苑晓杰
摘 要:本文以测量弹簧的劲度系数实验为例,在胡克定律原理与测量振动周期两种不同的实验方法下,用逐差法、线性拟合法、最小二乘法三种不同的数据处理方法做横向与纵向的比较分析,研究在不同的实验方法下用不同的数据处理方法所得值的准确性。
关键词:弹簧劲度系数 逐差法 线性拟合法 最小二乘法
引言
测量弹簧的劲度系数有不同的实验方法,例如用集成霍尔传感器、新型焦利称、气轨上的简谐振动等测定弹簧的劲度系数,但是把这些整合在一起作比较的内容很少,笔者力图通过以测量弹簧的劲度系数为例,在胡克定律原理与测量振动周期两种不同的实验方法下用逐差法、线性拟合法、最小二乘法三种不同的数据处理方法,做横向与纵向的比较分析,研究在不同的实验方法下用不同的数据处理方法所得到的误差何时可以最小。[1]
一、实验测量方法及实验数据处理方法原理
1. 实验测量方法
(1) 胡克定律法原理
胡克定律原理:弹簧在发生形变时,弹簧的弹力F和弹簧的形变量(伸长量或压缩量)△x成正比,即F= -k·△x。其中k是劲度(倔强)系数。 在此实验中,通过测量施加给弹簧的负载重量,以及相应的形变量,在多次实验下测量弹簧的劲度系数。[2]
方法:在铁架台上挂一空弹簧,利用“三线对齐”(即反光镜A上的水平刻线、玻璃管B的水平刻线和玻璃管水平刻线在反光镜C中的像重合)的方式记录此时的刻度x,然后每次增加一个砝码,记录一次它的刻度值。每次增加的砝码的质量是一样的,测量六次。
实验中使用的砝码和弹簧情况如下:砝码:共5只,空托盘的编号记为1,其余五次编号为2、3、4、5、6。
质量分别为0、40g、60g、80g、100g、120g。
(2)约利称法原理
设弹簧的劲度系数为k,悬挂的负载的质量为m, 為弹簧自身的质量,弹簧的振动周期的公式为 ,
2. 实验数据处理方法
(1)逐差法原理
由于随机误差具有抵偿性,多次测量求平值可以减少这种误差,但是,当自变量与因变量成线性关系时,对于自变量等间距变化的多次测量,会使中间测量的数据由于两两抵消,而失去求平均值的意义。为了弥补这种缺憾,可以将测量得到的数据按自变量的大小顺序排列后平分为前后两组, 先求出两组中对应项的差值,后取平均。[3]
设已知x , y 为线性关系: y= bx+a, 其中a , b 为待定常数,测量n组x、y的值,取偶数n =n,或n =n-1,将n 组数据分成两半,分别求
以上过程讨论的要求是:
①测量值 的误差对a、b的影响,远小于 的误差影响;
②原则上要求因变量 的误差互不相关且分布特征大致相同,如标准偏差 大致相同。[5]
二、实验数据及处理
三、计算结果的比较分析
1.相同方法测量实验中,不同数据处理方法所得结果的比较分析
(1)胡克定律法:用逐差法,线性拟合法,最小二乘法所得结果分析
在此实验测量方法下,由 得,截距越接近零值,测量结果是越准确的,用逐差法、线性拟合法、最小二乘法分别得到的截距 ①, , ,并且从后两种方法的相关系数 1,以及最小二乘法在只能保留小数点后四位的程度下 ,均可得出逐差法相对而言是误差较大的一种方法,比较截距可以得出线性拟合法是这三种方法当中较为准确的一种方法。
(2)约利称法:用逐差法,线性拟合法,最小二乘法所得结果分析
在此实验测量方法下,由 得,在线性拟合法与最小二乘法的计算情况下,所得的相关系数分别为:
1, ,可得出最小二乘法的相关系数更接近1,但相差不大( )。
2.不同方法测量实验中,相同数据处理方法所得结果的比较分析
(1)线性拟合法:胡克定律法与约利称法所得结果的比较分析
胡克定律和约利称方法测量下的到的相关系数分别是:
。
标准偏差分别是:
, 比 更接近1, 比 更接近0,由此可以看出胡克定律的测量方法所得结果更接近真实值。
(2)最小二乘法:胡克定律法与约利称法所得结果的比较分析
胡克定律方法测量下得到的相关系数分别是:
y和k的标准偏差分别是:
, ,从二者比较可以看出胡克定律的测量方法所得结果更接近真实值,误差较小。
结语
1.在胡克定律法测量实验中,线性拟合法是误差最小,测量结果最接近真实值的;逐差法的误差是相对线性拟合法和最小二乘法误差较大的一种处理数据的方法。在逐差法中,根据结果分析,约利称法比利用胡克定律原理测量得到的值更准确。在手写计算时,逐差法是相对简单、快速的方法,但在有计算机处理数据的时代,它的优点就没有那么突出.
2.在约利称的实验方法下,最小二乘法比线性拟合法更接近真实值,但相关系数相差不大。
3.在1和2结论的基础上,并不能说明线性拟合法和最小二乘法哪一种方法更好,还要考虑到实验用的具体测量方法,因此在选择测量方法时,要根据具体的实验原理,选择合适的数据处理方法,才能尽可能让误差最小。在本次研究中,在胡克定律的原理下用线性拟合法误差较小,在约利称法的实验中,用最小二乘法误差较小。
4.从横向进行比较,即在相同的数据处理方法下,利用胡克定律原理下线性拟合的处理方法最为准确。胡克定律法比约利称法更接近真实值。
原因分析:约利称法测量过程中,误差相对较大。误差主要体现在秒表测周期时的读数误差、弹簧初始位置的不一致以及弹簧作简谐振动时与镜面的摩擦、负载较大时上下振动时略偏离竖直方向等造成的。而在利用胡克定律的实验中,读数时弹簧是静止的,干扰因素较少,因此相比较而言,误差较小,劲度系数更接近真实值。
5.综上,最接近弹簧劲度系数的真实值的是k=7.9242N/m.
附录
①文中出现的任意字母的下标含义: 中当 时表示在第一种胡克定律或第二种约利称的测量方法下,当 时,分别表示在第一种逐差法测量方法下,第二种线性拟合法的测量下,以及第三种最小二乘法的测量方法下。例如: 表示的含义是在利用胡克定律的测量中,用线性拟合法测得的相关系数。
参考文献
[1]杨述武,赵立竹,沈国土主编.普通物理实验1力学、热学部分.4版.高等教育出版社,2007.12
[2]邹乐强.最小二乘法原理及其简单应用.科技信息.职校论坛.2010年第23期
[3]吕大韵.逐差法处理实验数据的讨论.武汉交通科技大学基础课部.物理通报.1999年第10期
[4]焦丽凤,陆申龙,曹正东.用集成开关型霍尔传感器测定弹簧的劲度系数.物理实验(第20卷 第11期)
[5]轩植华.回归法与作图法求解实验方程之比较.科技大学与应用物理系.2000.20(20)