折纸——数学之舞

飞机码头

说到折纸，大概每个人都折过纸飞机。说到折纸和数学有关，大概也能懵懂理解。如果我告诉你有门学问叫：折纸数理学，你会不会吃惊地反问：啥？折纸还是门科学？

Origamics，折纸数理学

“折纸”最独一无二的特征是，一张完整的（通常是正方形）纸张，通过折叠和“整形”，可以变成任何形状。不信你可以把折纸达人们花几分钟、几小时、几天，甚至几个月折叠好的成果拆开，会发现它们还是一张完整的正方形纸张。许多折纸大师们都认为这是像“炼金术”一样的神奇魔术。

即使是魔术，也有科学的依据——日本筑波大学的生物化学教授芳贺和夫在等待实验结果的时候喜欢用折纸打发时间，在这个“游戏时间”里他发现了折纸与数学的重要联系。1984年9月至1985年8月，他在日本的《数学探究》杂志发表连载文章，展示自己的徒手折叠几何图形的研究成果。

这就是现在被称为“芳贺定理”的一组数学定理。这个定理也是一个实用的操作办法，把正方形（纸张）的边平均分成三等分。这是“尺规作图”无法完成的事情。

1994年，第二届折纸科学国际大会在日本大津市召开，芳贺和夫在会上提议，在折纸（origami）这一单词后加上表示学术、技术的词缀（ics），合成新的概念：折纸数理学（origamics。

2017年，麻省理工学院的天才教授Erik Demain与日本的Tomohiro Tachi从数学上证明了“折纸可以折叠出任何形状”。这是一个里程碑，它背后的事实是：折纸在过去近半个世纪内，与“计算数学”一起发展，成为其中一个极其重要的分支。

计算折纸

20世纪80年代末，美国著名折纸艺术家与科学家罗伯特朗开始用FORTRAN 77语言编程研究折纸的CP结构。到了90年代，他开始用C++语言开发Treemaker软件，1998年，Treemaker已经不再是个游戏玩具而成了一个全新的设计工具，第一次能够在计算机的帮助下，完成较为复杂的设计，这是直尺圆规铅笔在纸上设计做不到的。

在过去的50年间，数学逐渐成为折纸设计的重要工具，有三个主要的用途：

（1）存在性。从数学角度思考一个模型是否成立，是否能用折纸的方式形成。

（2）复杂性。预先分析折叠的复杂性。

（3）算法。使用计算机软件是否能模拟折叠，在现实世界中能否折叠。

折叠语言与数学公理

在折纸的过程中不断地拍照，把照片绘制成连续的折叠过程，这就是“折叠图”（Origami diagram，简称OD），我则更喜欢称之为“操作图”（Operation diagram）。按图索骥进行折叠，就可以把白纸折叠成模型。

“折叠图”就是一套棋谱，它用图形语言的方式描述了折纸的过程。20世纪50年代，近现代“折纸之父”吉泽章在出版的书籍中首次用虚线和箭头描述折纸过程。同一时期，这套不断完善的符号语言在世界范围内迅速演化。

1956年，南美的Robert Harbin与美国人Sam Randlett开创了一套符号来描述折纸过程，最终成为现代折纸的通用国际语言。这就是现在被称为吉泽章一兰德列特系统（Yoshizawa-Randlett system）的图形及符号语言，这使得折纸超越了文字语言的障碍，极大地推动了现代折纸的发展。

如果我们把折叠好的模型完全拆开，在纸上可以看到许多折痕，把折痕按照折叠方向用虚实线描出来，这个图就是折痕图，简称，CP（Creasepattern）。“折叠图”（OD）与“折痕图”（CP）共同构成了折纸的图像语言。前者是一个操作手册，描绘了折叠过程；后者则像“模型”的“经络图”，有经验的折纸家一看到经络图就知道最终模型的大概形状。

在折纸过程中，每一步操作都是点和线之间的对齐折叠，这是物理世界的实际操作，也是数学世界的一种“运算”。七大折纸公理阐述了“折叠”的数学意义，只需要初等几何知识就能理解。

美丽的折纸：镶嵌折

在过去数百年时间内，不同的民族和文化形成了许多类型的折纸风格，其中“镶嵌折”是最有特色的一个流派。

从数学上来看，“镶嵌问题”又称为“马赛克问题”，表示的是各种几何图形铺满整个平面。大自然中处处充满这样的图形，蜂巢是正六边形镶嵌，用显微镜观察树叶放大后表皮细胞规则排列的图案也是镶嵌。从美术角度看，西班牙阿尔汗布拉宫清真寺是最具代表性的“镶嵌图案”，由几何形状规则排列构成气势恢宏的对称图案，充分展现了数学与几何的美丽。

镶嵌折折纸不仅涉及非常深奥的数学知识，最特别的地方是，通过几何形状创造出平面或者立体的“纹理”。一方面，平面纹理在光的透射下形成复杂的花纹，像万花筒一样变幻无穷，这又被称为“Shadow folding'，折纸與光线的艺术。

另一方面，立体的结构被称为“Paper sculpture”，纸的雕塑，除了让人眼前一亮，这些结构还在基础材料科学、生物医学、机器人工程、航空航天领域广泛研究和利用，许多国际著名大学开始了一个新的研究方向“Structural origami”，研究折纸技术如何构成形状。

看了那么多关于折纸的介绍，你有没有想自己动手折—折的冲动？

飞机老师专门设计了一张折叠图纸，请读者们来试试，看看折出来会是什么。我们现在就来体会一下芳贺定理把正方形纸张的每一条边分成三等分的方法，折叠九宫格、风车及飞镖。

注一：折纸一般来说分为三个步骤：Precrease，预折，只把各个位置的折痕按照设定的位置和方向折好。

Squash，聚合，需要同时把纸张各个部分收缩起来。

Shaping，整形，像雕塑一样塑造曲线和细节。

注二：我称重复的步骤叫“轮折”。轮折形成首尾相接的一片压着另一片的结构。在最后一步通常会打开第一步的形状。