基于中心复合设计的RSM边坡可靠度研究

孙开畅，尹志伟，李 权

(三峡大学水利与环境学院，湖北宜昌443002)

0 引 言

边坡稳定是岩土工程研究的重点内容。边坡稳定性分析一般采用安全系数作为评价指标，传统安全系数法未能考虑对坡体稳定有影响的因素的不确定性[1- 2]，如岩土体参数本身的变异性、计算模型及滑动面的确定是否合理、勘探取样和试验方法造成的误差等，得到的结果可能与实际情况存在偏差[3- 4]，不能真实反映边坡安全程度。基于概率统计理论的可靠度分析[5- 6]将边坡稳定性影响因素(岩土特性参数、渗透系数、地震荷载、结构荷载等)视为随机变量，能有效地考虑边坡系统内部实际存在的不确定性和相关性。边坡可靠度分析计算方法主要有Monte Carlo(MC)法、一次二阶矩法、随机有限元法(Stochastic Finite Element Method，SFEM)、响应面法(Reponse Surface Method，RSM)等。桂勇、罗文强[7- 8]提出建立安全系数与可靠性相耦合的二元评价体系。吴振君[9]介绍了一种优化算法。MC法受问题限制小，得到的结果相对准确，但计算量大，需要样本数巨大，收敛速度较慢。RSM是一种高效的边坡可靠度计算方法，迭代效率受响应面函数的形状和试验点的选取的影响较大。

本文基于RSM的基本思想，在响应面函数形状上采用不含交叉项的二次多项式，在试验样本点的选取上对比了拉丁超立方抽样(LHS)和中心复合设计(CCD)这2种试验设计，边坡不确定性上主要考虑土体强度参数c、φ的不确定性，同时考虑边坡稳定计算模型的不确定性，编写了相应的可靠求解的Matlab程序，与MC基准解对比，并在托巴110 kV施工变电站边坡工程中进行了验算。

1 边坡稳定和响应面

1.1 边坡稳定性分析方法

3种稳定模型(Bishop、Spencer、Morgenstern-Price)安全系数Fs的求解理论见参考文献[1]。由边坡稳定安全系数建立边坡功能函数Z=Fs-1，Z<0表示边坡失效，Z>0表示边坡稳定，Z=0表示边坡处于极限状态。Fs、Z均属于非线性的隐式函数，采用传统方法无法直接计算其可靠度。

1.2 RSM函数

RSM是统计学的综合试验技术，用于处理复杂系统的输入(基本变量)和输出(系统响应)之间的转换关系。是用近似的功能函数来代替真实的功能函数。为兼顾效率与精度，研究认为[10- 11]，响应面函数表达式采用二次多项式比较合适。对比二次多项式中带交叉项的和不带交叉项的，二者的精度有一些差异但很小。因此，在一般情况下，响应面函数采用不带交叉项的二次多项式，既有灵活性，又满足计算精度要求。

(1)

式中，λ0，λi，λii(i=1，2，…，n)为待定系数，总计2n+1个。

1.3 可靠度求解流程

由RSM得到边坡的近似功能函数后，还需结合一定的可靠度分析方法。本文采用可靠度计算的一次二阶矩法，计算流程见图1。借助Matlab强大的数学功能以提高迭代求解效率，编写相应程序得到可靠指标和验算点。

图1 可靠度计算流程

2 试验设计

2.1 拉丁超立方抽样(LHS)

LHS是由McKay等于1980年专门为仿真试验提出的一种试验设计类型，是一种使输入组合相对均匀地填满整个试验区间的设计，每个试验变量使用水平只使用1次。与均匀、正交试验设计相比，LHS抽样对均值和方差的估计在效果上有显著改善[12]。

2.2 中心复合设计(CCD)

CCD具有序贯、高效、灵活的特点[13]。在二水平因子设计点的基础上，通过增加轴向点和中心点来完善响应面的模拟。在2个标准正态分布自变量下，中心复合设计取样点包括二水平因子点(1，1)、(1，-1)、(-1，1)、(-1，-1)以及中心点(0，0)和轴向点(0，α)、(0，-α)、(α，0)、(-α，0)(见图2)。对于含有q个自变量的q维向量空间，使用二水平因子设计点+中心点+轴向点时，取样点数量为2q+2q+1个。

图2 CCD样本点

取样点数量和轴向点到设计中心点距离α是CCD试验设计的2个重要参数。考虑到二次响应面法仅在中心点附近具有较好的近似，试验点应位于自变量附近。轴向点反映了模拟区域大小，中心复合设计的沿Xi轴的轴向取样点应为xi=μXi±ασXi，其中，μXi、σXi分别表示自变量均值和标准差。α的取值取决于设计要求和包含因素的数量，若α的取值太大，在真实设计点附近的局部精度可能得不到满足；若取太小，在真实设计点附近的大范围近似程度得不到满足。一般|α|>1。α的取值可采用α=2q/4计算[14]。其中，q为自变量个数。

3 算例分析

3.1 基本二层土坡可靠度分析

非均质二层土坡剖面几何形状见图3。各土层的粘聚力c及内摩擦角φ均为相互独立的正态随机变量，上、下2层土的重度均为19 kN/m3，不考虑其变异性。土体强度参数及统计特性见表1。

图3 非均质二层土坡剖面(单位：m)

表1 土体强度参数及统计特征

首先，采用LHS和CCD分别获取15组初始样本，借助岩土极限平衡Slide程序获取Bishop、Spencer、Morgenstern-Price等3种稳定模型的样本功能函数，得出样本及对应功能函数的响应值，见表2，3。根据响应面函数，构建边坡功能函数显式表达式，编写相应的Matlab程序。

以MC 106次直接模拟的计算结果2.20作为近似精确解，可靠度计算结果与MC法对比见表4。从表4可知，Bishop、Spencer、Morgenstern-Price这3种稳定分析模型下，相对于LHS，CCD求解得到的可靠度指标更为接近MC基准解。以Morgenstern-Price稳定模型为例，LHS求解得到的可靠指标为2.021 8，相对误差为8.1%，CCD求解得到的可靠指标为2.181 9，相对误差仅为0.82%。分析原因，LHS和CCD验算点相近，但CCD更接近真实验算点。

表2 LHS的15组样本及功能函数

表3 CCD的15组样本及功能函数

3.2 托巴边坡可靠度分析

托巴110 kV施工变电站边坡位于云南迪庆州维西县澜沧江托巴水电站左岸，起止桩号为K1+385～K1+480，高程1 748 m。边坡地层岩性主要由块石、碎石及粉质粘土组成，片理产状N30°～45°W，NE∠72°～85°。边坡实际断面见图4。

表4 可靠度计算结果对比

图4 边坡实际断面

边坡共2阶。上土层坡度1∶1，坡高20 m，土体重度γ1=21 kN/m3；下层坡度1∶1.25，坡高25 m，土体重度γ2=23.5 kN/m3。对试验原始数据采用适用于小样本数据的K-S检验法进行假设验证[15]，确定参数变量的分布类型，克服传统意义上人为假设其分布的误差。土层物理力学参数见表5。边坡地质坡面典型断面模型均值状态下Slope/W稳定性计算结果为1.38。LHS和CCD分别得到的初始样本数据及其相应的功能函数值见表6、7。依据响应面思想，采用编写的Matlab程序求解可靠指标，以MC 106次直接模拟的计算结果2.075作为近似精确解，不同方法计算结果对比见表8。

表5 土层物理力学参数

从表8可知，3种稳定分析模型下，CCD都较LHS可靠度指标计算结果更为接近MC基准解。以Morgenstern-Price稳定模型为例，LHS求解得到的可靠指标为1.88，相对误差为9.32%，CCD求解得到的可靠指标为1.963 8，相对误差仅为5.36%。对托巴110 kV施工变电站边坡，采用RSM的2种不同试验设计的结果均满足精度要求。相对传统的MC法，CCD更为精确，可大大提高计算效率，更加满足工程需求。

表6 LHS的30组样本及功能函数值

4 结 语

本文基于RSM的思想，在响应面函数形状上采用不含交叉项的二次多项式，兼顾效率与精度，样本数据选取LHS与CCD这2种试验设计。与MC基准解相比，Bishop、Spencer、Morgenstern-Price等3种稳定模型下，CCD可靠指标计算结果都较LHS更为准确，排除了稳定分析模型的影响。需要指出，本文边坡稳定分析模型仅考虑了物理力学参数c、φ的不确定性，对复杂边坡体稳定性分析，还需全面考虑边坡稳定性控制的相关因素，构建更为准确的数学模型。

表7 CCD的25组样本及功能函数值

表8 可靠度计算结果对比