导数零点求不得的转化策略

郦胜翔

摘 要：本文主要研究高中数学导数题中导数零点求不得的转化策略，针对该题型提出不同的解题思路，帮助学生顺利解决高中数学中的导数零点求不得的问题，从而使学生更加熟练地掌握高中导数知识。

关键词：高中；数学；导数零点求不得；不同思路

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）09-061-2

导数是数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野。在全国高考试题中，对导数知识考查的要求逐年增强，已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可或缺的工具。导数的压轴题能否顺利的求解成为一个考生能否得到高分的关键。

在运用导数研究函数性质时，关键是确定导数的正负，这就使得求解f′（x）的零点是解题的关键。但是在解题时经常出现f′（x）=0的零点“求之不得”的情况，导致思路也随之阻塞，这是很多师生都经常遇到的“尷尬”，如果转化矛盾、寻找突破口转化是灵活解题的关键。对于此类问题，笔者在教学实践中，做了一些思路和探索，现与同行交流：

一、引入问题

在本校的高三模拟练习中，笔者有意选择了一道典型的导数题作为压轴题：

例1 已知函数f（x）是定义在[-e，0）∪（0，e]上的奇函数，当x∈（0，e]时，f（x）=ax+lnx（其中e是自然对数的底数，a∈R）。

（1）求f（x）的解析式；

（2）设a=-1，g（x）=-lnxx，求证：当x∈（0，e]时，f（x）

解：（1）略

第二问得分率很低，全年级900多位考生，几乎没有学生能正确完整的解答，为什么呢？通过试卷分析和学生交流，下面是绝大部分学生在解答第二问时的思路：

思路1：转化命题

令F（x）=f（x）-g（x）-12=-x+lnx+lnxx-12，

问题等价转化为：当x∈（0，e]时F（x）恒负，即F（x）的最大值小于0。

求导得F′（x）=-1+1x+1-lnxx2=-x2+x+1-lnxx2，

但F′（x）=0的根无法解出，正负也不能确定，单调性不可知，最大值不可得，所以很多学生的思路受限，最终也就放弃了该题。

学生的思路很常规，也无懈可击，等价转化命题，保证了转化“原汁原味”，为什么就不能进行下去了呢？在模考和高考试题中，经常遇到此类问题：函数关系相对复杂，求导后更是一个超越方程，不能用初等数学方法求出方程的根，思路也就随之断了，下面尝试突破。

二、探索问题

思路2：加强命题

整体直接证明有困难，是不是可以转换思路？回到原问题形式上看：既然本题的求证是以f（x）

证明：当x∈（0，e]时，由f′（x）>0得：0

∴f（x）在（0，1）上单调增，在（1，e）上单调减，故f（x）在（0，e]上f（x）max=f（1）=-1，

而x∈（0，e]，g′（x）=lnx-1x2≤0，

∴g（x）在x∈（0，e]上单调减，g（x）min=g（e）=-1e，

显然f（x）max

在本题的解答时，直接证明思路不畅，反其道而行之，由f（x）-g（x）-12<0恒成立加强命题f（x）max

思路3：分解命题

对于F（x）=f（x）-g（x）-12=-x+lnx+lnxx-12，

回到定义域上看：x∈（0，e]，通过观察分析易知当x∈（0，1]时，

F（x）=-x+lnx+lnxx-12<0，

故只要证明：当x∈（1，e]时，F（x）=-x+lnx+lnxx-12<0即可，

∵x∈（1，e]，∴lnx>0，∴elnx>lnx，

故F（x）=-x+lnx+lnxx-12<-x+elnx+lnxx-12。

令G（x）=-x+elnx+lnxx-12故只要证得当x∈（1，e]时G（x）<0即可，

G′（x）=-1+ex+1-lnxx2=e-xx+1-lnxx2>0，故G（x）在区间（1，e]单调递增，

而G（e）=1e-12<0，∴x∈（1，e]时G（x）<0故得证。

本题中，既然整体求解较为困难，本着“让一部分人先富裕起来”的原则，分解命题，观察式子发现x∈（0，1]时，F（x）的各项均为负值，命题随之成立，对于当x∈（1，e]时，采用放缩的技巧，目的是为了求出G′（x）=0的根x=e，这样思路随之就清晰了。

思路4：深化命题

回到学生的常规思路：

令F（x）=f（x）-g（x）-12=-x+lnx+lnxx-12，

问题等价转化为：当x∈（0，e]时F（x）恒负，即F（x）的最大值小于0。

F′（x）=-1+1x+1-lnxx2=-x2+x+1-lnxx2。

导数等于零的根求之不得，但是真的不能求解了吗？不妨再试试，将“该思路进行到底”，尽管过程很繁琐，但是仍然可以得到结论。

令h（x）=-x2+x+1-lnx，则h′（x）=-2x+1-1x=-2x2+x-1x，

∵-2x2+x-1=-2（x-14）2-78<0即h′（x）<0，

∴h（x）递减，

∴而h（e2）=-e24+e2+1-lne2=-e24+e2+ln2>0，

h（e）=-e2+e+1-lne=-e2+e<0，

故h（x）=0必有根x0∈（e2，e），其中-x20+x0+1-lnx0=0 （*）

易知當x∈（0，x0）时，h（x）>0从而F′（x）>0，

即F（x）在x∈（0，x0）时单调递增，同理可得F（x）在x∈（x0，e）时递减，

∴x∈（0，e]时F（x）max=F（x0）=-x0+lnx0+lnx0x0-12代入（*）得

F（x）max=-x0+（-x20+x0+1）+-x20+x0+1x0-12=-x20-x0+32+1x0，

其中（e2

∵当e2

∴-x20-x0+32+1x0<-（e2）2-e2+32+1e<-74-2.72+32+1=-2740<0，

即F（x）max<0命题得证。

既然加强命题、分解命题均可以证得结论，而思路一的等价转化命题“忠实于”原命题，应该可以得证，可以将等价命题深化：既然一阶导数求不得，不妨求二阶、三阶甚至是更高阶的导数，遇到导数的根不可解，不妨“设而不求”，先设出根、估算根的范围，再回带。

导数的零点求不得的题目在高考题试题中也屡有出现，下面通过两个例题剖进一步说明几种转化策略：

三、问题再现

例2 （2012年山东高考）已知函数f（x）=lnx+kex（k为常数，e=2.71828是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行。

（1）求k的值

（2）求f（x）的单调区间；

（3）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数。证明：对任意x>0，g（x）<1+e-2。

解：（1）k=1。（2）略。

（3）思路1：转化命题

欲证g（x）=xf′（x）=1-xlnx-xex<1+e-2（x>0）

只要证：1-xlnx-x

故只要证明F（x）=1-xlnx-x-ex（1+e-2）<0恒成立，等价转化命题：F（x）max<0，

F′（x）=-2-lnx-ex（1+e-2），

F′（x）=0是一个超越方程，不能求出方程的零点，思路“卡壳”，如果继续“深化命题”，运算会很繁琐，故略去。

思路2：加强命题

可以将命题中F（x）的表达式分成类型相似的两部分：1-xlnx-x和ex（1+e-2）。

设h（x）=1-x-xlnx，g（x）=ex（1+e-2）

尝试加强命题：h（x）max

则h′（x）=-lnx-2，令h′（x）=-lnx-2=0，x=e-2，

当x∈（0，e-2）时h′（x）>0，h（x）单调递增；

当x∈（e-2，+∞）时h′（x）<0，h（x）单调递减。所以当x>0时，h（x）≤h（e-2）=1+e-2，而当x>0时0<1ex<1，

所以当x>0时g（x）=1ex（1-x-xlnx）<1+e-2，综上可知结论成立。

思路3：分解命题

证明：显然当x≥1时，g（x）=xf′（x）=1-xlnx-xex≤0<1+e-2，

故只需证明g（x）<1+e-2在0

当01，且g（x）>0，∴g（x）=1-xlnx-xex<1-xlnx-x。

设F（x）=1-xlnx-x，x∈（0，1），则F′（x）=-（lnx+2），

当x∈（0，e-2）时，F′（x）>0，当x∈（e-2，1）时，F′（x）<0，

所以当x=e-2时，F（x）取得最大值F（e-2）=1+e-2。

所以g（x）0，g（x）<1+e-2。

例2 （2012年高考（课标文））设函数f（x）=ex-ax-2。

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若a=1，k为整数，且当x>0时，（x-k）f′（x）+x+1>0，求k的最大值。

解：（1）略。

（2）把a=1

f′（x）=ex-a代入（x-k）f′（x）+x+1>0得：（x-k）（ex-1）+x+1>0，

因为x>0，所以ex-1>0，所以：（x-k）（ex-1）>-x-1，x-k>-x-1ex-1，

k-x0） （*）

令g（x）=x+1ex-1+x，则g′（x）=ex（ex-x-2）（ex-1）2，

注意：到此思路很常规，但是ex-x-2=0的根求之不得，为了“深化命题”，不妨先对其根“设而不求”，再进行估算。

易得：h（x）=（ex-x-2）在（0，+∞）单调递增，

而h（1）<0

h（2）>0，所以h（x）在（0，+∞）上存在唯一零点α，且α∈（1，2）；

故g′（x）在（0，+∞）上也存在唯一零点且为α，当x∈（0，α）时，g′（x）<0，当x∈（α，+∞）时，g′（x）>0，所以在（0，+∞）上，g（x）min=g（α）；由g′（α）=0得：eα=α+2，所以g（α）=α+1，所以g（α）∈（2，3），

由于（*）式等价于k

行文至此，忽然有一种“行到水穷处，坐看云起时”的感觉：为什么许多很优秀的学生对该类问题束手无策？反思后我们会发现：现行的高中教育主要是为了应对高考，教师习惯于把解题思路模式化、规范化，教学生按图索骥，后果是一旦遇到难题或者题型变化，学生往往措手不及。其实数学题“教无定法”，这正是数学魅力之所在，教师不仅要教给学生知识、更重要的是要教给学生处理问题的数学思想；学生不仅要从教师那里学到方法，更重要的是学到探究问题的能力。唯有如此，学生的思维才能在解题中得以升华。