物理教学中数学能力培养探讨

湖北

朱木清

应用数学处理物理问题的能力，既是物理教学需要，也是高考的重要要求，体现国家未来科技和人才战略思想，高校与中学、教师和学生都应有足够的认识和相应的作为。而现实的种种局限，也有物理学科本身难学因素影响，使相当一部分学生缺乏数理融合意义和训练感悟，导致物理学得很吃力。

作为物理教师，我们不能放松、更不能放弃“应用数学处理物理问题的能力”的教学要求，必须审慎当下困难，寻求措施办法，奋力促进数理融合。这里，以个人的教学实践，谈点肤浅的体会和建议，供大家参考。

1.打通“断头路”， 补齐短板，增强数理融合的主动意识

物理中的数学能力培养，在大学有数学物理方法课程，在中学还是自由生长。面对当下窘境，物理教师需对各阶段教学所需数学工具作以盘点，并与本校数学教师沟通，拟定一个数学补习实施方案，下达指导学生定出针对自身的行动计划，这样多方配合联动，减少劳动浪费。

1.1.适时补习高一物理学习必需的数学知识

初中到高中，物理由具体到抽象，定性到定量，将用到大量数学知识。然而，由于现行教材数理两科缺乏协同，数学滞后物理很多，给高一物理学习带来很大困难，严重制约新课教学。问题缘起虽在课程顶层设计，而当前的教学困难又不能回避。基于初中数学缺陷，为解燃眉之急，需适时进行必要的数学补充。

实践表明，在高一物理必修1的第一、二、三章相关部分前，穿插补充相关数学内容：矢量与标量、三角函数部分内容及解析几何中方程与图线基础，对学生学习很有帮助。物理教师需打破“学科本位”，“客串”数学，亲自动手编拟简明实用的校本教材。例如可在第一章前穿插函数与图线基础，第二章前穿插锐角三角函数和解斜三角形，解决急需问题。要利用网络平台，督促学生配合行动。教学中，尤其是起步阶段，遇到与数学关联的重要节点，注意放慢速度讲细点，密切两科联系，夯实基础。

【例1】某物体沿x轴运动，其速度与时间的关系如图1所示，则下列说法正确的有 ( )

A.物体的加速度a=0.75 m/s2

B.物体的速度变化率为0.5 m/s2

C.t=4 s时物体所在位置坐标x=4 m

D.0～1 s内物体的位移为4 m

【答案】BD

本例涉及数学与物理几个相关基础概念，如果数理两科教师都无视其关联作用，就可能给学生留下知识盲区，受伤的是物理。但现实又缺乏这类纠错题，故只有物理教师亲自动手现编，自产自销，填补空白。

1.2领会教材编写意图，认识数学物理方法的地位和作用

物理学是应用数学思想与方法最充分、最成功的一门科学。高中物理课程标准中明确指出，高中的物理教学应该通过物理概念和规律的学习过程，使学生了解物理学的研究方法，认识物理实验、物理模型和数学工具在物理发展过程中的作用。要求教师在教学中注重物理思想、方法渗透过程的同时，也应充分体现数学工具对物理学发展所起的促进作用。这一思想编织贯穿到教材中。

高一开篇“直线运动”，教材穿插补充了一些数学知识，如增加运动图象的篇幅，小专题介绍变化率概念，利用速度图象“面积”推导匀变速直线运动位移，渗透微积分思想。所有这些，反映出教材编写的深刻用意：物理离不开数学。物理和数学，就像图和数的关系，形影难离。 数离开图不直观，图离开数不具体。可以这样说，离开了数学思想与方法，就没有真正意义上的物理学。

【例2】意大利物理学家伽利略对自由落体运动的研究，开创了科学实验和逻辑推理相结合的重要科学研究方法。如图2所示，他先观测小球分别沿倾角不同、阻力很小的斜面从静止开始运动的情况，再进行逻辑推理。关于本实验下列说法正确的有 ( )

A.利用倾角较小的斜面进行实验，可“冲淡”重力，使时间测量相对容易

B．通过外推证实自由落体运动也是匀加速直线运动

C．斜面上小球运动速度的变化对位移是均匀的，即速度与位移成正比

D．斜面上小球运动速度的变化对时间是均匀的，即速度与时间成正比

【答案】ABD

在伽利略时代，不能通过实验直接测定瞬时速度来验证一个物体是否做匀变速运动。伽利略结合实验，应用数学和逻辑推理方法得出:初速度为零的匀加速运动物体发生的位移与所用时间的平方成正比，并外推到自由落体运动也是匀加速运动。300多年过去了，伽利略发现的自由落体运动规律，在整个物理学中不过是沧海一粟，地位影响愈来愈低，但他创造的抽象思维、数学推导和科学实验相结合的研究方法，为人类走出千年科学研究泥潭，开启近代科学大门，贡献了最珍贵的思想智慧。对于伽利略的成就和获得成就的方法，爱因斯坦赞扬最具有代表性：“伽利略的发现以及他所应用的科学的推理方法，是人类思想史上最伟大的成就之一，而且标志着物理学的真正开端”。高中物理必修1增加的这节内容，是数学物理思想方法的最光辉典范。伟人创造的科学思维方法，后人受用，是必须吸收和传承的精神财富。

2.注重基础，明确要领，着力掌握物理模型向数学模型转化的技能

数理两科相伴而生，研究方法一脉相通。但在很多同学心底，却把它们划得很开。不少同学，学了不少数学知识，并能解决一些较复杂的数学问题，但遇到物理中有些与数学相关的基本问题，却理解不了；遇到一些需用数学处理的物理问题，常是思维混乱，甚至无从下手。因此，了解一些数学用于物理的基本常识，知道物理研究的基本方法和思维程序，是促进数理融合不可或缺的前提条件。

2.1知道数理描述的联系和区别

【例3】物理关系式中比例系数的确定。

2.2明确解决物理问题的一般思维程序，知道数理模型转化的方法要领

物理问题的求解一般要经过下图所示几个基本环节：

(1)实际问题向物理模型的转化环节

这一步是审题分析的反映，是物理解题的基础和前提。所谓物理模型，就是按照由简到繁，由易到难，循序渐进，逐层深入的原则，依据问题性质，忽略次要因素，抓住主要矛盾，突出本质特征，构建出的理想化研究对象，是研究复杂问题的科学方法策略。物理模型包括实体模型，状态模型，过程模型，如质点、点电荷、匀强电场、理想电表、理想流体、静态平衡、动态平衡、临界状态、匀变速运动、匀速圆周运动等。

(2)物理模型向数学模型的转化环节

这一步是实现物理解题的重点和关键。所谓数学模型，就是利用数学的概念、方法和理论，借助符号、字母、图形和数字等数学语言描述研究对象，反映问题中各要素之间关系的数学形式。简言之, 就是把实际问题翻译成纯数学语言。具体的数学模型，分布在函数与方程、不等式、平面三角与解析几何、复数与向量、数列与数学归纳法、极限与微积分等各部分。

数学应用于物理，落脚到解题，就是分析物理模型的相关量，哪些是常量，哪些是变量；哪些是矢量，哪些是标量；哪些是过程量，哪些是状态量；哪些是已知量，哪些是待求量。再根据物理规律找出各物理量之间的关系式。

(3)数学模型的求解环节

这一步需要数学技能的支撑，对解题者掌握的数学工具提出要求。

(4)数学模型解还原到物理模型解的环节

这一步需特别注意物理模型的适用条件和范围，防范物理问题数学化错误，作出必要检验和讨论。

【例4】物理模型与数学模型的区别。

3.加强训练指导，久久为功，让数学方法在物理应用中有获得感

应用数学处理物理问题的能力，用高考考试大纲中的语言描述，就是能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论；能运用几何图形、函数图象进行表达、分析。关键在将物理模型转化为数学模型，注意结合物理模型的适用条件范围，给出物理模型解。其间，涉及很多数学工具运用，体现数学的技能技巧。

技能需要反复刻苦训练才能形成，罗马不是一日建成的。高中三年，须从高一做起，数学跟物理结伴同行，坚持一题多解，一题多变，多题一解，总结方法，整理归类，逐步融合加深，力争常见的数学模型逐一到位，定会收获数理双赢，受益终生。

【例5】甲、乙两车在相邻两车道上同向直线运动，同时通过某路标。甲车速度v甲=16 m/s，并开始刹车做加速度大小a甲=2 m/s2的匀减速运动；乙车速度v乙=4 m/s，做加速度大小a乙=1 m/s2的匀加速运动，求：

(1)甲车超前乙车过程中，沿车行方向两车间的最大距离；

(2)t=10 s时刻沿车行方向两车间的距离。

【分析与解答】本题物理模型很明确：两车可视质点，做匀变速直线运动。

第(1)问是极值问题，有多种解法。

方法一：利用函数解析与二次函数模型

两车同时同地同向出发，取路标处为坐标原点，在同一坐标系中：

沿车行方向两车间距离为

s是关于时间t的二次函数，利用二次函数y=ax2+bx+c性质特征或配方法：

故t=4 s时刻，两车间距离最大sm=24 m。

方法二：利用数学图象模型

甲车做匀减速运动，速度vt甲=v甲-a甲t，乙车做匀加速运动，vt乙=v乙-a乙t，作出两车的速度图象，如图3所示。

速度图线与时间轴所夹“面积”表示各自的位移，在t=0～4 s内，甲的位移大于乙，甲超前于乙。两车速度图线的“夹面积”(图中阴影部分)表示相对位移，t=4 s时刻，甲超前乙的距离达到最大值，即

方法三：利用相对运动和矢量运算模型

以乙车为参考系，甲车相对于乙车，初速度u0=v甲-v乙=(16-4) m/s=12 m/s，加速度大小a′=a甲-(-a乙)=3 m/s2(注意这里矢量计算容易出错)，a′的方向跟u0相反，故甲车相对乙车做类似横向的“竖直上抛运动”，满足

ut=u0-a′t

方法四：利用函数解析与导函数等于零模型

如前所述，沿车行方向两车间距离为

则两车间距离最大值为sm=24 m。

由第(1)问求解可见，解物理极值题方法有：

Ⅰ.物理方法——先找到“取得极值的特征条件”，故亦称条件极值法。如上述方法二中速度相等时取得极值，方法三中是相对速度u=0。

Ⅱ.数学方法——先依据物理模型，把物理问题转化为数学模型，再利用数学方法求极值，如本题方法一和方法四。数学方法求极值时，涉及的数学工具通常有导数、二次三项式配方或判别式、三角函数式的化简与变形、重要不等式性质等；有时也可通过图象分析或“数形结合”求极值，如方法二。

同一物理极值题，物理方法和数学方法通常都可，但有些情况只能用数学方法。物理方法相对简明省时，但要求对过程图景和特征条件理解透彻；数学方法相对耗时，但能带动数学知识和技能复习。

但所求出的两车间距离Δx=x乙-x甲=30 m是错的。问题在什么地方？