坡面降雨径流中污染物扩散浓度比尺推导

吉倩倩

【摘 要】针对黄土高原小流域降雨径流模拟试验中，污染物运移规律不明确，污染物运移比尺难以确定的问题，本文利用环境水力学中污染物扩散定理及相似论的基本原理，进行了一系列相似转换和推导，最终得出了污染物运移浓度的比尺为。该结论从理论上给出了原型与模型在降雨径流过程中，污染物运移浓度之间的关系，为进一步进行模型试验进行污染物浓度率定和验证提供参考。

【关键词】降雨径流；污染物扩散；相似比尺；相似率

中图分类号： X53 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2018）12-0123-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.12.053

0 引言

降雨冲刷地表沉积物而产生含有大量污染物的径流流入水体，对水环境造成了严重的危害[1]。20世纪60年代以来，国外首先注意到了降雨径流污染导致的水质恶化的问题，并且在降雨径流水质特性研究、水环境影响评价、模型模拟方面做出大量的工作[2-3]。近些年，我国也开展了大量的降雨径流污染物运移规律的研究，在黄土坡面土壤氮磷等化学物质随径流迁移的研究中，张亚丽等[4]运用了降雨-径流-土壤化学物质混合层深度（简称混合层深度）的方法，模拟坡面土壤化学物质随径流迁移的过程，王敬美等[5-6]运用模型试验结合相似理论的方法研究了水中污染物的扩散规律，高建恩等[7-8]运用相似性原理对黄土高原小流域水力侵蚀模拟试验的比尺进行了设计和验证，可作为模拟小流域水力侵蚀调控，优化治理措施研究的有效措施。这些研究通过运用模拟实验、相似理论推导等方法，从不同的侧重点探究降雨径流中水流运动和污染物运移的规律，但没有从定量的角度推求出污染物在模型与原型中运移浓度的关系。本研究是建立在相似理论的基础上，通过将污染物三元对流扩散方程与相似理论建立联系，从而推求出原型与模型的污染物运移浓度比尺，为模型试验的验证提供了理论依据。

1 研究背景

1.1 费克定律

污染物扩散是环境水力学的核心部分，水流紊动与扩散有密切的联系。研究污染物在水体中的扩散规律是推导出污染物运移比尺的基础工作，因此具有重要意义。

1885年费克提出扩散定律：在各向同性的介质中，在一定方向上通过单位面积扩散输送的物质，与该断面的浓度梯度成比例[9]。公式如下：

F=-D （1）

式中：F——单位时间通过单位面积的扩散物质，又称为通量；C——扩散物质的浓度； ——x方向的浓度梯度；D——扩散系数，在各向同性的液体中，在x、y、z三个方向上，扩散系数为常数。

上述公式只表示出污染物在一个方向上的扩散，实际当中，污染物质不是在单一方向而是在x、y、z三个方向上都有扩散，因此，将其写成矢量形式应为：

F=-D（ + + ）=-D？荦C（2）

1.2 单纯扩散方程

在菲克定律的基础上，通过质量守恒原理建立单位时间扩散物质的量的变化等于x，y，z三个方向的通量之和的关系，推出静止流体中污染物单纯扩散方程。其基本形式为：

=D（ + ）（3）

如考虑两个方向上的扩散，则为： =D（ + ）（4）

如只考虑一个方向的扩散，则： =D （5）

1.3 对流扩散方程

以上所述的单纯扩散，流体是静止的，但是如果水体在流动，在x、y、z三个方向上的流速为u、v、w。由于流体的平均运动而引起的输送称为对流，对流输送与扩散输送是可以分开又可以迭加的过程。

将对流通量和扩散通量相加即为总输送率（通量），代入单纯扩散方程（3）中，并首先考虑x一个方向，通过化简可得：

+ =D 或 +？荦（uC）=D？荦2C（6）

因为，流体的容积守恒，？荦·u=0，则上式可变为： +u·？荦C=D？荦2C

将其写成三元形式，则有：

+u +v +ω =D（ + + ）（7）

这就是三元对流扩散方程，简称三元扩散方程。

通常只考虑x方向的纵向流速，y和z方向忽略，则可忽略v 和ω ，x方向的扩散项与对流输送项相比很小，因此可以忽略 ，簡化后可得：

+u =D（ + ）（8）

如果在y方向（垂向）的浓度梯度较小，可忽略y方向的扩散项 ，则为：

+u =D （9）

以上公式中，（6）为一元扩散方程、（7）（8）为三元扩散方程、（9）为二元扩散方程。

2 分析推导

由于实际水流多数属于三度紊流，所以采用三元扩散方程（7）进行比尺推导。公式形式为：

+u +v +ω =D（ + + ）

假定采用正态模型，设长度比尺为λl，则λx=λy=λz=λl

首先，水流运动满足连续性方程 + + =0，很容易由比尺关系式推出λu=λv=λω

其次，水流运动满足比尺关系式 =1以及 =1。容易得出λu=λ 。

现将公式（7）中原型的有关物理量用比尺转化为相应的模型物理量，可得：

用 去除每一项，可得：

描述统一物理现象的的原型和模型的方程应该相等[10]，所以：

扩散系数D表示单位浓度梯度下的扩散通量，它表达某个组分在介质中的扩散快慢，是物质的一种传递性质。相同的溶质在相同溶剂中的扩散系数是相同的，若原型与模型采用相同的污染物，则扩散系数D相同，λD等于1。

则上述比尺关系式可变为： =1，所以：

可得污染物的浓度比尺为λC=λ 。

3 验证方法

3.1 确定扩散方式及其解的形式

上述多种形式的基本方程都是二阶线性偏微分方程，从物理学的角度来看，必须给定初始条件及边界条件，才可求解，从而得出在空间上或时间上的扩散物质的浓度分布情况。

总结起来污染物在水中的扩散方式有以下五种情况：（1）一元瞬时平面源；（2）二元及三元的瞬时点源扩散；（3）起始空间分布源；（4）時间连续源；（5）对流扩散。对应于每一种扩散方式，其都有不同的解。

以一元瞬时平面污染源为例，其污染物添加方式为在水管的中部瞬时投放污染源，投放点坐标设为0，采用的方程为一元扩散方程： =D

其解为：C= exp- ，在t=0时，在x=0处投放的质量为M；

3.2 模型试验的设计与布置

按照一定的几何比尺，水流运动比尺和坡面侵蚀产沙及泥沙运动比尺布置原型和模型，采用相同的污染物添加方式，在对应的投加点施加污染物，如氮肥或磷肥，原型模型施加量可按推导比尺λC=λ 施加。

采用放水冲刷和降雨径流两种外部自然环境条件的模拟，在不同断面位置、不同时间，测量径流中污染物的浓度，将所测数值代入扩散方程所确定的解中，计算出原型与模型的污染物浓度，验证污染物运移浓度比尺的准确性。

4 结论

（1）本研究将环境水力学中污染物扩散方程与相似理论中比尺模拟的方法相结合，依据原型与模型满足同一物理方程的思想，运用水力学的基本定理，推导出污染物运移相似比尺，是一种大胆的创新和尝试。

（2）为进一步进行坡面降雨径流污染物运移的研究提供了新的思路和方法。

（3）在污染物施加量的确定和验证效果的对比上，还需要通过一系列模型试验验证和修改，有待于进一步提升。

【参考文献】

[1]张德刚，陈永川，汤利.滇池流域典型城郊降雨径流污染特征与排放过程[J].农业环境科学学报，2010，29（4）：733-739.

[2]Zhiguo He，Haoxuan Weng，Hao-Che Ho.Soil Erosion and Pollutant Transport during Rainfall-Runoff Processes.Water Resources，2014，vol41，No5，604-611.

[3]Francirose Shigaki，Andrew Sharpley，Luis Ignacio Prochnow. Rainfall intensity and phosphorus source effects on phosphorus transport in surface runoff from soil trays. Science of the Total Environment， 2007，373：334-343.

[4]张亚丽.黄土坡面土壤氮磷等化学物质径流迁移与混合层深度研究[D].西安：西安理工大学，2007.

[5]王美敬，罗麟，卢红伟，等.水中污染物扩散模型实验中的相似理论[J].四川大学学报（工程科学版），2004，36（2）：25-28.

[6]王美敬，罗 麟，黄小雪. 污染物横向扩散在变态模型与河流中的相似性[J].四川大学学报（工程科学版），2006，38（4）：25-28.

[7]高建恩，杨世伟，吴普特，等.水力侵蚀调控物理模拟试验相似律的初步确定[J].农业工程学报，2006，22（1）：27-31.

[8]高建恩，吴普特，牛文全，等.黄土高原小流域水力侵蚀模拟试验设计与验证[J].农业工程学报，2005，21（10）：41-45.

[9]张书农.环境水力学[M].南京：河海大学出版社， 1988：52-87.

[10]河流泥沙工程学（下册）[M].北京：水利出版社，1982：167-183.