函数值域之换元法

谢金辉

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018） 11-0292-02

换元法是数学中一个非常重要且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。换元法又称辅助元素法、变量代换法。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

然而换元法在高考求值域问题中也是相当重要的。

一、一般换元法

【例1】求函数的值域.

解：令，则且，

，

函数的值域为.

【变式1】求函数的值域.

二、三角换元

重要公式： 有着本质的联系！

【例2】（2005福建）已知实数满足，求的最小值.

解：，

令 ，则

的最小值为.

【例3】 求函数的值域.

解：令，其中.

，

.

● 反思： 角的范圍为什么这么取？

【变式1】 求函数的最大值.

答案：.

【例4】（2009辽宁竞赛） 函数的最大值与最小值的乘积是 .

解：

，令，

所以答案是.

三、双换元

【例5】求函数的值域.

解：方法1：平方

当时，；当或1时，.

函数的值域为.

方法2：双换元

令，

则，其中

，则

（接下去可以用线性规划做，也可以三角换元）

令

【例6】 求函数的值域.

解：令，

则，其中

，其中

则，

令，其中

函数的值域为.

四、整体换元

【例7】 求函数的值域.

解：，

令，则，

其中，

【变式1】（2013新课标Ⅰ）

若函数的图像关于直线对称，则的最大值为 .

解：观察得是的两根，

的图像关于对称，

和也是的两根.

由已知，和是方程的两根，由韦达定理得.

令，则，其中，. 故答案为16.

五、结论换元

当待解题目的条件较繁而结论形式简单时，可考虑改变常规的习惯，逆向思考，结论换元，化未知为已知，获得简单方法。

【例8】已知，且，求的取值范围.

解：设，令，代入已知等式，

得 .

由

故的取值范围是.

六、小结

通过结论换元为用三角代换创造了条件，而且整体代入已知等式，转化为三角问题，十分巧妙，值得一学.

【变式1】实数满足，设，求的最大值和最小值.

解：设，

则

而