让思维过程更清晰——“简单的推理”的教学“不简单”

□ 南欲晓

推理是数学的基本思想方法，推理能力的发展贯穿于整个数学学习过程中。人教版教材在二年级专门设置“推理”单元进行教学。把推理的数学思想通过学生日常生活中简单的事例及游戏的方式呈现出来，逐步形成有顺序地、全面地思考问题的意识。

在上本节课之前，笔者对二年级学生进行调查。将例题直接拿给全班学生去做，发现所有学生都能自主完成，且结果正确。从表面上看，新课的知识学生都已经会了，那这节课还有上的必要吗？

进一步对学生进行访谈发现：第一，小丽拿的不是数学书，为什么小丽拿的就是音乐书呢？对这个问题的回答学生是想当然的，也就是说学生不清楚为什么是非A即B。第二，学生得出的结论是正确的，但大部分学生是通过尝试得到的，表述得不是很清晰，也就是学生推理的思维是混乱不清的。

基于这样的问题，对教学进行了以下的思考。

一、什么是简单的推理

推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。

从推理的类别看（如下图），简单推理指的是“直接推理”。所谓直接推理是指由一个直言判断作为前提推出另一个直言判断为结论的推理。直言判断是断定事物具有或不具有某种性质的简单判断。直言判断可以有六种类型，分别为：单称肯定判断和单称否定判断，特称肯定判断和特称否定判断，全称肯定判断和全称否定判断。

由此可见，简单推理这节课是属于演绎推理范畴，而且是属于单称肯定判断与单称否定判断之间的直接推理。

二、什么是非A即B

A和非A是对立的，所以A即A，非A即非A，非非A即A。但非A却不一定即B。如我不是中国人，那我就是美国人，这个判断不一定对。当非A只有唯一的B时，才是非A即B。可以用图表示（见下图），也就是集合中只包含“A和B”，才有“非A即B”。

我们一起来看一下，如何得到非A即B的简单推理过程。如“我不是男生”和“我是女生”是两个直言判断，由“我不是男生”直言判断作为前提推出“我是女生”直言判断作为结论的推理。因为在这个讨论中，人的性别只有两种对立的，男和女，当出现“我不是男生”信息时，也就是出现非A时，我们把非A的否定判断改成肯定判断，也就是“我是女生”，这就完成了简单推理。

三、教学目标和重难点

教学参考书将本单元的目标定位为：“通过观察、猜测等活动，使学生借助生活中的简单事件初步理解逻辑推理的含义，并能按照一定的方式整理信息，进行推理。经历简单推理的过程，初步获得一些简单推理的经验。”

从教科书编排的内容看，人教版教材在一年级的“找规律”中开始渗透推理，并在二年级专门设置“推理”单元进行教学。本单元主要安排了两个例题，例1侧重理解逻辑推理的含义，例2侧重用逻辑推理解决问题。本节课的教学目标为理解简单推理的含义，经历简单推理的过程，积累推理思考的经验。如何理解简单推理的含义是本节课的重点，而如何让学生在经历简单推理的过程中显性出学生的思维过程则是难点。

四、教学实践

（一）唤醒经验，感悟判断的类型

1.出示小丁的信息。

小丁今年10岁；小丁是二年级（1）班的学生；

小丁不是女的；小丁拿的不是音乐书。

2.学生读信息。

3.根据以上信息回答问题。

小丁的年龄（）岁；小丁的班级（）班；

小丁是（）的；小丁拿的是（ ）书。

4.小结：对于前两个信息用“是”已经很明确了，直接回答即可。后两条信息中用的“不是”，大家很快说出“小丁是男的”，小丁拿的什么书却不能异口同声了。

（二）基于经验，利用表征，感悟“非A即B”的推理过程

1.出示信息“小丁不是女的，小丁是男的”。

师：你怎么想的？

根据学生回答，形成文字板书，并齐读一次。

人的性别只有男、女两种。

小丁不是女的，就是男的。

2.活动任务。这三句话一说，我们就知道了大家是怎么想的，如果不能说，你能画个简单的图表示出三句话的意思吗？

3.学生表征（部分作品实物投影展示）。

4.反馈。

左图学生描述：用一个圈表示全世界的人，只有男的和女的，不是女的就叉掉，剩下就是男的，钩起了。

右图学生描述：第一幅图就是说世界上只有男和女，第二幅图说不是女的就去掉，第三幅图就只能是男的了。

5.课件梳理，动态形成下图。

师：如果用一个圈代表了全世界的人，它的性别有男和女这两种情况，小丁说“我不是女的”，去掉了“女的”，那就是“男的”了，只有一种情况，也就确定了。

（三）从“不能”到“能”，经历转化“非A即B”过程

1.出示信息“小丁拿的不是音乐书。小丁拿的是（ ）书”。学生说可能是数学、语文、美术、英语、音乐等书。

2.比较。为什么告诉我们“小丁不是女的”，我们很快知道“小丁是男的”；而告诉“小丁拿的不是音乐书”，而小丁拿的书有那么多种情况呢？

生：因为男的女的只有两种情况，而书有很多很多种，我们就没有办法确定是哪一种了。

生：我们读的书有很多种，它告诉我们不是音乐书，还有语文、数学、书法等书。

3.课件动态梳理。

师：如果也用一个圈代表很多种书，用一个小圆点表示每一种书，里面有语文、数学、美术、英语、音乐等书。根据“小丁拿的不是音乐书”去掉一种，里面还有很多种书的情况，所以我们就不能确定了。

4.强化非A即B。

（1）设疑：假如老师给小丁的是什么书不知道，只知道小丁拿的不是音乐书，就是语文书。请你猜猜，老师给了小丁几种书？哪几种？（对应出示下图）

（2）类比。假如小丁最后拿的是数学书，请你猜猜，老师给小丁几种书？哪几种？

（3）比较：比较一下，为什么刚才我们无法确定小丁拿的是什么书，而现在又能确定小丁拿的是数学书，它们有什么不同的地方吗？

（4）小结：看来，只有知道两种情况的时候，我们可以根据一个信息，从而得到另一个信息了。这种思考的过程，就是推理。（板书课题：简单推理）

5.实现转化，强化推理过程。

（1）设疑：如果给出的是三种情况，也就是三种书。小丁拿的不是音乐书，是（）书?

生：小丁拿的不是音乐书，还有语文书或者数学书，反正是音乐书以外的随便一种书。

（2）过渡：看来三种情况，只告诉我们“拿的不是音乐书”，依然无法确定。假如再来一个信息呢？

（3）出示例题。“有语文、数学、音乐三本书，小红、小丽、小刚各拿了一本书。他们分别拿的是什么书？”。

（4）学生口答。

（5）活动任务。

师：大家很快知道了什么人对应什么书，你能把找到的过程用简单的图表示出来，让所有人分享你的思考过程吗？

（6）作品反馈。（学生作品逐一实物投影）

（7）学生解读。

左上图1学生解读：小红拿的是语文书，所以语文书不用管了，剩下只有数学和音乐书了，小丽拿的不是数学书，那就是音乐书了，数学书就是小刚拿了。

左上图2学生解读：本来有三种书，小红拿的是语文书，所以语文书就叉掉了。剩下只有两种，小丽说不是数学书，那小丽拿的就是音乐书，音乐书也被叉掉了。那么就剩一种数学书，那就是小刚拿了。

学生逐一解读。

（8）课件梳理（下图动态逐步出示）。

师：有三本书，三个人各拿一本。我们无法确定。当得到一个信息“小红拿的是语文书”，三个不确定信息变成两个。当有了“小丽拿的是音乐书”这个信息时，两个不确定的信息变成一个了，也就是确定了。这种思考的过程，就是推理。

（四）类比迁移，巩固推理的过程

1.第一关。

师：怎么理解“十位不是1”？

生：十位不是1，说明十位是2。

生：十位不是1，说明1是个位。

小结：是的，十位不是1，既可以判断十位上是几，也可以判断1在什么位。

类比：这道题和刚才研究的哪道题很像？

小结：这里的1和2相当于男的和女的，十位不是1就是2，跟小丁不是女的就是男的是一样的。

2.第二关。

师：你是先根据哪条信息进行判断的？你是怎么让三种变成两种再变成一种呢？

3.第三关。

师：你先读哪条信息？怎么判断？

生：1不是最高的，2也不是最高的，所以3就是最高的。

小结：可以根据“不是—不是—”也可以让三种变成两种情况，两种变成一种情况。最高的排除了1和2，剩下就是3。

简单推理一课的教学，学生获取答案不是教学的关键。教师不给任何的提示，学生基本上都能得出结论。我们要的是学生是如何推理出来的，把整个推理过程显性化，在对过程的分析中，把握信息联结获取新的信息，并且感悟原有信息和新的信息之间的联结是合理的。无论是三种可能或者两种可能，其实思考过程都是非A即B式的推理过程，只是无法跟二年级学生交流“小红拿的是语文书，那么小丽和小刚拿的不是语文书，那就是数学和音乐书了”，只不过此时的B里面包含了“数学和音乐书”。推理无非就是思维过程，在这个过程中让学生感悟逻辑推理的形式和道理，在感悟的基础上积累经验，逐渐形成自己的、合理的思维模式。