高速列车折扣票价与票额分配组合优化模型

赵 翔 赵 鹏 姚向明 李 博,2

(1北京交通大学交通运输学院，北京 100044)(2中国铁路总公司科技管理部，北京 100844)

高速铁路呈现“公交化”运营特点，同一OD有多列旅客列车提供客运服务且不同列车间具有相互替代关系[1].在单一票价形式下，旅客倾向于选择发车时刻优且旅行时间短的热门车次，从而造成热门车次客票紧张和冷门车次能力虚糜并存的现象.基于差别定价策略对旅客选择行为的影响，对部分列车提供打折车票，引导热门车次的部分客流转移至冷门车次.这样不但可以缓解热门车次的客票紧张情况，而且能够提高冷门车次的席位利用率及运输效益.

目前铁路席位控制对单一票价形式下的票额分配问题研究较多，缺乏对差别定价和票额分配组合优化方法的探究.文献[2]研究了随机需求下的非线性票额分配模型.文献[3]基于预测的铁路客流，研究了两级票价的铁路席位控制问题.文献[4]提出了先长途后短途、先有座后无座的票额分配原则.文献[5]研究了旅客buy-up行为对票额分配的影响.文献[6]通过对需求情景进行模拟，研究了嵌套式的票额分配方法.文献[7]通过对比分割式预定限额、嵌套式预定限额和投标价格等多种席位控制方法，得出更适合中国铁路的动态调整下的分割式预定限额法.文献[8]研究了考虑通售席位下的旅客列车票额分配方法.文献[9]将列车运行时间、舒适度等作为选择属性来构建考虑旅客选择的票额分配模型.文献[10]考虑旅行时间对旅客疲劳度的影响，以铁路收益和旅客系统效益最大为目标构建票额分配模型.上述成果均是在单一票价形式下研究铁路票额分配问题，但对票价和票额综合优化的研究较少.此外，已有研究对旅客在多列车间的选择行为考虑不足.

为此，本文基于随机的客流需求和旅客在多列车间的选择行为，研究高速铁路多列车差别定价和票额分配组合优化方法.考虑高速铁路具有社会效益，本文不采用涨价策略，以现有单一票价为全价票，对部分列车提供打折车票.鉴于构建模型为混合整数非线性规划，设计一种混合启发式算法进行求解，同时与单一票价形式下的票额分配方法进行对比.

1 差别定价应用基础

在“公交化”运营条件下，旅客会基于发车时刻、旅行时间、出行费用等差异在多列车间进行选择.单一票价形式会造成旅客集中购买发车时刻优且旅行时间短的车次. 如表1所示，G87和G673均为北京始发终到西安的高速列车，2列旅客列车发车时间相近，具有一定的替代关系.对于北京至西安的旅客，乘坐G673将比乘坐G87多花费1.5 h，同时需要支付相同的服务费用.这就造成G87客票紧张和G673席位虚糜并存的现象.为了将列车能力和客运需求合理匹配，可以在G673能力富裕的情况下提供打折车票，引导G87的部分旅客转移至G673列车.这样不但缓解了G87的客票紧张情况，而且提高了G673的席位利用率和运输效益.

表1 G87和G673对比

东南沿海的部分高速列车已经尝试出售打折车票，如G7536列车，但现阶段我国高速铁路差别定价方法在理论和实践上都十分匮乏.高速铁路具有多列车、多区段和多OD需求的特点，随机需求下的票额分配问题已经非常复杂，综合优化票价和票额将使问题更加困难.本文针对票价和票额综合优化问题进行探究，为高速铁路差别定价策略提供理论基础和方法支撑.

2 模型构建

μij表示OD对(i,j)的客流需求，假设μij服从参数为λij的独立泊松分布[9]，即μij～π(λij)，则OD对(i,j)客流需求的概率分布为

(1)

当某一OD的旅客在不同列车间进行选择时，因为集合k内的不同列车发车时间相近，所以影响旅客选择的主要因素为旅行时间和服务费用.当OD对(i,j)的旅客在面对集合k内多列旅客列车时，旅客选择列车g出行的效用函数为

(2)

(3)

当客流需求为μij时，选择列车g出行的旅客人数为

(4)

那么列车g在(i,j)的客票期望销售量为

(5)

(6)

基于随机的客流需求和旅客在不同列车间的选择行为，高速铁路多列车期望收益最大化的目标函数为

(7)

对高速铁路线路上的列车进行票价和票额综合优化时，必须满足如下约束：

(8)

(9)

式中，m为线路上的区段号，m=1,2,…,L-1；Cgm为列车g在区段m上的席位能力.

i=1,2,…,L-1;j=i+1,i+2,…,L

(10)

4) 票额决策变量约束.列车分配的票额必须为正整数或零，即

(11)

基于随机的客流需求和旅客在不同列车间的选择行为，建立高速铁路多列车票价和票额综合优化模型MINLP：

(12)

s.t.

(13)

i=1,2,…,L-1;j=i+1,i+2,…,L

(14)

i=1,2,…,L-1;j=i+1,i+2,…,L

(15)

j=i+1,i+2,…,L

(16)

3 求解算法

本文构建的高速铁路多列车票价和票额分配综合优化模型为非线性混合整数规划，已有的精确算法不能很好地求解，故本文提出一种混合启发式算法进行求解.

3.1 等价模型

为了得到混合启发式算法中适应函数的计算公式，首先对模型MINLP进行一定的等价变换.

(17)

(18)

i=1,2,…,L-1;j=i+1,i+2,…,L

(19)

i=1,2,…,L-1;j=i+1,i+2,…,L

(20)

i=1,2,…,L-1;j=i+1,i+2,…,L

(21)

列车α在(i,j)的客票期望销售量可进一步等价转化为

通过上述变量替代，模型MINLP可等价转化为模型MINLP-S：

(22)

s.t.

∀g=1,2,…,Gk；m=1,2,…,L-1

(23)

i=1,2,…,L-1;j=i+1,i+2,…,L

(24)

i=1,2,…,L-1;j=i+1,i+2,…,L

(25)

i=1,2,…,L-1;j=i+1,i+2,…,L

(26)

i=1,2,…，L-1；j=i+1,i+2,…,L

(27)

i=1,2,…,L-1;j=i+1,i+2,…,L

(28)

i=1,2,…,L-1;j=i+1,i+2,…,L

(29)

3.2 蜂群算法

蜂群算法是Karaboga[12]提出的一种模拟蜜蜂群体寻找优良蜜源的仿生智能算法.该算法使用参数较少且善于求解多维变量问题.同时，在每次迭代中都进行全局和局部搜索，提高了找到全局最优解的概率.针对模型MINLP-S的特点，利用蜂群算法进行求解.

首先，用蜜源表示每列高速列车在各OD的票价决策变量.每列列车共有L(L-1)/2个票价决策变量，当有Gk列列车时，共有GkL(L-1)/2个票价决策变量，这里设置一个N=GkL(L-1)/2的搜索空间.根据票价约束(8)随机生成初始蜜源：

(30)

式中，α=1,2,…,ηS，ηS表示蜜源个数.当

(31)

s.t.

(32)

(33)

i=1,2,…,L-1;j=i+1,i+2,…,L

(34)

i=1,2,…,L-1;j=i+1,i+2,…,L

(35)

i=1,2,…,L-1;j=i+1,i+2,…,L

(36)

i=1,2,…,L-1;j=i+1,i+2,…,L

(37)

i=1,2,…,L-1;j=i+1,i+2,…,L

(38)

采蜜蜂和观察蜂进行邻域搜索寻找新蜜源的过程为

一个蜜源被观察蜂选择的概率为

(40)

式中，Tα表示第α个蜜源的适应度函数值，它与第α个蜜源的花蜜量成正比.

若蜜源被采蜜蜂和观察蜂搜寻的次数(蜜源连续停留次数)超过限定次数ω，仍然没有找到更高花蜜量的蜜源，则放弃该蜜源，同时该蜜源的采蜜蜂转化为侦察蜂.每次迭代过程最多产生一个侦察蜂，侦察蜂根据票价约束(8)随机生成新蜜源.

人工蜂群算法具体步骤如下：

① 设置人工蜂群算法的初始参数ηS，ηB，ω，Omax和迭代次数υ=0.

② 根据约束(8)随机生成ηS个初始蜜源，并根据模型ILP计算蜜源花蜜量.

③ 每只采蜜蜂根据式(39)和贪婪准则寻找新的蜜源，记录同一蜜源连续停留次数.

④ 每只观察蜂根据式(40)选择蜜源，并根据式(39)和贪婪准则寻找新的蜜源，记录同一蜜源连续停留次数.

⑤ 若某一蜜源的连续停留次数超过ω，则该蜜源的采蜜蜂放弃当前蜜源成为侦察蜂，并根据约束(8)随机生成新蜜源.

⑥ 记录当前所有蜜源的花蜜量，更新迭代次数υ=υ+1，如果υ>Omax，跳至步骤⑦；否则，返回步骤③.

⑦ 结束迭代.具有最高花蜜量的蜜源对应的票价和票额分配的组合方案即为所求.

4 算例

4.1 基础数据

以京沪高速铁路为例，G113和G1为一集合内的2列列车.G113发车时间为08:53，全程运行时间为340 min；G1发车时间为09:00，全程运行时间为268 min.本文以2列列车的二等座为例进行实例分析，京沪线路上的车站及2列列车的停站方案如图1所示，2列列车共同服务28个OD，设2列列车的二等座车厢定员均为560人，客流需求参数λij的取值如表2所示.

图1 京沪高速铁路线路及列车停站方案

OD廊坊德州东济南西徐州东南京南苏州北上海虹桥北京南20111691425611625廊坊15111211913德州东9741118济南西154614111徐州东131211南京南13251苏州北13

考虑高速铁路的社会效益，以目前二等座票价为最高票价，以二等座票价的七折票为最低票价.基于2016年9月在北京南站的SP问卷调查计算参数β1和β2的取值，结果如表3所示.调查人群的月平均收入为6 300元，参数π取值0.6[12].

表3 旅客选择模型参数标定值

4.2 收益分析

算法中蜜源个数为25，最大迭代次数为500，限定次数为50.在MATLAB中调用Cplex工具进行模型求解，具体迭代过程如图2所示.以采用单一票价的票额分配方案为对比方案，本文方案和对比方案在部分OD的优化结果如表4所示.

图2 迭代优化过程

元

在相同的客流需求下，对比方案的客票期望收益为52.994万元，本文方案的客票期望收益为55.534万元，期望收益提高4.81%.因此本文方案不但能对多列车进行票价和票额的综合优化，同时说明基于不同列车服务属性差异和旅客在不同列车间的选择行为进行多列车差别定价的方法更有益于席位利用率及运输效益的提高.

相比G1列车，G113列车在旅行时间上有一定劣势，旅客更倾向于选择G1列车，这可能造成G1列车客票紧张和G113列车席位虚糜并存的现象.因此，对G113列车部分OD的车票进行打折销售可以提高G113列车的旅客需求，缓解G1列车的客票紧张，使不同列车的上座率更加均衡并提高了多列车整体的席位利用率.

图3给出了当需求变化时，收益提高比例的变化和G113列车部分OD的票价变化情况.可看出当需求增大时，G113列车提高票价.当需求减小时，G113列车降低票价，但并不是随着需求的减小而持续降低，当需求已经较小时，票价不再持续减小，反而有一定的回升.在不同的需求强度下，相比单一票价策略，本文方案都能够提高客票期望收益，尤其在需求强度适中时，收益提高效果明显.

图3 不同需求强度下的收益提高比例和票价折扣情况

5 结论

1) 本文研究了高速铁路多列车差别定价方法，构建了票价和票额综合优化模型，并根据模型特点设计混合启发式算法进行求解，最后以京沪高速铁路列车为例进行分析.

2) 与单一票价形式下的票额分配方法相比，本文提出的多列车差别定价方法能够更合理地将客流需求与不同列车的席位资源进行匹配，进而提高多列车的整体上座率和客票收益.

3) 考虑高速铁路的社会效益，本文仅对打折车票进行了案例研究，当高速铁路允许实施涨价策略时，本文方法仍然可以对票价和票额进行综合优化.