《空间向量与立体几何》中的几个问题探讨

魏西宁

摘 要：提高学生的运算能力绝非一朝一夕之功，需要将这个目标化解在平时的教学过程中，本文就以《空间向量与立体几何》的教学为例，对如何将“提高学生的运算能力”落实在平时的教学中进行探讨。

关键词：空间向量 方向向量 法向量

在《空间向量与立体几何》中，空间向量的引入为立体几何问题的处理提供了新的视角。具体来说空间向量的引入为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。在这一部分中，首先，学生将在学习平面向量的基础上，把平面向量及其运算推广到空间中，其次，学生将学习运用空间向量解决空间点、线、面的位置关系。

学生学习《空间向量与立体几何》要达到的目标：学会应用空间向量解决立体几何中的问题，将几何问题代数化。

要利用空间向量解决立体几何的相关问题，首先要建立空间向量与空间图形的对应关系；其次，要能用向量语言表述线、面的平行、垂直关系，夹角运用向量计算的方法；最后，还要找到点、线、面之间距离运用向量计算的方法。

在《空间向量的应用》教学中应注意以下问题：

一、直线的方向向量与平面的法向量的定义及确定

这一部分是空间向量应用最基础也是最根本的知识，要详细讲解。

1.直线的方向向量的定义：

是空间一直线，A，B是上任意两点，则称为的方向向量。

解读：与平行的任意非零向量也是直线的方向向量；是非零向量，有无数多个，彼此平行，且与直线平行。

2.平面的法向量的定义：

若直线垂直于平面α，则把的方向向量叫作α的法向量。

解读：平面的法向量是非零向量，有无数多个，彼此平行，且垂直于该平面。

3.直线的方向向量与平面的法向量的确定

直线方向向量的确定：由定义知在直线上任取两个点构造出一个非零向量，就是直线的方向向量；或已知与直线平行的向量，可作为直线的方向向量。

平面法向量的确定方法：

法一：依定义有：若已知是α的垂线，则l的方向向量是α的法向量。

法二：在α上任取不共线的三个点，构造出两个不共线的向量和，设α的法向量为，则垂直于和，即有，用坐标表示则得到关于x，y，z的三元一次方程组，该方程组有无数组解，只需取出一组解（给x赋值可解得对应的y，z；同理给y或z赋值可解得其余两个量），就得到α的一个法向量。

法二的依据是：和是平面α上两个不共线向量，由平面向量基本定理知：平面α上任一向量，可用和表示：

垂直于和，即，

，

垂直于，即垂直于平面α上任意向量，是平面的一个法向量。

二、通过向量确定线、面之间的平行与垂直

学生已会求直线的方向向量和平面的法向量，这一部分的任务就变成将线、面的平行与垂直和相关向量之间的关系进行归纳，可引导学生完成，得出结论：

已知直线的方向向量分别为，平面α，β的法向量分别为，

三、利用向量来计算夹角

1.空间向量夹角公式及其坐标表示：，

则

2.线、面夹角的定义以及线、面夹角与向量夹角的关系i）直线的夹角

定义当两直线共面时，把交角中在的角叫作的夹角；当是异面直线时，在上任取一点A作，把与AB的夹角叫做的夹角，其范围为.

综上，夹角，设的方向向量分别为，则有：

若，则；

若；则；

∴.

3.平面的夹角

定义：平面α，β相交于直线，点A为上任意一点，过A在上分别作，，把的夹角叫作平面α，β的夹角。

可知平面的夹角转换为共面两直线的夹角，所以.

设∠BAC是α，β的夹角θ，

即∠BAC是的夹角，.

如图，C作α的垂线，过B作β的垂线，.

则∠BAC+∠BDC=π，且的方向向量是α的法向量，记为；的方向向量是β的法向量，記为；

；；

∴平面α，β的夹角或，

.

4.直线与平面的夹角

定义：平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角.可知将直线与平面的夹角转化为两直线的夹角，则范围是.

已知直线ι与平面α相交于点B，在ι上任取一点A，过A作的α垂线交α于点C。

设的方向向量为，∠ABC是与α的夹角θ，即θ=∠ABC，.又AC是α的一条垂线，则AC的方向向量是α的法向量。

∴，又；

∴或；

∴或；.

四、利用向量计算距离

1.在上的投影的大小为：；

2.求平行线间的距离转化为求点到直线的距离；求与平面平行的直线到该平面的距离转化为求点到平面的距离；求两平行平面间的距离转化为求点到面的距离。

以上是本人对《空间向量与立体几何》教学上的一点认识。