移动车辆荷载作用下梁体裂缝扩展规律

朱劲松 张一峰 陈兴达

(1天津大学建筑工程学院，天津 300072)(2天津大学滨海土木工程结构与安全教育部重点实验室，天津 300072)

桥梁是交通系统的咽喉，它的正常工作是保证交通顺畅的关键.我国桥梁大部分是改革开放后所建，桥龄一般为40年左右，不少桥梁已经或正在发生老化、破损、开裂等现象.因此，需要对带病害桥梁进行深入研究，从而为后期的评估处理提供依据.钢筋混凝土T型梁桥因其结构形式简单、施工难度较小，自1950年代就在我国公路上大量地修建，这也使其在目前病害桥梁中占比很大，故本文主要针对开裂的钢筋混凝土T型梁桥进行研究.

近年来相关学者针对车辆荷载作用下的开裂混凝土梁体进行了广泛的研究.殷新锋等[1]将车辆模型视为七自由度的整车模型，建立了多跨变截面损伤混凝土梁的车桥耦合方程并编制了相应的计算程序，对不同裂缝类型、裂缝位置、裂缝参数及车辆组合等因素对桥梁冲击系数的影响进行了分析.谭国金等[2]基于传递矩阵方法的基本思想，形成了车辆作用下裂缝简支梁桥自振特性的分析方法，并采用数值模拟计算验证了方法的正确性和有效性.王文洁等[3]对车桥耦合系统动力响应进行时频特性分析，以两轴汽车模型模拟移动车辆，利用有限元法建立有损伤桥梁结构在车辆作用下的运动方程，分析不同裂缝模型对桥梁动力响应的影响.这些研究取得了一定的成果，但多集中在对损伤梁体的动力特性分析，极少有直接针对车桥耦合作用下梁体开裂状态时变特征的研究.

应力强度因子是评价裂缝状态的有效方式.一般荷载作用下，可认为开裂桥梁的裂缝是稳定的，但实际情况中桥梁时刻受到汽车等动荷载的作用，其裂缝尖端应力强度因子是时变的.李玉龙等[4]对三点弯曲试样进行了动态分析，结果表明将冲击荷载代入准静态公式中确定试样应力强度因子的做法是不正确的.姜风春等[5]考虑了转动惯量和剪切变形，通过振动分析的方法对冲击荷载作用下三点弯曲梁的动态应力强度因子进行了计算，得到了较好的结果，说明可变荷载中需考虑惯性的作用.桥梁结构时刻受到车辆等动载的作用，忽略车辆的质量和惯性会造成较大误差.因此，本文对开裂桥梁的裂缝进行描述时，采用考虑惯性的三维动态应力强度因子.

目前，可通过解析法或数值法有效地计算出二维应力强度因子[6].但对于复杂的三维裂缝，解析法求解极其困难，通常采用数值方法进行近似计算.相互作用积分法因其建模简单、计算精度高，被广泛应用于应力强度因子计算.Nakamura[7]首先运用相互作用积分法求解了复合材料界面弹性裂缝尖端处的三维应力强度因子.Song等[8]将相互作用积分法引入到三维动态应力强度因子的计算中，分析了不同材料特性、积分域大小和积分时长对计算结果的影响.本文同样采用相互作用积分法，通过体积分的方式计算裂缝尖端的三维应力强度因子.

本文结合车桥耦合振动分析方法和相互作用积分法，对车辆荷载作用下开裂梁体的裂缝扩展性能进行研究.使用MATLAB和ANSYS联合建立了三维实体开裂梁的车桥耦合振动模型，裂缝尖端则通过奇异单元进行模拟.运用相互作用积分法求解开裂梁的三维动态应力强度因子，并提出了一种评估动力作用下弯剪裂缝扩展性能的指标.最后，分析了路面等级、车重、车速、梁体损伤程度和裂缝角度对开裂梁体裂缝扩展性能的影响.

1 车桥动力方程

1.1 桥梁动力方程

将桥梁进行有限元离散化处理，其运动方程的矩阵形式可表示为

(1)

1.2 车辆动力方程

车辆模型采用简化后的两轴八自由度平面车辆模型[9]，车辆模型的布置和参数定义如图1所示.

图1 车辆模型

车辆模型包括车体、前轮和后轮3个部分，车轮和车体以及车轮与路面之间的相互作用均用弹簧阻尼进行连接.l1,l2分别为后轮和前轮距重心距离，l=l1+l2.各个部件的表示方法如下：m1,m2和m3分别为后轮质量、车身质量和前轮质量；J为车身的转动惯量；k1,k2,k3和k4分别为后轮与桥面、后轮与车身、前轮与车身和前轮与桥面之间的刚度系数；c1,c2,c3和c4分别为后轮与桥面、后轮与车身、前轮与车身和前轮与桥面之间的阻尼系数.平面车模型的8个自由度包括：后轮的竖向位移y1、车身尾端的竖向位移y2、车身前端的竖向位移y3、前轮的竖向位移y4、后轮与桥面接触处的位移z1、前轮与桥面接触处的位移z2、车身质心处的转角yc、车身质心处的转角θ.其中z1,z2与桥面同一位置处的位移相等，yc,θ与y2,y3之间的关系可写为

(2)

因此该模型的独立自由度共有4个，车辆模型的位移列阵可表示为

YV=[y1y2y3y4]T

(3)

对车辆模型中的各部分分别进行动力分析，根据达朗贝尔原理可得

(4)

为便于编程使用，将式(4)用矩阵的形式表示，即

(5)

式中，

由式(5)右边的荷载向量可知，车辆所受荷载中包含由于桥梁变形所引起的弹性力以及阻尼力，该部分荷载分量将车辆振动与桥梁结构振动方程耦合起来，形成一个耦合振动体系.

当车辆总质量为20 t时的车辆参数具体取值见表1，对于后文数值模拟中不同载重的车辆，只改变m2的数值.

表1 车辆模型参数

1.3 路面不平顺

路面不平顺样本函数r(x)是桥梁车致振动的主要影响因素，可采用三角级数叠加法[10]模拟，即

(6)

(7)

(8)

(9)

式中，αk为余弦函数的幅值；ωk为位于功率谱密度定义区间[ωl，ωu]内的频率；θk为均匀分布在0～2π之间的随机相位角；x为局部坐标，表示桥上某点距桥梁左端的距离；N为模拟随机不平顺的点数；S(ωk)为功率谱密度函数，在区间[ωl，ωu]内定义为路面不平顺空间频率的函数，

(10)

式中，α为不平顺系数；指数β可取1.94.桥上路面粗糙度被划分为5个等级，各等级路面不平顺系数的选取见文献[11].

1.4 车桥耦合振动分析

在进行车桥耦合振动分析时，通常假设车辆在行驶过程中始终与梁体保持接触状态，车辆的动力方程和梁的动力方程可通过接触点作用力和位移的相互约束进行耦合.本文采用竖向耦合振动，以车辆后轮为例，车轮与梁体的相互作用力可表示为

(11)

式中，Δb(t)为后轮质心在t时刻相对于梁体的垂直位移，其表达式为

Δb(t)=yb(t)-zb(t)-rb

(12)

式中，yb(t)为后轮质心在t时刻的竖向位移；zb(t)为接触点处桥面节点在t时刻的竖向位移；rb为后轮与桥面接触点处的桥面不平顺样本值.

车辆与桥梁的耦合方程是一个时变的二阶微分方程组，可采用Newmark-β法求解.本文通过编制的MATLAB与ANSYS联合程序对车桥耦合振动方程进行迭代求解，基本思路如下：

① 在MATLAB中输入各项参数，输出轮压荷载时程数据；

② 调用ANSYS计算桥梁结构在轮压荷载作用下的动力响应并输出中车轮接触处位移及速度时程数据；

③ 在MATLAB中通过Newmark-β法根据桥梁响应计算车辆动力响应并输出轮压荷载时程数据；

④ 计算前后两次计算所得轮压荷载时程数据的差值ΔF，若小于限值则结束运算，并得到方程的数值解，若大于等于限值则重复步骤②～④.

2 三维动态应力强度因子

2.1 三维裂缝尖端应力场

对于含有裂缝的三维匀质弹性体，其裂缝尖端的应力场可表示为[12]

(13)

2.2 三维相互作用积分法

三维裂缝尖端的能量释放率表示如下：

(14)

式中，s为裂缝尖端位置的参数；μk(s)为裂缝局部扩展方向；W为应变能密度；σij为应力分量；ui为位移分量；nk和nj为与积分围道垂直的单位向量；Γ是围绕裂缝顶端点按逆时针方向所做围道，沿此围道进行积分.

根据能量释放理论可得到能量释放率J和应力强度因子的关系式为

(15)

式中，E为弹性模量；ν为泊松比.

相互作用积分法在计算应力强度因子时，通过建立裂缝尖端的辅助场来分离并获得真实场的应力强度因子.裂缝尖端的辅助场是满足平衡条件、物理方程和几何关系的任一可能位移场和应力场，而裂缝尖端的真实场则是待研究问题的裂缝尖端的实际位移场和应力场.具体过程如下[13-14]：

① 将辅助场与真实场叠加后可得相互积分

(16)

式中，上标“aux”表示辅助场的解，只要保证Γ值足够小就能保证上述积分是守恒的.

② 由I(s)和能量释放率的关系，可得到点s处的局部应力强度因子和I(s)之间的关系式为

(17)

(18)

可用同样方法计算KⅡ和KⅢ.

本文基于车桥耦合振动分析方法求解出所有离散时间点上的位移、应力等信息.在每个步长中，通过将计算得到的应力和应变代入相互作用积分中求解每个步长内的应力强度因子，即可得到车辆在桥梁上行驶时的动态应力强度因子KⅠ(t)和KⅡ(t)时程.

3 裂缝评价标准

3.1 弯剪裂缝扩展评价参数

由于车辆荷载是竖向荷载，故可将梁体的裂缝近似地看成Ⅰ，Ⅱ型复合裂缝.徐道远等[15]通过四点剪切试样研究所得到的Ⅰ，Ⅱ型复合裂缝的临界断裂曲线表达式为

(19)

式中，KⅠC为混凝土的断裂韧度，其取值可根据试验确定.

根据式(19)可构造评估裂缝扩展性能的参数，其表达式可写成

(20)

当λ(t)=1时，表示裂缝处于临界扩展状态.当λ(t)>1时，表示裂缝是不稳定的，在当前荷载作用下会发生扩展.当0<λ(t)<1时，裂缝是稳定的，但λ(t)越大，该裂缝就越危险，可通过λ(t)值的大小对裂缝扩展性能进行评价.

3.2 裂缝扩展动力放大系数

车辆荷载的作用通常采用放大系数来表示.对于车辆荷载对裂缝的扩展性能的影响，可以通过参数λ的动力放大系数来考虑，如下所示：

4 算例分析

4.1 数值模型

算例选取某跨度30 m简支T梁进行实体建模分析.简化后的两轴车模型沿T梁上表面中轴线加载.根据桥面划分的单元数确定过桥积分步数，先假设车辆荷载在每个步长作用点不变，通过ANSYS的动力分析过程得到每个作用点处接触点的位移，然后再反求此时的轮压荷载，通过迭代直到前后两次算得的轮压荷载相等，完成一步迭代.荷载通过两轴车辆模型施加在T梁三维实体模型中线上的节点，施加位置随不同积分步而改变.不同的移动速度通过积分时间步长控制，积分时间步长δ=l/v，l为主梁的单元长度，v为所设定的车速.T梁跨中截面如图2所示，T梁总高220 cm，腹板高203 cm，宽27 cm，翼缘板宽240 cm，厚17 cm.材料采用C50混凝土，通过增加材料的弹性模量来考虑钢筋的作用，取弹性模量E=45.4 GPa，材料泊松比为0.2，密度为2 549kg/m3，T梁质量为73 113 kg.混凝土材料的断裂韧度KⅠC可根据文献中的试验资料进行确定，其数值大致在0.632～0.949 MPa/m1/2之间.参考文献[16]，本文取混凝土的断裂韧度KⅠC=0.869 6 MPa/m1/2.

图2 T梁跨中截面示意图(单位：cm)

算例采用通用有限元软件ANSYS建立开裂T梁实体有限元模型，混凝土采用solid186单元进行模拟.solid186单元是高阶三维20节点实体单元，具有二次位移模式，不仅可以模拟不规则的网格，而且支持运用相互作用积分法进行三维应力强度因子的计算.为了更加精确地模拟裂缝尖端场，裂缝端部采用奇异单元.裂缝尖端网格划分如图3所示.

图3 裂缝尖端网格划分示意图

4.2 裂缝扩展性能参数研究

该算例分别分析了车重、路面平顺度、车速和梁体损伤程度对跨中竖向裂缝扩展性能的影响，此外还分析了裂缝角度对四分之一跨处斜裂缝扩展性能的影响.各参数变量取值见表2.为叙述方便，设车重Rweight为车辆总质量和T梁总质量的比值，损伤程度α为跨中竖向裂缝深度和T梁高度的比值.

通过试算，发现车重是影响裂缝扩展性能参数的最主要因素，因此在具体分析某一变量对裂缝扩展性能的影响时，选取该参数和车重作为变量进行模拟分析，除车重外其余参数在各控制变量分析中的取值统一为：路面不平顺等级3级，车速30 km/h，梁体损伤程度α=0.20，斜裂缝角度45°.

表2 数值模拟参数变量和取值

4.2.1 静动态应力强度因子对比分析

首先用编制的车桥耦合振动程序对梁体跨中裂缝的三维动态应力强度因子进行求解分析，对比静止车辆作用在桥上的静态应力强度因子.具体选取的工况为：Rweight取0.12，车速60 km/h，路面不平顺等级3，梁体损伤比0.2.图4和图5分别给出了该工况下应力强度因子KⅠ(t)，KⅡ(t)以及裂缝扩展性能参数λ的时程曲线，并将各条曲线与不考虑振动时的静态曲线进行了对比.可看出，车辆运动对桥梁会有冲击作用，导致裂缝参数一定程度的放大.因此在判断开裂梁桥中裂缝的稳定性时，必须考虑车辆荷载的动力作用.由图4(a)可见，Ⅰ类张开型应力强度因子KⅠ(t)的时程曲线变化趋势与其他文献中车辆荷载作用下跨中的位移响应时程变化趋势相似，大致在车辆位于跨中时出现最大值.由图4(b)可见，当车辆位于跨中附近时，由于二维车辆前后轮的作用导致Ⅱ类滑开型应力强度因子KⅡ(t)有一个双谷的变化过程.对比图4(a)和图4(b)可以发现，该工况下KⅠ(t)远大于KⅡ(t)，λ主要受到KⅠ(t)的影响，故图5中裂缝扩展性能参数λ的时程曲线和KⅠ(t)的时程曲线趋势相同.

(a) KⅠ(t)时程曲线

(b) KⅡ(t)时程曲线

图5 裂缝扩展性能参数λ时程曲线

4.2.2 路面不平顺对裂缝扩展性能的影响

为了考查路面不平顺对车辆荷载作用下裂缝扩展性能的影响，进行了相关模拟分析.图6给出了不同等级路面条件下裂缝扩展性能参数λ的动力时程曲线，其中Rweight取0.12，i为路面不平顺等级，i=1，2，3，4，5，其他参数为上文所述控制变量分析中的统一取值.由图6可见，当车辆位于跨中时，裂缝扩展性能参数λ的振幅最大，且随着路面粗糙度等级的增大，参数λ的振幅变大.

图6 不同等级路面下裂缝扩展性能参数λ时程曲线

另一方面，3种车重作用下Λ的改变量Δj分别为0.26(Rweight=0.12)，0.20(Rweight=0.24)，0.18(Rweight=0.36).分析不同车辆荷载随路面等级退化时Λ的增长率，可以看到车辆荷载越小，其随路面等级退化时Λ的增长速率越大，这是由于轻车随路面等级退化更易产生颠簸，车辆的冲击作用对桥梁裂缝产生不利影响.图8给出了3种不同车重情况下λ的动力放大系数随着路面等级退化的变化情况.由图可见，λ的动力放大系数随着路面等级退化呈加速增大的趋势，且车辆荷载越小趋势越明显，这也印证了图7中轻车随路面等级退化时Λ加速增长的现象.故保持路面状况良好，能够显著降低车辆冲击作用对桥梁裂缝的影响.此外，从图中可看出运动车辆对桥梁的冲击作用会导致裂缝扩展性能参数λ的放大，在某些工况下(Rweight=0.12，路面不平顺等级5)达到静态裂缝扩展性能参数的近2倍，说明考虑动态作用对于评估开裂梁桥中裂缝稳定性是十分必要的.

图8 不同等级路面下动力放大系数变化情况

4.2.3 车速对裂缝扩展性能的影响

4.2.4 梁体损伤程度对裂缝扩展性能的影响

4.2.5 弯剪区斜裂缝角度对裂缝扩展性能的影响

图11 裂缝扩展性能参数λ时程曲线(斜裂缝角度45°)

5 结论

1) 本文提出的车桥耦合振动分析与相互作用积分相结合的方法能够有效地对车辆荷载作用下实体开裂梁动态应力强度因子进行计算分析.

2) 在求解车辆荷载作用下裂缝的动态应力强度因子时，应当考虑惯性的作用，将车辆荷载直接代入应力强度因子的求解公式中得到的静态应力强度因子偏小，在某些工况下会产生近2倍的误差.

3) 车辆荷载的增加，路面等级的退化和梁体损伤程度的增大均会导致裂缝扩展性能参数变大，其中车辆荷载作用最为明显，车辆行驶速度及裂缝角度的改变对其影响不大.四分之一跨处的斜裂缝在裂缝水平角接近45°时发生扩展的风险最大.

4) 车辆荷载的冲击作用会加大裂缝扩展的风险，车辆荷载较轻和路面退化严重时，其对裂缝扩展性能的动力放大作用十分明显.

5) 车辆荷载和梁体损伤程度对裂缝扩展性能参数的耦合作用表现出非线性，随着车辆荷载的增大和梁体损伤程度的增加，裂缝扩展的风险加速增大.