不同密度人群行走作用下结构竖向振动响应分析

陈海浪， 宋志刚， 张 帅(昆明理工大学 建筑工程学院，昆明 650504)

结构振动响应随人数增长的变化规律，是人群行走激励下结构振动响应研究的重要问题，其目的是建立多人作用与单人作用下结构振动响应之间的倍数关系，从而为人行桥、大跨度楼板等结构的设计提供理论依据。大量文献从理论分析和数值模拟的角度指出结构振动响应随人数N的增长，按N0.5倍关系增长。Matsumoto等[1]结合中心极限定律提出N人作用下结构的动力响应是单人作用下响应的N0.5倍；钱晓斌等[2-4]，结合Monte Carlo模拟发现这个倍数也在N0.5附近；法国标准[5]则分别给出了低密度人群(<1.0人/m2)和高密度人群(>1.0人/m2)相应倍数关系，该倍数也与N0.5成正比。

然而，上述结论忽略了人人相互作用效应，或者说是在假定人群中个体相互无干扰、步行力不同步，且作用力频谱结构与单人自由行走条件下完全一致的前提下获得的。忽略人人相互作用效应会导致在使用中心极限定律或Monte Carlo模拟过程中，实际隐含了一些与物理背景不符的情况，例如，当后面的行人速度超过前人时，他无需改变自身运动速度，而可以像“鬼魂”一样自由穿过前人、不受干扰地行走。而事实上，随着行人密度的提高，人-人相互作用的影响会逐渐显现，人在行走过程中会因避免碰撞而降低行走速度，这进一步又会导致行人作用力频谱结构的变化，从而破坏了N0.5倍关系成立的前提。因此，有必要对人人相互作用影响下结构振动响应随人数增长的变化规律进行研究。

针对上述问题，本文研究了不同人群密度下结构振动响应随人数增长的变化规律。首先从随机振动分析的角度，给出了N0.5倍关系的理论依据，指出了该关系成立的前提条件；然后，借助交通工程领域相关研究，获得不同人群密度下的行人速度，进一步结合行人步行速度与步频的经验规律，确定出行人步频，并依据已有的荷载板试验结果获得该步频下对应的频谱参数；最后，结合强迫振动理论提出了人员密度影响系数的计算方法，研究了多人行走作用下结构振动响应随人数的变化规律。

1 多人激励下的振动响应

当有N个人作用于结构时，结构在第i阶步行力分量作用下的第j模态的运动方程可写为[6]

(1)

式中:φj，Mj，Cj，ωj，qij(t)分别为第j阶振型、第j阶振型的广义质量、广义阻尼、自振圆频率和第i阶作用力分量下广义位移;Pijk(t)为位置xk上行人作用力的第i阶分量在第j阶振型的广义力，表达为[7]

Pijk(t)=αiGφj(xk)sin(2iπf1t+θi+φk)

(2)

式中:f1为人行走步频;t为时间;i为步行力分量的阶数;初相位角φk反映人作用于结构上的时间差异;αi,θi分别为第i阶步行力分量的动载因子和相位角;G为人静止时的平均体重。

考虑行人步行力初相位φk及行人在桥面作用位置xk为相互独立的随机变量，且分别服从[0,2π]和[0,L]的均匀分布，则在Pijk(t)作用下，第j模态动力响应qijk(t)是一个均值为0的随机过程，其标准差(或者振动位移均方根响应)σqijk为

(3)

式中

(4)

为结构第j振型对第i阶作用力分量的动力放大系数，βij=2iπf1/ωj为第i阶步行力分量的圆频率与第j振型圆频率之比，ξj为第j振型的结构阻尼比。

在有N个行人作用时，假定qijk(t)，(k=1,2,3,…,N)是独立同分布的随机过程，则由(1)获得的振动响应qij(t)也是一个0均值随机过程，其标准差(或均方根响应)为

(5)

式(5)表明，N人作用时，其振动响应是单人作用的N0.5倍。为便于后面讨论，假定人员在面积S的桥面上以人员密度ρ均匀分布，则

(6)

即在面积S给定的情况下，振动响应与ρ0.5成正比。需要特别指出的是，式(5)或(6)是在qijk(t) (k=1,2,3,…,N)独立同分布的前提下获得的，这个前提意味着两个基本假定：①每个行人作用力相互独立，即行人完全不同步；②步行力第i阶分量αi和动力放大系数DLFij为常量，这就意味着式(2)所示的作用力频谱结构中步频f1和αi不随人数发生变化。

对于第(1)个假定，已有研究表明[8-9]，随着人数的增加，同步运动的人的比例随之提高，在完全同步的情况下，N人作用产生的动力响应将是单人作用条件下的N倍。关于独立性假定被破坏以后可能带来的问题，已有较多文献进行研究，这里不再赘述。在本文后面的篇幅中，将要进一步指出随着人群密度的提高，第(2)个假定也可能不成立。

2 不同人员密度下动力响应分析

随着人群密度的提高，人群中的个体为了避免行走过程中的碰撞，将会降低行走速度，而行走速度的变化，又会导致步频f1，步行力各阶分量αi发生变化。因此，有必要在步行速度与人员密度的关系基础上，进一步研究步行速度与步行力频谱结构的关系，从而建立人员密度和步行力频谱结构之间的关系。

2.1 不同人员密度下行人步行速度

交通过程领域的研究表明，行人步行速度受人群密度、地域文化、出行目的等因素的影响，结合实地观测，文献[10]综合给出了步行速度与人群密度的基本关系式

(7)

vF=1.34αGαT

(8)

式中:vρ为人员密度ρ时的行走速度;vF为在无干扰自由行走速度;ρM为人群堵塞(步速趋于0)时的密度，对于欧美人，ρM取7.155人/m2，对于亚洲人，ρM取9.082人/m2;γ为出行目的指数，αG、αT分别为地域修正系数和出行目的修正系数，取值见表1。

表1 γ、αG及αT的取值Tab.1 The value of γ、αG and αT

以亚洲人的参数为例，在高峰期、通勤期和休闲期条件下，比值vρ/vF随人员密度的变化规律见图1所示。由图1不难看出，在人员密度低于0.3人/m2范围时，vρ/vF≈1，人基本以自由行走速度行走，当人员密度超过这个范围以后，行人行走速度随人员密度的提高而迅速降低。

图1 步行速度随人员密度而降低Fig.1 Walking speed decreased as the increase of crowd density

2.2 不同人员密度下行人步频

Bertram等[11]开展了大量行人速度v与行人步频f1之间的试验观测，Venuti等[12]根据上述试验结果，给出了一个f1与v的经验关系

f1=0.35v3-1.59v2+2.93v

(9)

仍以亚洲人参数为例，结合式(8)和表1获得的在高峰期、通勤期和休闲期条件下自由行走速度vF分别为1.479 m/s，1.368 m/s和1.036 m/s，对应的自由行走频率f1F分别为1.988 Hz，1.929 Hz和1.718 Hz。结合式(7)、(8)、(9)可推算步频折减系数R1=f1/f1F随人员密度ρ的变化规律，如图2所示。

显然，在人员密度低于0.3人/m2范围时，R1≈1，人基本以自由行走频率行走，当人员密度超过这个范围以后，行人步频随人员密度的提高而迅速降低。为便于后续推导，进一步拟合出图2所示的ρ-R1关系，结果表明如下形式的三次多项式具有很好的拟合效果

R1=f1/f1F=b1ρ3+b2ρ2+b3ρ+1

(10)

对应亚洲人的特点，在高峰期、通勤期和休闲期条件下的f1F，b1，b2和b3的取值见表2。

图2 步频折减系数随人员密度而降低Fig.2 Frequency reduction factor vs. crowd destiny

表2 不同条件下步频参数值Tab.2 The parameters of frequency in different condition

2.3 不同步频下各阶步行力分量

在过去的近20年间，Kerr等[13-16]做了大量步行力试验观测，获得了较为丰富的步行力荷载模型。这些试验数据一般是在节拍提示器控制下，通过测力板试验获得，因此，可以看做是单人在不同步频下的步行力数据。结合观测数据，不同的研究人员均以步行力各阶分量的形式给出了步行荷载模型。以陈隽等提出的竖向步行荷载模型为例，依据试验给出了前5阶分量αi(i=1,2,3,4,5)的均值，见式(11)所示

(11)

(12)

Rαi=1(i=2,3,4,5)

(13)

2.4 人员密度影响系数Kij

(14)

将式(14)除以式(5)，得到考虑步频和作用力分量变化以后的响应比Rij为

(15)

(16)

参照式(4)，得到

(17)

结合式(6)和式(17)，得到新的修正关系

(18)

由式(18)知，在给定桥面面积S的前提下，由于人群密度的变化引起的行人步频和其动载因子的变化，多人响应与单人响应之间的增长关系与行人步行力第i阶分量所引起的结构第j阶模态响应的人员密度影响系数Kij有关，表达为

(19)

(20)

根据SRSS振型组合法，第i阶步行力分量作用下结构的总响应为

(21)

根据人员密度ρ和频率比βij的取值范围，可将Kij的取值特征做如下定性判断：

(1)无影响区

结合图2或式(10)不难发现，当ρ≤0.3人/m2时，R1≈1.0，人步行的频率几乎等于自由行走频率，因此Rαi≈1.0，RDij≈1.0，因此有在这个人员密度范围内有

Kij=ρ0.5,ρ≤0.3

(22)

即在当ρ≤0.3人/m2时，可以不考虑人人相互作用效应，N人作用下的振动响应是单人作用下振动响应的N0.5倍，或者说，人员密度小于0.3人/m2，是直接Monte Carlo模拟多人振动响应的适用条件。

(2)诱发共振区

当ρ>0.3人/m2时，人行步频会随着人员密度提高显著下降，从而导致步行力分量频率与结构自振频率一致而发生共振现象。由式(16)知，当频率比满足

R1βij=1

(23)

会出现共振现象，在发生共振的条件下，结构动力放大系数的修正系数RDij获得最大值

(24)

相应的，可获得人员密度影响系数的最大值Kijmax

(25)

由于βij=iβ1j，其中，β1j为自由行走步频与结构第j模态频率的比值，结合式(23)知，当步行力第i阶分量引起结构共振时

(26)

由于ρ>0.3人/m2以后，总有0

β1j≥i-1

(27)

式(27)表明，当自由行走条件下步行力第i阶分量的频率不小于结构自振频率时，提高人员密度，会使步行力第i阶分量的频率回落并靠近结构自振频率，导致结构动力放大系数增大甚至诱发共振。在发生共振时，由于ξj<<1，故由式(24)可知RDijmax>>1，同时由式(12)、(13)知，随ρ提高，Rαi略小于1(i=1)或保持不变(i=2,3,4,5)，结合式(19)可以得到，在诱发共振区

Kij>ρ0.5, (ρ>0.3,β1j≥i-1)

(28)

(3)非共振区

当β1j

Kij<ρ0.5, (ρ>0.3,β1j

(29)

依据上述分析，式(22)、式(28)和式(29)中Kij的取值特征的各个分区应满足的条件(β1j≥i-1⟺βij≥1,β1j

图3 Kij的取值分区应满足的条件Fig.3 The corresponding condition for the subarea of Kij

3 分析示例

考虑到桥梁等多自由度系统的共振响应会在特定的模态发生，现以通勤期条件为例，计算前5阶步行力分量的人员密度影响系数Kij(i=1,2,3,4,5)随人员密度ρ的变化规律，计算中结构阻尼比ξj取比较常用的0.05，其它计算条件为

(1)通行条件为通勤期，结合表2，f1F=1.929 Hz，b1=0.021 43，b2=-0.120 50，b3=0.024 37；

(2)ρ的取值范围为0.1～2.5人/m2之间；

(3)频率比βij，考虑到多数楼板或人行桥设计中，结构的基频一般不会小于步频，因此，β1j一般不超过1，计算中β1j分别取0.15，0.35，0.55等3种情况，当f1F=1.929 Hz时，分别对应了结构第j模态频率分别为12.86 Hz，5.51 Hz，3.50 Hz。依据非共振区和诱发共振区的判据，在这些β1j的取值条件下，可能引起共振的情况见表3。

表3 各阶分量诱发共振的条件Tab.3 The condition of each component induced resonance

依据表3，当β1j取0.15时，0.15×5=0.75<1，前5阶分量不会引起共振；当β1j取0.35时，0.35×2=0.7，0.35×3=1.05>1，第3,4,5阶分量会引起共振；当β1j取0.55时，0.35×1=0.55，0.55×2=1.1>1，第2,3,4,5阶分量会引起共振。

根据上述条件，依次按式(10)、式(12)、式(17)、式(19)计算获得Kij，结果见图4～图8，为便于比较，图中同时给出了ρ0.5倍曲线。

图4 K1j随人员密度ρ的变化Fig.4 The change of K1j as the personal density ρ

图5 K2j随人员密度ρ的变化Fig.5 The change of K2j as the personal density ρ

图6 K3j随人员密度ρ的变化Fig.6 The change of K3j as the personal density ρ

分析图4～图8可知：

(1)在ρ≤0.3人/m2时，Kij几乎与ρ0.5倍曲线重叠，即N人作用下的振动响应是单人作用下振动响应的N0.5倍。

(2)在ρ>0.3人/m2时，所有处于非共振条件下的Kij均低于ρ0.5倍曲线，即N人作用下的振动响应小于单人作用下振动响应的N0.5倍。

图7 K4j随人员密度ρ的变化Fig.7 The change of K4j as the personal density ρ

图8 K5j随人员密度ρ的变化Fig.8 The change of K5j as the personal density ρ

(3)在ρ>0.3人/m2时，所有处于共振条件下的Kij均大于ρ0.5倍曲线，即N人作用下的振动响应大于单人作用下振动响应的N0.5倍。

(4)步行力的i阶分量作用下结构的各阶模态的振动响应均不再服从N0.5倍关系，结合式(21)可知，结构的振动总响应也不再服从N0.5倍关系。

4 结 论

受人人相互作用效应的影响，人群作用下结构振动响应随人数增长的N0.5倍关系可能不再成立，本文在考虑了行人步频随人员密度增大而降低的效应后，在理论推导的基础上结合已有的试验成果，研究了结构振动响应随人数增长的初步规律，结果表明：

(1)受人人相互作用影响，人群密度的提高改变了行走速度，从而改变个体步频和步行力各阶分量的大小，并进一步引起结构动力放大系数的改变。因此，人员密度超过一定水平以后，N0.5倍增长关系不再成立；

(2)人员密度小于0.3人/m2，可以不考虑人人相互作用效应，N人作用下的振动响应是单人作用下振动响应的N0.5倍；在人员密度大于0.3人/m2时，在非共振条件下，N人作用下的振动响应小于单人作用下振动响应的N0.5倍，在诱发共振条件下，N人作用下的振动响应大于单人作用下振动响应的N0.5倍。

参 考 文 献

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