HPM视角下的正弦定理教学案例

孔祥文 李岚

HPM视角下的教学案例编写，既是HPM领域未来的研究重点，也是数学教学研究的重要组成部分。正弦定理是人教A 版必修5第1章第1节内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切关系，与判定三角形的全等也有密切关系，在日常生活和工業生产中也有解三角形的问题。因此，下面以HPM 视角下正弦定理的设计和实施为例，阐述HPM 视角下数学教学的设计方法，帮助学生理解数学和数学活动的本质，创造学生的学习动机。

教学目标

知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法。

情感态度价值观：在HPM视域下，使学生体验知识的形成过程，培养学生合情推理、探索数学规律的数学思想能力。

教学过程

导入

在初中，我们已经能够借助于勾股定理、正弦和余弦的定义解决有关直角三角形的一些测量问题。但是在实际工作中我们还会遇到许多其他的测量问题。我们知道，在任意三角形中有大边对大角、小边对小角的边角关系，我们是否能得到这个边角关系准确的量化表示呢？这就是今天我们要学习的正弦定理。

新课讲解

早在公元2世纪，正弦定理已为古希腊天文学家托勒密所知。中世纪阿拉伯著名天文学家阿尔·比鲁尼（al-Biruni，973～1048）也知道该定理。（Smith，1925，630）但是，最早清楚地表述并证明该定理的是13世纪阿拉伯数学家和天文学家纳绥尔丁（Nasir-Eddin，1201～1274）。

英国数学家哈里斯（J.Harris，1667～1719）最早采用了直角三角形法。（Harris，1706，31-33）如图1，在中，AD是BC边上的高，利用直角三角形边角关系有：

从上面的讨论和探究得到以下定理：

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asin A=bsin B=csin C。

正弦定理可以变形为：

1. a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C；2. a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；3. sin A=a2R，sin B=b2R，sin C=c2R等形式，以解决不同的三角形问题。

问题：结合之前学过的知识，还有没有其他的方法证明正弦定理呢？

辅助直径法

19世纪，有人开始不再拘泥于上述的证法而采用了辅助直径法，如Nixon（1892）。

如图2所示，为底边上的高，

过作直径，连和，易证，于是有。

但，

故得。

小结

1.正弦定理的内容；2.正弦定理的证明方法；3.正弦定理解决的两类问题：（a）已知两角一边；（b）已知两边和其中一边的对角。

结语

本节课将数学史融入课堂教学，再现英国哈里斯证明正弦定理的过程，让学生经历了正弦定理的发生、发展过程，使正弦定理的生成符合学生的认知规律，并激发学生的学习动机。感受数学来源于生活，数学就在身边，拉近了学生与古代数学家的距离。通过充分挖掘正弦定理的育人价值，促进了数学学科“立德树人”目标的有效达成。

基金项目：黑龙江省学位与研究生教育教学改革研究项目（项目编号：JGXM_HLJ_2016095）；佳木斯大学校长创新基金项目（项目编号：rwsk2017-35）；佳木斯市教育科学规划重点课题“HPM视域下中学数学教学案例设计与实践研究”（项目编号：JZ1317002）