常微分方程支配的最优控制问题的二阶必要条件

喻罗娇 彭云飞

摘 要：本文引进算子微分方程，得到不依赖于状态关于控制的变分的一类最优控制问题的二阶必要条件。该结果有助于揭示最优控制问题与变分问题、甚至函数极值问题的本质异同，也有助于寻求最优控制的计算方法和最优控制的设计。

关键词：最优控制问题；算子方程；二阶必要条件

中图分类号：O232

文献标识码： A

1948年N.Wiener出版的《控制论——关于在动物和机器中控制和通讯的科学》，标志着控制论诞生。最优控制理论是控制论中的核心内容之一，而最优控制论的核心是最优控制的必要条件，必要条件本质是不变量。

最优控制问题是条件泛函极值问题，是函数极值问题、变分问题的推广。关于函数极值问题，其经典结果是函数f的极值点x-满足Euler方程。后来，Euler和Lagrange得到了变分的一阶必要条件，即Euler-Lagrange方程[1]。这实质上给出了极值点的一阶不变量。关于最优控制问题，Pontryagin引进伴随方程，获得了最优控制的一阶必要条件，即Pontryagin极大值原理[2]，本质上获得了最优控制的一阶不变量。

为了寻求极值点的充分条件及其极值点的计算，人们研究二阶必要条件。一方面函数f极小值点的二阶必要条件是相应的Hesse矩阵半正定，另一方面，满足Hesse矩阵正定的稳定点（或驻点）必是f的极小值点。对于变分问题，也有类似结果。由此，Hesse矩阵半正定是极小值点的二阶不变量，它刻画了极值点的本质特征。一个自然的问题是：如何刻画最优控制问题的二阶不变量？这是本文的研究动机。

1 主要结果

本文主要目标是讨论线性常微分方程支配的最优控制问题的二阶不变量。首先陈述问题：受控系统为如下线性常微分方程

该结果的形式类似于Pontryagin极大值原理，与其不相同的是：Pontryagin极大值原理中引进向量值函数方程消掉状态关于控制的变分，而本文通过引进算子微分方程来消掉状态关于控制的变分。该结果也从二阶必要条件的角度揭示了最优控制问题与变分问题、函数极值问题的本质差异。

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（責任编辑：曾 晶）