变权TOPSIS评价的导弹总体参数粒子群优化设计方法*

周 伟，罗建军，强洪夫，谢 飞

(1.西北工业大学 航天学院，航天飞行动力学技术重点实验室，西安 710072；2.火箭军工程大学，西安 710025)

0 引言

弹武器总体设计是一项复杂的系统工程，它具有多学科融合、多因素耦合、多变量联合的突出特征，特别是在总体设计的初期——概念设计阶段，由于缺少背景型号作参考，其设计过程更加难于把握，往往带有一定的经验性和不确定性。

导弹总体参数是反映导弹武器设计先进性的重要指标，对导弹工程研制与装备使用均具有十分重要的作用。因此，各国对导弹总体参数的设计和选择都给予了高度重视。目前，导弹总体参数设计选择主要采用两种方法，即解析的方法[1-2]和基于优化设计的方法[3-4]。解析的方法以经验或半经验估算设计参数为基础，依据对各参数变化的敏感性分析来修正设计参数，逐次逼近以求得一组比较理想的设计参数集。该方法的主要优点是物理概念清晰，但设计过程繁琐，精度较差。基于优化设计的方法实质是基于优化理论，利用计算机对满足约束条件的一定数量设计方案进行快速自动寻优，最后优选出满足条件的最优方案，即一组最优的总体设计参数。该方法的优点是计算精度较高，可借助计算机大大缩短研制周期，但优化模型的建立，特别是优化目标的选取原则，很大程度上决定了优选解的可行性和合理性。陈江宁[5]采用GA(Genetic Algorithm)与Powell混合算法以液体火箭发动机推进弹道式导弹的起飞质量最小为目标，对液体推进剂弹道式导弹设计参数进行了优化设计；刘欣[6]利用Gauss伪谱法对全弹道进行优化设计，并以射程最大为优化目标，分析了起飞质量、主动段终端倾角等参数对导弹射程的影响。此类研究都属于以某一战术技术指标为优化目标的单一目标优化问题。导弹总体设计中起飞质量、有效载荷、射程、推力等指标参数的综合是一个典型的多属性目标优化问题。随着导弹总体设计复杂程度的逐渐提高，近年来发展的多学科设计优化方法应用于导弹总体参数的优化设计中。陈琪锋[7]提出一种合作协同进化的MDO(多学科优化)算法，并将该算法应用于导弹总体参数优化设计中，以导弹起飞质量最小为目标，得到了满足多学科约束条件的导弹气动-发动机-控制参数；张菲[8]建立了集气动、推进、弹道学科的导弹多学科分析模型，通过集成各自的参数化程序模块，得到以射程为优化目标并满足相关约束的导弹总体参数最优方案。上述文献使用MDO方法虽然考虑了多门学科间的互动关联，但由于涉及学科门类多，各学科模型建立和求解复杂，在导弹概念设计阶段往往难于使用从而导致操作性和应用性不强。

为解决传统的单目标优化方法难以满足导弹总体多参数优化需求，而MDO方法因模型复杂难于在导弹概念设计阶段使用的问题。本文在粒子群优化方法的基础上，针对导弹总体参数多指标、多属性的特点，引入系统综合评价TOPSIS方法[9]，提出了基于变权TOPSIS和粒子群算法融合的导弹总体参数多属性综合优化设计方法，用于某型弹道导弹的总体方案设计论证。

1 弹道导弹总体参数

弹道导弹总体参数是指能够确定导弹飞行弹道主要特征和结构基本特征的一些主要参数。总体参数设计就是指导弹的主要总体参数的设计与选择。典型的弹道导弹总体设计参数一般包括如下8项：

(1)导弹起飞质量m0

导弹起飞质量m0即导弹起飞前竖立在发射台上时的总质量。虽然导弹起飞质量不直接影响飞行速度，但是它与导弹结构参数密切相关，也是确定导弹基本特征的重要参数。

(2)结构比μk

μk为导弹推进剂全部燃烧完后剩余的结构质量mk与起飞质量m0之比，即

μk=mk/m0

(1)

可见，在相同的起飞质量下，μk越小，意味着导弹结构质量越小，相应的可携带的推进剂就越多，导弹的结构也更优越。因此，μk是衡量导弹结构优劣的主要参数之一。

(3)地面重推比N0

N0为导弹起飞重量与火箭发动机地面额定推力之比，即

N0=m0g0/F0

(2)

N0越小表示导弹的加速性能越好，达到一定飞行速度的时间越短，从而使引力造成的速度损失减小。但N0不宜太小，因为加速度太大，将会要求导弹及其弹载仪器设备需具有更高的结构强度，这必将使导弹的结构重量增加。

(4)地面比冲Isp.o

(3)

地面比冲反映了火箭推进剂地面质量秒消耗量所产生的地面推力，是衡量火箭发动机性能的重要指标之一。在地面推力一定时，Isp.o越大，则表示单位时间所消耗的推进剂重量越少。比冲主要取决于发动机所使用的推进剂以及发动机工作情况。

(5)发动机高空特性系数a

火箭发动机真空比冲与地面比冲之比，即

a=Isp.v/Isp.o

(4)

发动机高空特性系数反映了火箭发动机高空工作性能的高低，通常其变化范围较小，为1.10～1.15之间[3,10]。

(6)起飞截面负荷Pm

为导弹起飞重量与其最大横截面积之比，即

Pm=m0g0/SM

(5)

导弹起飞重量一定时，SM越小，则Pm越大，导弹就越细长。所以，Pm直接与导弹的长细比有关，而导弹的长细比直接影响导弹的空气动力，故Pm也称为空气动力特性参数。

(7)理想时间参数T

将导弹起飞质量视为全部为推进剂情况下，按照质量秒消耗量燃烧完所有质量所需的时间，即

(6)

T为理想时间，不是独立参数，可用地面比冲Isp.o、地面重推比N0来表示：

T=N0·Isp.v

(7)

(8)导弹射程L

弹道导弹的射程取决于导弹关机点所获得的末速度，因此根据导弹全射程公式可得到如下关系：

(8)

其中，K为射程修正系数，通常选择1.04～1.07；Vk为导弹关机点飞行速度，可以用理想速度及引力、阻力和大气静压引起的速度损失来表示，即

(9)

考虑到：

(10)

其中，T为理想时间，可用地面比冲Isp.o、地面重推比N0来表示：T=N0·Isp.v。

则有：

dt=-Tdμ

(11)

因此，引力、阻力和大气静压引起的速度损失通过上述置换变量后，可推导得[10-11]：

(12)

(13)

(14)

式中Pm为导弹起飞重量与其最大横截面积之比，Pm=m0g0/SM；a为发动机高空特性系数，火箭发动机真空比冲与地面比冲之比，a=Isp.vIsp.o。

计算ΔVg时，θ(μ)与导弹的飞行程序有关，在概念设计阶段常采用一类二次曲线函数来过渡连接弹道垂直段终点和瞄准段起点，计算中函数取值如下：

(15)

综上所述，导弹总体设计参数分别为导弹起飞质量m0、结构比μk、地面重推比N0、地面比冲Isp.o、发动机高空特性系数a、起飞截面载荷Pm、理想时间参数T、导弹全射程L。

2 TOPSIS多属性粒子群优化方法

2.1 粒子群优化算法

粒子群优化算法(Particle Swarm Optimization，PSO)是一种群体智能优化计算技术，算法基于迭代随机搜索优化机制，具有概念简单、便于实现、参数较少和无需梯度信息等优点，一经提出就得到了众多学者的普遍关注，目前在图像处理、信息挖掘、模式识别、路径优化以及人工智能等领域得到广泛应用[12,13]。

pij(t+1)=pij(t)+vij(t+1)

(16)

式中i=1,2,…,n;j=1,2,…,d;t为粒子群进化代数；c1和c2为正的学习因子；r1和r2为0～1之间均匀分布的随机数。

为了平衡粒子群算法的全局探索能力和局部开发能力，采用动态缩减惯性权重系数表达如式：

(17)

式中ωmax、ωmin分别为ω的最大值和最小值；t为当前迭代步数；tmax为最大迭代步数。

2.2 变权TOPSIS评价方法

变权TOPSIS评价方法的核心思想是：原始数据矩阵归一化，考虑到原始方法中评价方案的常权系数在很多决策情况下会出现不合理现象[14,15]。因此基于信息熵概念计算获得方案评价指标的常权系数[9]，构造状态变权向量，获得加权决策矩阵，对归一化后的加权矩阵确定理想的最佳和最差方案，然后求出被评方案与最佳和最差方案之间的距离，最终通过计算欧氏距离得出被评方案与最佳方案的接近程度，并根据求出的结果作为评价各方案优劣的依据。具体计算步骤如下[16]：

Step 1：形成决策矩阵

若参与评价的多指标决策问题的方案集为M=(M1,…Mj,…,Mn)，指标集为D=(D1,…Dj,…,Dd)，则决策矩阵X为

(18)

Step 2：无量纲化决策矩阵

为了消除各指标量纲不同对方案决策带来的影响，构建无量纲化标准矩阵V=(vij)nxd：

对于越大越优型指标：

(19)

对于越小越优型指标：

(20)

式(19)、式(20)中max(xj)、min(xj)分别为第j个指标的最大值和最小值。

Step 3：构建加权决策矩阵

将各指标变权重W与无量纲化矩阵V，Hadamard乘积，得到加权决策矩阵R=(rij)nxd：

rij=Wij·vij(i=1,2,…,n;j=1,2,…,d)

(21)

式(13)中，Wij为各指标的变权重值，可通过构造如式(22)的函数获得：

(22)

式中i=1,2,…,n；j=1,2,…,d；wj为方案优选第j项指标的常权系数，具体计算过程可参考文献[8]。

Step 4：计算正理想解与负理想解

(23)

(24)

Step 5：计算各方案与正理想解、负理想解间的距离

在计算时，采用欧式距离表示距正、负理想解间的距离：

(25)

(26)

Step 6：计算各方案与正理想解的相对贴近度

各方案与正理想解的相对贴近度ηi表示为

(27)

ηi越大，决策方案Mi越接近正理想解，方案越优[9]。

2.3 多属性综合评价优化方法

将粒子群方法与TOPSIS综合评价有机结合起来，随机初始化粒子位置x=(xi1,xi2,…,xid)和速度v=(vi1,vi2,…,vid)，以每一粒子位置模拟一组导弹总体设计可行方案Mj，粒子维度d代表了不同属性参数，粒子群则表征了某时刻导弹总体设计可行方案的集合M=(M1,…Mj,…,Mm)。根据导弹总体参数模型分别计算各方案的 个指标值，进而形成决策矩阵X。

pij(t+1)=pij(t)+vij(t+1)

(28)

式中i=1,2,…,n；j=1,2,…,d；t为粒子群进化代数；ω为惯性权重；c1和c2为正的学习因子；r1和r2为0～1之间均匀分布的随机数。

以更新后的粒子值模拟新的导弹总体设计方案集合，再次运用TOPSIS方法综合评价各方案，依次迭代直到满足迭代次数要求或达到计算精度停止优化。得到的全局最优数值解即为一组满足设计要求的导弹总体参数。具体计算流程如图1所示。

因此，多属性综合评价优化方法的优化模型表达为

(29)

图1 TOPSIS综合评价粒子群优化算法流程图Fig.1 Flow chart of TOPSIS comprehensive evaluation particle swarm optimization algorithm

3 优化设计实例

3.1 参数与需求

以某型单级固体弹道导弹总体设计为例，给定设计变量及其取值如表1所示。

在设计空间，根据前述参数理论分析结果，确定优化导弹设计参数及选择属性满足表2要求。

表1 设计变量及取值范围Table1 Design variables and range of values

注：1)有效载荷质量(即弹头总质量)既包括战斗部质量也包括弹头结构质量；2)表示该物理量为无量纲系数。

为了更好地对比本文算法的综合评价优化设计效果，引入导弹总体设计参数传统单目标优化方法作为比照算法进行对比分析。传统总体参数优化往往选择射程为单一优化目标，其数学模型如下所示[3]：

(30)

式中L为导弹的射程，其余参数与上文所述一致。

表2 参数属性及优化目标Table2 Parameter attributes and optimization goals

3.2 总体参数优化

按照粒子群优化算法要求，设定粒子种群规模为psize=40，进化代数为N=40次，计算维度为总体设计参数(属性)个数即d=8，选取学习因子c1=2，c2=2，ωmax=0.9，ωmin=0.6。

由信息熵计算所得各级指标的常权重以及指标指示如表3所示。其中，F为指标指示，ω为各指标常权重，↑为该指标为越大越优型，↓为越小越优型。

表3 指标的常权重及指标指示Table3 Indicator's weight and indicator

算法在MATLAB2013b(64-bit)数值计算软件中实现，运行环境为Win7双核，4 GB内存，3.0 GHz CPU。依次计算TOPSIS综合评价步骤Step2～Step6，采用欧氏距离计算各方案与正理想解的相对贴近度。根据各方案相对贴近度作为优化目标，采用式(20)迭代计算粒子群速度、位置更新值，直至粒子群优化算法终止，图2为两种方法经过归一化后的计算收敛过程，所达到的全局最优解即为所求的导弹总体参数最优设计。

将计算结果汇总于表4，其中前8项为总体设计参数优化计算结果。

4 结果分析

从图2所示的算法收敛性上分析，在相同条件下，本文算法较比照算法具有较好的收敛性。本文算法虽然较比照算法计算时间长约5.25%(见表4)，但算法收敛速度相对较快，第7次迭代就已接近算法最优值，第29次则达到算法近似最优值。比照算法则收敛性较慢，直到40次迭代才接近算法最优水平(偏差21.5%)，只有增大优化迭代次数才能使算法收敛到允许误差精度。

图2 计算收敛过程Fig.2 Convergence process of Calculation

注：1)该项为无量纲系数；(+)为本文算法结果大于比照算法结果;(-)为本文算法结果小于比照算法结果。

由表4的计算结果分析可知，比照算法结果虽然较本文算法结果在射程、起飞重量、理想时间参数以及计算耗时等指标方面略有优势(最大比差11.75%)，但在结构比、有效载荷质量、结构质量等关键指标上却远落后于本文算法(最小比差23.93%)。本文算法与比照算法在其它参数如地面比冲、起飞截面载荷、发动机高空特性系数、重推比上基本相当，且较之更优。

从运载能力方面分析，本文算法虽未降低起飞质量，但在推进剂质量变化不大(增加0.036%)的前提下，大幅提高了比照算法中有效载荷质量(载荷比由0.06～0.095)，说明运载器在未降低系统总体需求的前提下的运载能力确实提高了。此外，导弹级的结构质量降低了236.401 kg，降低的结构质量成为增加的推进剂质量(有效质量)，从而一定程度提高了动力系统能力和运载能力。

为量化对比本文算法结果与比照算法的优劣，将各指标比差绘制直方图，如图3所示。从算法原理上分析，比照算法只有单一优化目标，即射程最大。为保证射程最大，比照算法在自变量约束条件下并不考虑诸相关参数的变化和影响。因此，得到的方案射程指标较大，但该方案明显减小了有效载荷质量，增大了结构质量，降低了结构比，从而使导弹总体效能大幅降低。本文算法则通过TOPSIS综合评价方法，同时寻求多个总体设计参数(本文为8个)逼近最优解的优化设计方案，突出了系统综合最优理念。因此，在总体参数设计与方案选择上较传统比照算法更优更全面，这点从两种算法结果绘制的雷达图(图4)上可对比看出。

图4 算例雷达图Fig.4 Radar Chart of example

5 结论

(1)本文所提出的基于变权TOPSIS和粒子群算法融合的导弹总体参数多属性综合优化设计方法成功用于某型弹道导弹总体方案设计论证中，具备处理多参数、多属性综合寻优的计算能力。该方法物理意义清晰明确，使用简单，易于编程实现，结果具较高的置信度。

(2)方法采用了基于信息熵变权综合的权重分析方法，科学确定指标权重分布及权值，较好地解决了指标权重W对评价结果有较大影响的问题。

(3)计算结果合理可信，且具有较好的收敛性，计算量与单一目标优化比照算法相当，算法效率则明显较高。

(4)该方法为航天领域广泛涉及的多方案、多指标、多层次复杂问题快速优选、排序和决策也提供了一种新的思路和方法。