深空通信中基于小波阈值算法的弱信号检测

◆任志宏 李 微 蒋 锴



深空通信中基于小波阈值算法的弱信号检测

◆任志宏 李 微 蒋 锴

（中国电子科技集团公司第二十八研究所 江苏 210007）

深空通信中，由于通信链路距离极远，造成接收端接收到的信号非常微弱、信噪比极低以至于接收端不能够完成信号的解调与译码。小波阈值法是一种能够被应用于在弱信号提取中的解决算法，后文中会给出小波阈值算法的详细步骤并且对估算信号与实际信号之间载噪比和相关性进行了仿真。另外，根据对采用了平移小波阈值变换法与未采用平移小波阈值变换法的仿真结果进行对比分析。根据分析结果本文得出最后结论：小波阈值算法能够有效提升信号的载噪比以及估算信号与实际信号之间的相关性，经过这种方法的弱信号检测处理，可以改善信号接收系统的工作性能；另外，基于平移变换的的小波阈值算法的性能优于未经过平移变换的小波阈值算法的性能。

深空通信；弱信号检测；小波阈值算法

0 引言

近几年，世界各国对航天探测活动的重视程度逐渐增加，航天装备技术水平得到明显提高，人类对宇宙的探索的深度与范围不断提升。同时，随着深空探测距离的不断增加，造成地面指控中心与航天探测器的通信距离越来越大，以至于不能通过一般的 信息传输手段来保证传输质量。为了保证深空通信中信息的可靠传输，目前一般采用的解决途径包括增大天线口径、增加发射功率，提高载波频率以及采用高增益的信道编码技术等。但是随着通信距离的不断增加，这些传统的技术途径都从工程实现技术到成本资金投入上变得愈发困难，其发展前景不容乐观，一个有效的解决思路就是通过改进算法来提高接收信号的载噪比。由于噪声谱是具有叠加性的，因此传统的滤波器不具备降噪的作用，而小波阈值法可以有效的对叠加噪声去噪。1994年，Donoho和Jhnstone发明了一种有效的降噪手段：利用小波的相关收缩特性来达到降噪的目的，我们称此过程为WaveShrink阈值选择[1]。从此以后，许多关于小波阈值的选择算法不断出现，包括SureShrink阈值选择法[2]、ViewShrink选择算法[3]等等。这些算法在降噪方面都表现出了良好的性能。本文当中，我们选取小波阈值法的目的是提高深空通信中弱信号的载噪比。因为根据小波变换原理，有用信号经过小波变换后的能量被压缩到相对较少而数值较大的小波系数上，而同时白噪声的能量分散在大量的数值而数值较小的小波系数上，然后可以通过设定阈值使幅值较小的小波系数为0从而达到降噪的目的[4]。因此，小波阈值法在深空通信中可以有效的对弱信号进行提取。

1 基于小波阈值法弱信号提取的基本原理

1.1 基于 mallat的塔式算法

离散时间小波变换法（DWT）可以被应用在多解析度分析（MRA）思想上。小波系数的分解可以用mallat塔式算法实现，如公式（1）和（2）所示：

可以证明，信号f(t)可以经由一组滤波器恢复，高分辨系数可以通过低分辨系数计算得出：

图2表示小波重构的过程。如果离散时间小波变换算法被应用于抽样序列为N的信号，该算法的计算复杂度大约为O(n)[6]。

图2 小波重构的过程

1.2 利用小波函数提取弱信号的原理

小波函数可以被应用到弱信号提取中来，主要是因为小波函数具有高阶消失矩特性，可以使信号的小波的相关系数在小波阈中是稀疏的，因此信号的能量可以被集中在一些大的小波系数中。同时，高斯白噪声的小波变换系数遵循高斯分布，能量散布在所有小波系数的小波阈值中。因此通过被表示为公式(4) 的非线性阈值函数可以保留大的小波系数而使小的小波系数变为0。大多数的噪声都可以通过这一方法来去除。在参考文献[2]中描述了阈值函数并考虑在所有小波系数上的附加噪声。

图3 信号小波系数的相对幅值的累积分布函数图

2 小波阈值法提取弱信号的具体内容

在上文中，我们知道小波阈值法可以从含有噪声的信号中提取有用信号。图4表示小波阈值法的具体过程。

图4 小波阈值法的具体过程

这种方法包含以下6个步骤：

步骤1：边界处理过程；

在对小波的滤波推导过程中，信号时被假定为无限长的，但是在实际的处理过程中，信号往往被处理成有限的长度，因此复杂信号的边界将产生不容忽视的错误。本文采用了对称延展方法，如下式[7]：

步骤2：小波分解过程；

信号通过mallat算法分解，如公式（1）和（2）所示。

步骤3：平移不变变换过程；

小波阈值法将产生吉布斯现象[8]在信号奇异点上，这种现象将对弱信号的提取产生不利的影响。这里采用了平移不变变化法来抑制这种现象带来的不利影响[9-10]，该过程可以消除由于在信号奇异点的信号震荡，可以由公式（5）表示：

步骤4：阈值处理过程；

在小波分解过程之后，小波系数被送到阈值处理单元，该过程如公式（4）所示。

步骤5：小波重建过程；

信号通过mallat算法重建，如公式（3）所示。

步骤6：反向变换与信息提取；

对应步骤3，信息通过反向不变平移变换如公式（6）所示：

而且由于数据信号通过步骤1被扩展，因此数据信号的恢复需要从整个数量的数据信号中提取。

本文选用了两个参量来分析小波阈值法的性能表现，分别是载噪比（CNR）与互相关系数（corr）：

（1） 阈值选取

本文选用了Sure阈值选取法，根据文献[11]，估算系数与真实系数之间的无偏差的均方误差（MSE）可以由下式表示：

（2）小波函数的选取

如果小波函数具有较高的消失矩特性，阈值法会较为提取弱信号，但是同时计算复杂度将会提高。小波分解和重建过程中的总共计算复杂度可以由式（10）与式（11）表示：

M表示信号的长度，K表示总共分解的阶数，L表示滤波器的范围。图5给出了一些常用小波函数的计算复杂度。从图中可以看出同样的高阶消失矩，Daubechies和Symlets小波函数拥有最小的计算复杂度。本文选择了Daubechies小波函数。

图5 消失矩与计算复杂度的关系

图6 消失矩对于输出载噪比和互相关系数的影响

图6给出了消失矩对于输出载噪比和互相关系数之间的关系。随着消失矩的增大，载噪比和互相关系数随之增大，但是同时计算复杂度也随之增加。因此我们需要在考虑弱信号提取能力与计算复杂度之间折衷考虑。本文选择了对具有10阶消失矩的Daubechies小波函数进行研究仿真。

（3）小波分解层数的选择

采用小波阈值法在在分解层数较多时对消除噪声信号有很大帮助。如图7中所示为分解层数与载噪比、互相关系数之间的关系。随着小波分解层数的增加，输出载噪比和互相关系数增加。同时，计算复杂度很快增加到最大，如图8和图9中所示。在本文中，我们选取了9层分解层数作为研究参数。

图7 小波分解层数对载噪比的影响

图8 小波分解层数对载噪比的影响

图9 分解层数对计算复杂度的影响

3 仿真结果分析

本文选择10阶消失矩的小波函数以及9层的分解层数，阈值函数选取软阈值函数。图9中表示的是载噪比、互相关系数与没有采用平移不变变化的关系图。

在图10的左侧表示经过小波阈值法的处理，载噪比得到提高。并且输入载噪比越高，提升效果越少。当输入载噪比为-20dB时，增益大约为18dB；而当输入载噪比提高到10dB时，增益不超过5dB。这是由于当输入信号的载噪比较高时，噪声信号相对较小，因此噪声信号就相对较难从整个信号中消除。如果输出载噪比很低，接收系统不能够正常工作，因为信号误码率会很高。本文在设置载噪比阈值下线为2dB。仅有载噪比高于2dB时，系统才能正常工作。

图10的右侧表示的是输出信号与实际输出信号的互相关系数要高于输入信号与实际输入信号的互相关系数。随着输入信号的载噪比的增加，输出相关系数首先上升到最大约为-5dB，随后开始下降。如果变量互相关系数较低，那么由于信号的严重失真变形接收系统不能够对信号进行解调。本文设置输出信号与真实输出信号之间的互相关系数阈值为0.65，仅在互相关系数大于0.65时系统才能正常工作。

在深空通信中，输入信号的载噪比的范围通常处于-3dB到-7dB之间。信号非常弱并且夹杂很多噪声信号，造成误码率非常高，因此通信系统不能正常工作。但是经过小波阈值法处理之后，输出载噪比增加到3.5dB到6dB，此时互相关系数高于0.65。输出信号可以被解调和解码，系统能够正常工作。

图11 平移不变法的载噪比对比

图12 平移不变法的互相关性能对比

图11和图12表示了加入平移不变法之后系统性能的提升。在平移过程中，输出载噪比提升了大约1dB，并且输出的互相关系数提高了0.065。所以当接收信号在-7dB到-3dB之间时，输出信噪比大约为4.5dB到7dB之间，输出互相关系数约为0.71，这将减少编码与调制的技术压力。

4 结束语

本文讨论了小波阈值法在深空通信中弱信号提取的性能表现，并且通过仿真分析得到了载噪比与估计信号和真实信号之间互相关系数的仿真结果。最终，本文得到如下结论，深空通信中输入信号的载噪比分布于-7dB至-3dB之间，经过小波阈值法对弱信号进行提取之后，载噪比将提升至3.5dB至6dB，并且互相关系数提升至大于0.65。而且，采用平移不变的小波阈值法的性能优于未采用平移不变变化法。

[1]David L. Donoho, Iain M. Johnstone. Adapting to Unknown Smoothness via Wavelet Shrinkage. Journal of the American Statistical Association，1995.

[2]David L. Donoho. De-noising by soft-thresholding . IEEE Trans. Inform，1995.

[3]F. Abramovich, T. Sapatinas, and B.W. Silverman. Wavelet thresholding via a Bayesian approach. J.R.Statist. Soc. B，1998.

[4]P. C. Ching, H. C. So, and S. Q. Wu. On Wavelet Denoising and its Applications to Time Delay Estimation. IEEE Trans. SIGNAL，1999.

[5]Huai Fei Xing, Fang Li, and Yu Liang Liu. Wavelet Denoising and Feature Extraction of Seismic Signal For Footstep Detection, Proceeding of the 2007 International Conference on Wavelet Analysis and Pattern Recognition， 2007.

[6]Stephen Neville, Nikitas Dimopoulos. Wavelet Denoising of Coarsely Wuantized Signals. IEEE Trans on Instrumentation and Measurement，2006.

[7]Yuan li hai, Song jian she. Research on Signal Extended Method in Wavelet Transform. Application reasearch of computers，2006.

[8]Coifman. R. Translation-invariant de-noising. Wavelet Statistics，1994.

[9]Zhaohua Xiong, Jianping Xu,Hong Qin,Xiaodong Li. Defense System and Countermeasure Process Aiming at Weak Signal Targets.Command Information System and Technology，2013.

[10]林航，汤俊杰，谢玉川，钟臣.一种带噪卫星测控信号分离算法.指挥信息系统与技术，2010.

[11]C. Stein. Estimation of the mean of a multivariate normal distribution. The Annals of Statistics，1981.