分段函数、函数的可积性与原函数存在性

王宝嫦

【摘要】在大学数学学习内容中，函数及分段函数的教学内容占据主要部分，其也是发展和锻炼学生数学思维能力的有效性。本文讨论了数学定理中分段函数的含义及应用，并借助分段函数的运用，讨论了原函数的存在性与函数的可积性之间的相互关系，有助于掌握基元的两个重要概念函数和定积分。

【关键词】分段函数 可积性 原函数 间断点

在单变量函数的积分中，原函数（不定积分）和定积分的定义是不同的，但是当我们在理解微积分的基本理论时，我们将它们联系在一起。因此，许多初学者都有原始函数存在的假象，那么函数是黎曼可积函数或函数可积函数，那么它的原始函数就必然存在。在目前的数学分析教科书中，虽然指出原始函数的存在性和函数的可积性不一定是相关的，但由于原始函数的局限性以及书本知识的容量和教学时间的局限，对于原始函数的存在性和函数可积性之间的关系没有普遍的讨论。本文在数学教材学习的基础上，借助分段函数对原始函数的存在性和函数的可积性进行一般的证明讨论，进一步理解原始函数存在性与函数的可积性两个重要定义之间的关系。

一、分段函数的讨论

初等函数的应用是数学学习的重点学习内容。而非初等函数的讨论往往在对某些重要概定理和问题的进一步证明和理解中，它的主要运用之一是假设反例来满足一些要求，然后分析和阐述定义或定理。分段函数是如此重要的一种函数。例如Dirichlet函数，黎曼函数，符号函数等等都是这个应用的例子。分段函数是函数域的不同分段部分函数并不是一个分析表达式，是由几个不相同的分析表达式概括的函数，有时具有无限数量的分析表达式。分段函数通常被定义为：设工是一个区间，f在I上有意义且满足

则称f为I上的分段函数。由于数学定理学习中的分段函数，每个fi都是Ii上的函数，我们可以讨论它们的特点性质，如极限，函数的连续性，可微分性和函数可积性。由于这些函数在函数域的不同分段由不相同的分析表达式表示，它们通常具有一些不同的属性，这是我们所关心的。尤其是在功能表达式表达的边界点，它是这种独特状态的临界点，因此它是讨论的焦点。通过讨论分界点用来证明函数的一些特点或重要的特性。比如黎曼函数，讨论了它在有理临界点是不连续的，而在无理临界点是连续的。因此，学生在一个连续的点上对功能的局部特征有更强烈的印象。一般而言，通过使用分段函数可以增强数学学习中的一些基本定理的理解，并且通过使用分段函数可以讨论函数的连续性，可微分性和可积性，具有一些独特性质的函数可以利用分段函数来构造，而数学学习中的一些难题可以通过使用分段函数来解决。

作为函数的相关教学内容来说，分段函数思想可以根据实际数学题目的具体思想，按照实际教学和学习内容，不断的在学习过程中锻炼自己的逻辑思维意识，将函数应用到各领域的内容中，例如物理学、化学和相关的学科内容中，只有这样才能体现数学知识中函数应用的有效性，从中体会到函数及分段函数的实际内容的有效性及重要性。

二、对于原函数的存在性与可积性的相关讨论

（一）关于可积函数的原函数存在性的讨论

第一种可积函数，连续函数必有原函数。此时，原始函数可以由一个变量上限合格积分表示。即若f在[a，b]上连续，则F（x）=∫axf（t）dt是f在[a，b]上的一个原函数。第二种可积函数，有有限个不连续点的有界函數。若f在[a，b]内具有第一种间断点，那么f在[a，b]内不具有原函数，若f在[a，b]上具有无限类型的第二类型不连续点，则f在[a，b]上不具有原函数，如果f在[a，b]上具有第二类非无限类型的不连续点，则f在[a，b]上原函数的存在是不确定的。关于可积函数的原函数存在性原理的证明一定要结合实际给出的条件，利用条件进行反推，只有这样才能找到有效的解决措施及方法，利用函数的基本定理及相关性质进行解题，并按照实际教学的内容对整个函数学习过程产生深刻体会。

（二）关于原函数存在的可积性的讨论

显然，若f在区间[a，b]上连续，则f在区间[a，b]上可积，如果f在[a，b]上是不连续的函数，那么就说，在[a，b]内f对应的原函数F（x）是具有的，f在区间[a，b]上也不一定可积。因此对于函数的可积性与原函数的存在性相关分析，将整个数学函数的有效性及相关定理的运用结合起来，实现整个数学学习过程的有效性。

Dirichlet函数和黎曼函数原函数的存在性和可积性主要与连续点的“数量”不同。前者的不连续点是不可数的，而后者的不连续点是可数的。因此，一个不是可积的，另一个是可积的。由于黎曼积分本来就是对一个连续函数的一个积分，所以为了使函数是可积的，其连续的点的个数应该足够大而成为一个密集集合。

三、结语

原函数的存在性与函数的可积性是不相同的定义，这意味着可积函数不一定具有原函数，而存在原函数的函数也不一定是可积或不可积。当然，有些功能既不是可积也不是原始的。在数学学习或者扩展到高等数学的学习中，分段函数作为一种具有独特性质的函数，具有重要的运用和意义。在数学教学中，如果能充分运用分片函数的特点，理解函数的可积性与函数的存在性之间的关系，可以正确指引学生进一步理解理论的基本定义和正负两种意义。此外，正确认知和运用这些基本定理和理论是非常重要的，对于提高数学学习的教学效果也是非常有意义的。

参考文献：

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