完备格上sup-U合成模糊关系方程有极小解的条件

唐 婷

(西华师范大学数学与信息学院，四川 南充 637009)

0 引言

1976年，Sanchez在文献[1]中首先研究并给出了完备Brouwer格上sup-inf合成模糊关系方程解集非空的充要条件。Sanchez之后人们开始对格上不同的合成模糊关系方程进行了研究。1995年，Fodor与Keresztfalvi在文献[2]中证明了无论是理论上还是实际应用中非交换非结合的模糊析取及其对应的模糊蕴含在逼近推理中是有效的。因此，在文献[3]中De Baets讨论了完备分配格上的sup-T合成模糊关系方程后，Wang和Xiong等[4-5]人在完备Brouwer格上进一步讨论了sup-conjunctor合成模糊关系方程，并给出了方程解集非空的充要条件及解集非空时极小解存在的充要条件。2011年，Lin与Wu等[6]人定义了u-模，它是比算术平均，连续的Archimedeant-模等算子更一般的非交换非结合算子。同时，Lin与Wu等人在文献[6]中研究了[0，1]格上sup-U合成模糊关系方程解集的一些性质，并给出了该方程转化成覆盖问题的具体方法。2013年，Shieh在文献[7]中研究覆盖问题时，进一步给出了sup-U合成模糊关系方程的极小解与解集。基于前面对sup-U合成模糊关系方程的研究，本文在有限论域上当方程右手项系数为并既约元时，讨论sup-U合成模糊关系方程存在极小解的条件。

1 预备知识

设L为完备格，0和1为L的泛界。m，n为正整数，M={1，2，…，m}，N={1，2，…，n}。

本节将给出u-模的概念和一些后文将要用到的相关知识。

定义1[3]如果L上的一个二元算子T：L2→L满足：对任意的a，b，c∈L，

1)交换律：T(a，b)=T(b，a)；

2)结合律：T(T(a，b)，c)=T(a，T(b，c))；

3)单调性：如果b≤c，则T(a，b)≤T(a，c)；

4)边界条件：T(a，0)=0，T(a，1)=a，

则称T为定义在L上的一个t-模。

定义2[6]如果L上的一个二元算子U：L2→L满足：对任意的a，b∈L，

1)U(0，0)=0，U(1，1)=1；

2)当U(a，b)>0时，U(a，b)是严格单增函数，

则称U为定义在L上的一个u-模。

定义3[8]给定r∈R(R为实数集)，w1，w2∈[0，1]且w1+w2=1，对任意的x，y∈R，称

Mw1，w2，r(x，y)=

为加权幂平均。

记T(U)={U|U是完备格L上的连续u-模},应用文献[4]中的思想，可定义如下两个算子：

定义4 设U∈T(U)，定义二元算子IU：L2→L与JU：L2→L如下：对任意的a，b∈L，

IU(a，b)=sup{x∈L|U(a，x)≤b}

JU(a，b)=inf{x∈L|U(a，x)≥b}，

约定inf∅=1，sup∅=0。

定义5[9]如果a=b∨c蕴含a=b或a=c，则称a为格L上的并既约元。

2 方程supi∈MU(ai，xi)=b存在极小解的条件

对任意的i∈M，ai，b∈L，X=(x1，x2，…，xm)T为一个未知向量。称

supi∈MU(ai，xi)=b，

(1)

为定义在L上的sup-U合成模糊关系方程。其中，U∈T(U)。

记χ={X=(x1，x2，…，xm)T|supi∈MU(ai，xi)=b}。

类似于文献[10]，可证明下面命题。

命题1 设X1，X2∈χ，则X1∨X2∈χ。而且对任意的X，若X1，X2∈χ，且X1≤X≤X2，则X∈χ。

记χ={X|X为χ中的极小元}。

以下考虑方程U(a，x)=b。

命题2 设a，b∈L且b≠0，如果{x∈L|U(a，x)≤b}≠∅，则{x∈L|U(a，x)≤b}=[0，IU(a，b)]。

证明由定义2有U(a，0)≤U(a，x)≤b，所以0∈{x∈L|U(a，x)≤b}。又由U∈T(U)，则

U(a，IU(a，b))=U(a，sup{x∈L|U(a，x)≤b})=sup{U(a，x)|U(a，x)≤b}≤b。

因此，易见{x∈L|U(a，x)≤b}⊆[0，IU(a，b)]，且{x∈L|U(a，x)≤b}⊇[0，IU(a，b)]。

故{x∈L|U(a，x)≤b}=[0，IU(a，b)]。

命题3 设a，b∈L且b≠0，如果{x∈L|U(a，x)≥b}≠∅，则{x∈L|U(a，x)≥b}=[JU(a，b)，1]。

证明由定义2有U(a，1)≥U(a，x)≥b，所以1∈{x∈L|U(a，x)≥b}。又由U∈T(U)，则

U(a，JU(a，b))=U(a，inf{x∈L|U(a，x)≥b})=inf{U(a，x)|U(a，x)≥b}≥b。

因此，易见{x∈L|U(a，x)≥b}⊆[JU(a，b)，1]，且{x∈L|U(a，x)≥b}⊇[JU(a，b)，1]。

故{x∈L|U(a，x)≥b}=[JU(a，b)，1]。

引理1[6]设U∈T(U)，a，b，x∈L。若b≠0，则U(a，x)=b至多只有一个解。

由命题2、命题3和引理1可得以下定理：

定理1 设a，b∈L且b≠0，{x∈L|U(a，x)=b}≠∅当且仅当IU(a，b)=JU(a，b)。且{x∈L|U(a，x)=b}≠∅时x=IU(a，b)=JU(a，b)。

由定义5可得下面命题：

命题4 若supi∈MU(ai，xi)=b且b是并既约元，则存在i0∈M使得b=U(ai0，xi0)。

命题5 设supi∈MU(ai，xi)=b，若b=0，则χ≠∅当且仅当任意的i∈M，ai=0。且χ≠∅时，解向量为0。

因此，若无特别说明，本文以下设b≠0。

记G(b)={i∈M|IU(ai，b)=JU(ai，b)}。

定理2 若χ≠∅，G(b)=∅，则b不是并既约元。

证明假设b是并既约元，设

X=(x1，x2，…，xm)T∈χ，即b=supi∈MU(ai，xi)，则由命题4知存在i0∈M使得b=U(ai0，xi0)。由定理1可知IU(ai0，b)=JU(ai0，b)，则i0∈G(b)，即G(b)≠∅，矛盾。

定理3 若b是并既约元，则χ≠∅当且仅当G(b)≠∅。

证明如果χ≠∅，则由定理2知结论显然。

反过来，假设G(b)≠∅，设i0∈G(b)，则IU(ai0，b)=JU(ai0，b)，由定理1知{x∈L|U(ai0，x)=b}≠∅。

设xi0=IU(ai0，b)=JU(ai0，b)，于是有

U(ai0，xi0)=U(ai0，IU(ai0，b))=b。

定义X=(x1，x2，…，xm)T如下：对任意的i∈M，

(2)

由定义2知当i≠i0时有：

U(ai，0)≤U(ai，IU(ai，b))=U(ai，sup{x∈L|U(ai，x)≤b})=sup{U(ai，x)|U(ai，x)≤b}≤b，

所以supi≠i0U(ai，0)≤b。因此

supi∈MU(ai，xi)=supi≠i0U(ai，0)∨U(ai0，xi0)=b。即X∈χ。

类似于Sanchez文献[1]中的思想，有以下定理成立。

定义X=(x1，x2，…，xm)T如下：对任意的i∈M，

(3)

定理6 若χ≠∅且b是并既约元，则χ中存在极小元。

证明由定理3知G(b)≠∅，设k∈G(b)，则IU(ak，b)=JU(ak，b)，于是由定理1知

U(ak，IU(ak，b)=b。

(4)

由定义1知当i≠k时有U(ai，0)≤U(ai，IU(ai，b))=U(ai，sup{x∈L|U(ai，x)≤b})=sup{U(ai，x)|U(ai，x)≤b}≤b，

所以supi≠kU(ai，0)≤b。故

定理7 若χ≠∅且b是并既约元，则χ中所有的元都有(4)的形式。

(5)

(6)

由定理4至定理8，易得下面定理：

3 结语

在完备格L上，讨论了sup-U合成模糊关系方程解集的一些性质，其中U为u-模。给出了在有限论域上，当方程右手项系数为并既约元时sup-U合成模糊关系方程存在极小解的条件。