基于Garrote阈值法去噪的改进研究

刘春 安源 李欣

摘 要：针对传统Garrote阈值函数采用固定阈值收缩高频细节系数，并对高频细节系数进一步收缩方面缺乏统一有效手段的问题，本文提出了一种基于传统Garrote阈值法的改进去噪方法。该改进方法既能兼顾各尺度下的不同阈值，又能进一步收缩高频细节系数，并且易于实现、计算简单。在高斯白噪声去噪方面，去噪后的图像在均方差（MSE）和峰值信噪比（PSNR）上，均优于传统Garrote阈值法。

关键词：小波阈值去噪；阈值函数；均方差；峰值信噪比

中图分类号：TP751.1 文献标识码：A 文章编号：2096-4706（2018）04-0001-05

Abstract：Against the traditional Garrote threshold function which used fixed threshold to shrink high frequency detail coefficients，and which had the problem which lacked unified and effective method to shrink high frequency detail coefficients further，this paper proposed an improved de-nosing method based on traditional Garrote threshold method. This improved method can take into account the different thresholds at different scales，and can shrink high frequency detail coefficients further.And this method implemented easily，calculated simply. For the Gaussian white noise de-noising，the de-nosing image which used this paper’s method exceeded the traditional Garrote threshold at the in mean square（MSE）and peak signal to noise ratio（PSNR）.

Keywords：wavelet threshold de-nosing；hreshold function；mean square error；peak signal

0 引 言

受圖像采集设备本身和传输过程中的干扰因素影响，获取的数字图像往往存在噪声。为了尽量降低噪声，获取较好的图像边缘特征信息，需要进行图像去噪处理。基于Donoho[1，2，3]硬、软阈值思想的小波阈值收缩法，它具有易于实现且计算量小等优点，是目前数字图像去噪处理研究中应用最为广泛的去噪方法。本文选取目前较为主流的几种去噪处理方法进行研究，并归纳其各自的优缺点。其中，Donoho硬阈值法的优点是去噪后的图像能较好地保留边缘特征信息，缺点是重构图像时，在间断点处易产生振荡、Pseudo-Gibbs[4]效应等视觉失真。Donoho软阈值法的优点是去噪后图像较为平滑，缺点是估算的高频系数与原始高频系数存在恒定误差，去噪后图像边缘特征信息模糊。软、硬折衷阈值法[5]的优点是能有效解决软阈值法存在的恒定偏差问题，缺点是阈值函数不连续，需估计两个阈值，计算量大，实现较困难。半阈值法[6]的优点是能较好地兼顾硬软阈值法优点，缺点是阈值函数不连续，需估计两个阈值，计算量大，实现较困难。Garrote阈值法[7]的优点是能较好地兼顾硬软阈值法优点，缺点是忽略了噪声在小波变换下随着尺度的增大而减小的特性。

1 小波阈值去噪原理

小波阈值去噪的基本原理通常是对数字图像进行多尺度小波变换，将得到的各尺度的细节系数划分成低频细节系数和高频细节系数。通常使低频细节系数保持不变，选取合适的阈值对高频细节系数进行过滤处理，使高频细节系数收缩，再经过小波重构得到去噪后的图像。一般需要3～4次小波变换和重构才能将绝大部分噪声去除。

2 Garrote阈值法

2.1 阈值函数

Garrote阈值函数如公式（1）所示。

Wi，j表示小波变换得到的细节系数，表示估计细节系数。Garrote阈值法在时，对每个高频细节系数减去来收缩。这样能较好地考虑到每个高频细节系数的特征，在保持图像平滑的同时，也能较好地保留边缘特征信息。

2.2 噪声估计

Garrote阈值法采用传统的对图像噪声的固定估计法，即噪声的标准方差为σ=MAD/0.6745[8]。用此公式来估算所有尺度下的σ，其中MAD表示一尺度上的小波系数的中值的绝对值。

2.3 阈值选取

Garrote阈值法在选取阈值时，采用来估计所有尺度下的阈值。N为图像的大小，σ为噪声的标准方差。

2.4 存在的主要问题

2.4.1 对噪声估计不灵活

Garrote阈值法通常采用σ=MAD/0.6745来估计所有尺度下的噪声标准方差。这样做虽然减少了计算量，但忽略了各尺度小波系数中值模的不同而引起的噪声标准方差的差异。使得各尺度下噪声标准方差不能被客观地估计，造成估计得到的噪声标准方差存在较大误差。

2.4.2 阈值选取固定

Garrote阈值法选取阈值采用。使得选取的阈值λ用一尺度代替了其他尺度的阈值，忽略了各尺度下不同阈值的差异性，造成收缩高频细节系数时产生较大的误差。

2.4.3 缺少对高频细节系数进一步有效收缩的统一计算方法

Garrote阈值法在对的高频细节系数收缩时，使用来收缩。λ为采用一尺度的阈值，而非各尺度实际客观的阈值，因此在各尺度去噪方面存在较大误差。目前在对的Wi，j进一步收缩方面缺乏统一有效的方法。

3 本文提出的改进方法

3.1 阈值函数选取思想

在充分研究Garrote阈值法优缺点及存在问题的基础上，本文采用双曲线逼近硬阈值曲线，并运用调节因子的思想进一步收缩高频细节系数。采用如图1所示的思想。

令图1中的为2a，[-λ，λ]为2b，轴x表示每尺度小波变换后的细节系数，轴表示每个高频细节系数的初步阈值。每尺度高频细节系数进一步收缩时，其收缩量可先用公式（2）所示双曲线表示：

其中：y表示每尺度高频细节系数的初步收缩量，Wi，j 表示每尺度小波变换后的细节系数，i，j表示每尺度小波变换后得到的相应的细节系数的坐标。，表示噪声主要集中的区域，[-λ，λ]表示每尺度小波变换后的统一阈值区间。对|y|再用调节因子来进一步收缩每个高频细节系数，即，其中，S表示小波变换的尺度，α表示调节因子（α≥1且α∈N+）。

3.2 阈值函数选取

3.2.1 阈值函数

本文對Garrote阈值法去噪改进后的阈值函数如下：

表示每尺度估计小波系数，Wi，j表示每尺度小波变换后的细节系数，i，j表示每尺度小波变换后得到的相应的细节系数的坐标。表示噪声在每尺度细节系数主要集中的区域，[-λ，λ]表示每尺度噪声的阈值区间。s为小波变换的尺度。u为调节因子，。n表示小波变换最终的尺度数。

为更好地考虑到λ2在每尺度小波变换系数Wi，j 的分布差异。本文采取如下改进：乘以来进一步收缩λ2在每尺度小波变换系数Wi，j的分布。加入尺度s和调节因子u，是为了更好地考虑每尺度小波变换中每个高频细节系数的局部差异，从而更好地收缩每尺度中每一个高频细节系数。

本文对每个高频细节系数进一步减去（即），进一步减少小波估计系数与原始信号之间的误差，争取达到进一步去噪的效果。

3.2.2 阈值函数的数学分析

以下对本文改进的阈值函数（公式（3））从数学角度进行分析：

（1）连续性

由上述推导可知，本文改进的阈值函数在±λ处连续。

（2）渐进性

（3）偏差性

（4）高阶可导性

当|Wi，j|≥λ时，改进的阈值函数是高阶可导的，利于后续的数学处理。

3.3 噪声估计

本文在对含高斯白噪声的图像估计小波域噪声时，采用的方法是把图像做Haar[9]小波变换，对每尺度处理得到的HH高频系数子带内的小波系数模按大小排列；然后取最中间那个系数模除以0.6745，就得到这一尺度变换时的估计噪声，即σ=|MAD|/0.6745[dJ-1]其中J≥1，J表示小波变换尺度。这样可以充分考虑到每尺度小波处理后得到系数的差异对噪声的影响，比传统方式更加灵活有效。

3.4 阈值选取

在整个小波变换去噪过程中，阈值的选取及处理策略是小波阈值消噪的关键[10]。本文中噪声选用高斯白噪声，均值μ为0，均方差σ为10。由于高斯白噪声服从正态分布，目前阈值选取时采用基于零均值正态分布的置信区间阈值[11，12]为λ=3σ，为每尺度估计得到的噪声标准方差。这样每尺度都选取阈值，可以较好的地解决传统Garrote阈值法采用统一尺度下的阈值代替其他尺度的阈值而带来的误差偏大问题。置信区间阈值假设零均值的正态分布能量落在[-3σ，3σ]之外的概率为0，所以一般认为绝对值大于3σ的系数是由信号产生的，而绝对值小3σ的系数是由噪声引起的。传统阈值选取时，存在阈值不随分解尺度变化而改变，造成估计的阈值与实际每尺度阈值存在偏差的问题。

根据噪声的小波系数随着尺度的增大而减小的特点和对图像去噪时逐层尺度的阈值选取也应该随着分解尺度的增加而减少的特点，本文提出一种新的阈值选取方法：

J表示图像小波变换尺度。此阈值选取方式充分考虑了每尺度的噪声标准方差σ和图像的小波变换尺度J对每尺度阈值的影响，同时使每尺度阈值随着变换尺度J的增加而减小，并将每尺度小波变换的细节系数用所在尺度的阈值进行处理，从而减少由于固定阈值而带来的偏差。

4 实验与结果分析

本文采用的实验图像来源于数字图像处理标准图像库。图像规格是lena图像，大小为512×512；camera图像，大小为256×256；peppers图像，大小为512×512。这三幅图像的图像格式都选用BMP。

本文中噪声选用高斯白噪声，均值μ为0，均方差σ为10。本文以下实验图像来自各自阈值法进行3层Haar小波变换及重构处理后的图像。其中本文的公式（3）阈值函数中： α取3。

4.1 局部截图对比

本文选取不同阈值法对图2到图4进行去噪，选取去噪后lena图像的局部截图为代表，如下所示。

由图5到图10的比对可以看出：图7的局部边缘特征较明显，但整幅图像存在异常亮点，使得整幅图像不平滑；图8整体较为平滑，但边缘特征信息较模糊，图像失真较严重；图9的视觉效果介于图7和图8之间，较好地融合了硬阈值和软阈值的优点，但图像局部仍有不平滑、边缘模糊的区域，仍有去噪改进的空间；图10为本文方法去噪后得到的图像，可以看到其效果是图7到图10中去噪效果最理想的；图10对图9中局部不平滑的区域在保持局部特征边缘信息不丢失的前提下，进一步去噪平滑，使其边缘特征和对比度更突出，并使其视觉效果更理想，可以看出图10的视觉效果明显优于图9。

4.2 实验结果分析

表1中的实验数据来自相应方法得到的图像，现在比较这些方法的均方误差（MSE）和峰值信噪比（PSNR）。MSE越小表示图像的质量越好；PSNR越大表示图像的质量越好。

由表1的实验数据对比分析可知：本文方法在均方误差方面数值是最小的，同时在峰值信噪比方面数值是最大的。通过实验数据可以证明本文对Garrote阈值法去噪有一定幅度地改进。通过实验数据可以证明本文提出的方法对于改进阈值函数的性能表现较好，在零均值高斯白噪声去噪方面是有效的和可靠的。

5 结 论

针对Garrote阈值法对图像噪声估计时采用固定法估计引起的噪声估计误差偏大和Garrote阈值法对高频细节系数收缩时的“过扼杀”问题，本文提出改进Garrote阈值法的去噪方法。通过对标准图像库的不同图像进行去噪的实验对比和实验数据分析，可以得出如下结论：

（1）本文方法较好地解决了Garrote阈值法对图像噪声采用固定法估计时的不灵活性及误差大的缺点，同时较好地解决了Garrote阈值法在对高频细节系数进一步收缩时无统一方法可遵循的难题；

（2）較好地融合了硬、软阈值法的优点，同时相比Garrote阈值法，具有较好的图像质量、图像平滑性和良好的视觉效果。

参考文献：

[1] David L. Donoho. Statistical estimation and optimal recovery [J]. The Annals of Statistics，1994，22：238-270.

[2] DONOHO DL. Asymptotic minimax risk for sup-norm loss：solution via optimal recovery [J]. Probability Theory and Related Fields，1994，99（2）：145-170.

[3] DONOHO DL. De-noising by soft-thresholding [J]. Information Theory，IEEE Transactions on，1995，41（3）：613-627.

[4] Ding Y，Selesnick I W. Artifact-free wavelet denoising：non-convex sparse regularization，convex optimization [J]. Signal Processing Letters，IEEE，2015，22（9）：1364-1368.

[5] 郭晓霞，杨慧中.小波去噪中软硬阈值的一种改良折衷法 [J].智能系统学报，2008（3）：222-225.

[6] 沙磊，任超.改进的Garrote阈值法去噪的研究 [J].工程勘察，2010，38（7）：57-60.

[7] Breiman Leo. Better subset regression using the nonnegative garrote [J]. Technometrics，1995，37（4）：373-384.

[8] DONOHO DL. Johm.tone IM. Ideal～patial adaptation via wavelet shnnkage. Biametnka，1994，81：425-455.

[9] MALLAT SG. A theory for multiresolution signal decomposition：the wavelet representation [J]. IEEE Trans Pattern Anal Mach Intell，1989，11（7）：674-693.

[10] 戚国宾，甘雨，隋立芬，等.利用小波阈值消噪改进M-W组合周跳探测性能 [J].测绘科学技术学报，2015，32（1）：22-26+31.

[11] 谢杰成，张大力，徐文立.小波图象去噪综述 [J].中国图象图形学报，2002，7（3）：209-217.

[12] 屈中阳，李鸿光.一种改进的集合平均经验模态分解去噪方法 [J].噪声与振动控制，2014，34（5）：171-176.

作者简介：刘春，教师，副教授。研究方向：数据库、图像处理；安源，讲师。研究方向：软件工程、图像处理；李欣，讲师。研究方向：软件工程、数据库。