这个式子看起来像一个方程，但是它有两个未知数，无法解.我也没看到有可以合并的项，怎么办呢？这里有a2+b2，让我想到了完全平方式，想到了因式分解.

在因式分解中，我们学过完全平方公式：

a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2=（a-b）2.

在这里，我发现要想得到（a+b）2，必须要有2ab，而题中没有.但是如果a2+4a、b2-6b找到合适的常数项，也可以出现完全平方式.因为a2+4a+4=（a+2）2，b2-6b+9=（b-3）2，而 4+9正好等于 13，所以得（a+2）2+（b-3）2=0.

因为任何数的平方都有非负性，所以（a+2）2≥0，（b-3）2≥0.要想使结果等于0，那么必须有（a+2）2=0，（b-3）2=0，所以a=-2，b=3，这样问题就解决了.

【问题变式】

我们再来观察一道题：已知m2-2mn+2n2-8n+16=0，求m、n的值.

【分析问题】

与第一题类似.观察式子发现有2mn，那么完全平方公式中必须包含m，n，所以把2n2拆成n2+n2，就可以发现m2-2mn+n2+n2-8n+16=0，这不就是（m-n）2+（n-4）2=0嘛.所以m-n=0，n-4=0，可得n=4，m=4.

这里与前面问题不同的是，需要拆一项，再重组，最后再使用因式分解.

做到这里，是不是感觉有“套路”？好，我们再来做一题！

【问题延伸】

当x，y为何值时，x2+y2+4x-6y+15有最小值？求出最小值.

【分析问题】

看到这个式子，我们可以联想到之前的解决办法.但题目中要求最小值，为什么会出现最小值呢？按我们现在所学，还是先来看看能不能配成完全平方吧.我们看到x2+4x与y2-6y与第一道题类似，所以想到x2+4x+4和y2-6y+9，那么原式就可以变成（x+2）2+（y-3）2+2，由于（x+2）2≥0，（y-3）2≥0，它们相加最小为0，所以（x+2）2+（y-3）2+2≥2，这样此式最小值为2，此时x=-2，y=3.

【我的心得】

在因式分解中，完全平方式是一个很奇妙的式子，它具有非负性.所以当式子为0时，字母值就很容易求出来了.当我们遇到带平方的式子的时候，一定要想一想因式分解.化简后，一般问题就解决了.在此之前，我对这类题目总是发怵，经过这一系列的研究，我感觉这“套路”还挺好用.因式分解，真是一种很实用的方法！

教师点评

小作者从自己的困惑出发，对一类求字母取值的问题进行了一系列研究.由简单的完全平方公式，联想到对一个多项式分组、拆项、求最小值，借助因式分解和完全平方式的非负性，达到目的.这样的探究思路，让我们看到了知识经验在她头脑中的生长过程.随着所学知识的积累，相信小作者的分析能力会越来越强！