浅析勾股定理在初中数学中的应用

兰东平

勾股定理是一个基本的几何定理，在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理 三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2。勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

勾股定理是初中几何里最重要的定理之一，它在初中几何里的应用也十分广泛，我在教学中发现，勾股定理在折叠问题中的应用具有典型性和普遍性。下面我就具体说明它在这个方面的应用。在几何学习中，图形的平移，旋转，轴对称是基本变形，其中，图形的轴对称也就是图形的折叠一类题型中，计算题比较多，而这类计算题通常用勾股定理来解决就简单得多。

一、勾股定理在折叠问题中的应用

勾股定理在有关图形折叠计算的问题中的共同方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知线段为x，将此三角形中的三边长用具体数或用含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出所求的线段长度。

下面我从线段的折叠，三角形的折叠，四边形的折叠三个方面探究勾股定理在其中的应用。

1.线段折叠问题

例1.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm.现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）

此题是关于线段折叠的计算题，在计算过程中我们可以先选定Rt△BDE，在此三角形中应用勾股定理，首先设要求CD=x，则AE=AC=6，BE=10-6=4，BD=8-x，DE=，，

得，求得x=3，即CD=3.

2.三角形折叠问题

例2.如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF.有下列结论：①△ABG≌△AFG ②BG=GC ③AG∥CF ④S△FGC=3.其中正确结论的个数是（ ）

此题是三角形的折叠计算题，在证明BG=CG相等的过程中，我们可以先选定Rt△CEG，在此三角形中应用勾股定理，首先设线段BG为，则CG=，CE=4，GE=则有，，得出=3，则CG=3，从而得出BG=CG正确。

3.四边形折叠问题

例3.折叠矩形ABCD的一边AD，点D落在BC边上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求CF、EC、AE的长各是多少？

在解决此题时，先选定Rt△ABF，由题目中给出的边长利用勾股定理求出BF=6，则CF=4，接着在Rt△CEF中，设EC为，则EF=DE=，由勾股定理得出方程，即可求出EC，之后AE即可迎刃而解。

4.三角形与四边形折叠种类

（1）.三角形：

（2）.四边形：

在解决线段、三角形及四边形的折叠问题中，首先用题目中的已知量利用勾股定理直接得出需要的边长，然后选定直角三角形，确定未知量，并用这个未知量表示该直角三角形中其他的边长，再次利用勾股定理列出方程即可求出所需线段长度。在平时教学中要鼓励学生，善于观察，仔细把握每一个已知量，灵活应用勾股定理求解，因此深刻理解勾股定理是关键。

二、勾股定理在最短距离问题中的应用

利用勾股定理求几何体表面上某两点之间的最短距离，因为两点之间线段最短，所以要求几何体表面上两点之间的最短距离，我们可设法将几何体侧面展开成为平面图形，从而利用平面图形的有关性质使问题得以解决。以下我会从初中常见的台阶及立体图形方面探究勾股定理在其中的应用。

1.台阶中的最短距离

例4.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？

臺阶中求最短距离是比较常见的题型，对于此题要善于观察图形，并能从立体图形中抽象出平面图形（如右图），从而找到出发点A与终点B，由两点确定一条直线AB，直线AB即为最短距离。构造Rt△ABC，由即可得到，最终求得AB=13.

2.圆柱（锥）中的最短距离

例5.有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？

由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形。根据两点之间线段最短，可以发现A在圆柱侧面展开图的宽1m处，B分别在圆柱侧面展开图长24m的中点处，即AB长为最短路线（如右图）。由此得AC=5，BC=12，由得，解得所以老鼠爬行的最短距离是13米。

3.正方体中的最短距离

例6.如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ ）.

（A）3 （B） （C）2 （D）1

由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体展开成平面图形（如右图）。连接AB，则AB即为蚂蚁爬行的最短距离。在Rt△ABC中利用勾股定理即可求得蚂蚁爬行的最短距离为。

4.长方体中的最短距离

例7.如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？

根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况（如下图）。

在三个图形中分别确定最短路径，选定直角三角形，由勾股定理可求得图1中AC1=5 图2中AC1= 图3中AC1=，因此图1中爬行的路线AC1最短为5。

5.选址问题中的最短距离

例8.如图，一条河同一侧的两村庄A、B，其中A、B到河岸最短距离分别为AM=2km，BN=1km，MN=4km，现欲在河岸上建一个水泵站向A、B两村送水，当建在河岸上何处时，使到A、B两村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。

此类确定选址地点问题，在教学中较为常见，可找出A、B两点关于直线 的对称点A1与B1，连接A1B，则易知A1B即为梁村铺设管道的最短长度，通过构造直角三角形，利用勾股定理即可求出水管的最短长度（如右图）。

由以上分类可以得出，勾股定理在空间图形中求最短距离问题中的应用比较广泛，而且对于求解过程简便，难点在于学生如何将空间图形抽象为平面图形，并准确确定原立体图形中的点，在展开的平面图上相应的位置，如何准确选择直角三角形，利用勾股定理得出方程。因此要努力培养学生空间想象力，深刻理解勾股定理。而在选址问题中确定最短距离，通常会运用对称知识，通过图形对称变换，找到对段距离，进而在直角三角形中应用勾股定理进行求解。

综上所述，从以上例题我们很容易发现勾股定理在折叠问题的计算应用中具有普遍性和实用性，对于学生而言，怎样确定一个直角三角形来利用勾股定理列出方程是关键，通过这些例题，希望在今后教学中遇到此类问题，学生能够得心应手的解决，加深对勾股定理的理解并熟练运用。