基于相似理论的三跨桥梁磁流变隔振

李 锐，张路阳，刘 琳，武粤元，陈世嵬

(1.重庆邮电大学 汽车电子与嵌入式系统工程研究中心,重庆 400065；2.重庆科技学院 数理学院,重庆 401331)

0 引 言

通过增加结构强度或采用被动支承(支座)来提高系统的抗振能力，是桥梁等机械系统隔减振设计中的常用手段[1]。但是，被动支承(支座)在各种大的突发振动冲击载荷作用下，缺乏智能调节横向刚度/强度来抵制剪切破坏力和过度移位的能力，也难以通过增加阻尼来耗散瞬间有害能量，其隔振、抗害能力不足[2]，成为结构安全体系中最薄弱的环节。

目前，有将磁流变阻尼器作为桥梁拉索附加减振装置的报道[3]，但未从根本上考虑桥的墩-梁结构隔振问题。磁流变弹性体(Magneto-rheological elastomers，MRE)由磁性颗粒(如羰基铁粉)和聚合介质(如橡胶)等材料复合制成[4]，在磁场作用下其刚度阻尼特性可控，且具有响应快、可逆性好、可控能力强、稳定性好等优点[5]，已成为结构抗震减灾领域研究的新热点，如有学者研究了基于MRE支座的房屋建筑结构隔振技术，为磁流变支座用于大型路桥建筑结构抗震探索了新方向[6]。但是，如何将磁流变弹性体用作桥墩主体的新型支撑结构(可控支座)，从而提高墩-梁结构的隔振性能，还有待进一步研究。

为了探索其实际工程应用的可行性，搭建桥梁隔振系统对新型支座进行试验研究是不可或缺的环节。但在试验室中设计等比例的桥梁隔振系统难以实现[7]，而简单的比例缩小试验也不能反映出实际桥梁的隔振特性。因此，对其进行相似性研究是解决工程问题模型化的有效途径：如韩强等[8]为研究不同地震烈度对连续桥梁的影响而进行了室内梁桥模型的搭建；李哲等[9]采用相似理论对岸桥结构进行了缩尺模型研究；Polley等[10]对车辆轮胎动力学进行了比例模型化研究；冷曦晨等[11]对桩基承载力模拟试验中的相似性问题进行了研究。但将相似理论与可控的磁流变隔振方法相结合研究桥梁的隔振问题还鲜见报道。因此，如何模型化设计分析基于磁流变支座的桥梁隔振问题，仍需进一步研究。

三跨桥梁是桥梁隔振系统研究中的一类典型代表。本文针对基于磁流变支座的三跨桥梁的可控隔振难题，采用无量纲相似理论，通过比例模型设计、动力学计算仿真和小尺度模拟试验结合的方式进行了相关探索。

1 三跨桥梁隔振系统模型

以三跨桥梁为例，研究地震激励下隔振系统模型化的相似和隔振性能特征，具体过程为：通过相似理论，考虑关键的相似元素，搭建小尺度桥梁隔振试验平台；对小尺度桥梁隔振试验平台进行相似性和隔振效果评价，以确保能够反推到真实三跨桥中。隔振试验平台的设计方法如图1所示。对于三跨桥梁，在进行一定假设后可等效为等价机械系统，如图2所示。

图1 小尺度桥梁隔振试验平台设计方法Fig.1 Design method of vibration isolation platform for small scale bridge

图2 三跨桥梁等价机械系统Fig.2 Equivalent mechanical system of three-span bridge

1.1 振源的模型化

复杂的地震可以分解为若干个正弦振动的叠加。因此，可以将地震的振动加速度P(t)表达为：

(1)

式中：Pi为各频率ωi下的振动加速度幅值。

将地震传递给桥梁系统的激振力视为地震产生的加速度与桥梁系统质量的乘积，其表达式为：

F(t)=MP(t)

(2)

式中：M为桥梁系统的质量；F(t)为地震传递到桥梁系统的激振力。

1.2 隔振系统动力学模型

在各频率下桥梁系统顺桥向的状态方程为：

(3)

状态方程的初始条件为：

(4)

因此由式(3)可以解得状态方程的位移向量为：

Xi(t)={eα t[U1icos(ω′t)+U2isin(ω′t)]+

M1isin(ωit)+M2icos(ωit)}

(5)

1.3 磁流变支座的模型

自主研发了一种磁流变支座[12]，其结构的工作原理如图3所示。

图3 磁流变支座结构原理图Fig.3 Structure principle of MRB bearing

磁流变弹性体(MRE)与内嵌薄钢板形成基本隔振单元，受控的激励电流施加到线圈绕组上后，会产生磁场，在支座中形成闭环磁路从而调整MRE的流变效应；铁芯和上、下钢盘等用来承受垂向基础载荷。

磁流变支座提供的隔振力FR由磁流变弹性体的黏滞阻尼力Fη和库伦阻尼力Fτ组成，其表达式为：

FR=Fη+Fτ

(6)

通过变化激励电流实现库伦阻尼力Fτ的调控。

2 三跨隔振桥梁的相似设计

由于实际桥梁系统的复杂性，其动力学参数通常不能都用比例关系进行相似缩小。为了使模型试验能够客观地反映实际规律，并且便于试验验证，引入基于无量纲分析的相似理论来设计模型参数。

2.1 系统的相似准则设计

解得系统的π矩阵如表2所示。

表1 设计的量纲矩阵表Table 1 Designed dimensionless matrix table

表2 设计的π矩阵Table 2 Designed π matrix

因此，与π矩阵相应的无量纲量为：

(7)

2.2 隔振系统参数的相似关系

令实际工程系统和台架试验系统的参数比值分别为：

(8)

令输入激振频率Pω与固有频率之比Pωm相等，即：Pωm=Pω，此时产生的振动最为显著。对于三跨桥梁隔振系统，台架试验系统的质量和尺寸与实际工程系统存在较大差异，因此，令：

(9)

由式(7)(8)(9)可得：

(10)

2.3 系统相似性评价指标

(11)

3 系统动力学特性的仿真计算

根据实际桥梁参数，参照第2节的相似关系，对桥梁隔振系统进行建模和仿真。

3.1 试验台架的仿真参数

设计仿真参数时，需要结合实际桥梁系统参数，又必须考虑实验室实际器件的尺寸、质量和便于测量等因素，因此按照相似计算方法，先设定固有频率、质量、位移3个参数的相似比,具体为：①实际桥梁结构的固有频率较低，为保持一致性，设计台架试验系统的固有频率也应低一些，故令两系统的固有频率之比Pωm=0.5；②实际桥面质量很大，因此设计台架试验的桥面质量应小三个量级，故令两系统的质量之比Pm=5000；③实际工程系统的桥面振动位移较大，而考虑实验室实际器件的尺寸、质量等条件，应使试验系统的位移约为实际工程系统的十分之一，因此令两振动系统最大位移比Px=16。进而由式(10)求解两系统间的相似关系，如表3所示。

表4为某三跨桥梁原型系统的参数。参考相关厂家提供的工程橡胶支座原型实际参数，给出磁流变支座的结构尺寸主要参数，如表5所示。因此，根据相似关系(表3)和实际隔振重要参数(表4)，推导出台架模型的理论参数取值，如表6所示。

表3 两模型的相似关系Table 3 Similarity relations of two models

表4 实际桥梁系统的重要参数Table 4 Important parameters of an actual bridge system

表5 磁流变支座的主要参数Table 5 Important parameters of MRB

3.2 两系统动力学相似性对比

分别从桥面振动的加速度和位移两方面验证设计的两系统动力学特性具有相似性。对于桥面振动加速度，假设实际工程系统在某单一正弦位移激励x(t)=0.16sin(2πt)下振动，则根据相似关系，对应于台架试验系统应施加的位移激励为x(t)=0.01sin(4πt)；对于桥面振动位移，考虑到地震的复杂性，假设此时实际工程在复合激励x(t)=0.16sin(2πt)+0.16sin(4πt)下振动，则对应的台架试验系统应施加的位移激励为：

x(t)=0.01sin(2πt)+0.01sin(4πt)

(12)

图4 时域加速度值Fig.4 Acceleration in time domain

图5 时域位移值Fig.5 Displacement in time domain

运用Matlab对隔振相似模型和实际桥梁原型进行仿真计算，得到其对比关系，其时域加速度值如图4所示。时域位移值如图5所示。对比图4与图5可知，经过相似计算分析后，相似模型与原型的力学特性值较为吻合。

4 桥梁隔振系统的台架模拟试验

在对隔振系统进行无量纲相似参数设计和仿真计算的基础上，开展了小尺度桥梁隔振试验研究。

4.1 台架模拟试验条件分析

虽然可以通过理论计算确定隔振相似关系，在对桥梁进行模型试验研究时，受条件、经济等因素制约和模型参数之间的相互影响，很难做到模型与实物完全相似[14]。结合振动知识，在试验台搭建的过程中，着重考虑磁流变支座刚度和阻尼的相似关系，兼顾桥墩的质量和桥面的长度、质量等的相似关系，弱化各部件其他属性(如密度、强度等)的相似关系。

因此，综合考虑由式(10)得到的相似关系(见表3)、实际工程系统参数(见表4)以及市面上现有材料的情况，选取钢板作为制作桥面的材料，ABS(丙烯腈-丁二烯-苯乙烯共聚物)作为制作桥墩的材料。台架试验装置的主要参数如表6所示。

表6 试验装置的参数Table 6 Parameters of experiment apparatus

由于试验条件和经费的限制，选取最大振幅为10 mm，振动频率在1～100 Hz间可调，台面长度和宽度各为1 m的水平单向正弦波激振台模拟地震激励。受激振台台面尺寸的约束，难以在激振台上设置两个桥墩。由式(5)可知，桥墩的总质量、刚度、阻尼一致时，不会对桥面的振动位移和加速度产生大的影响，因此可以将三跨桥梁的两个桥墩简化为单墩。小尺度桥梁隔振台架试验装置实物如图6所示，试验原理如图7所示。激振台下端放置于地基上，上端与桥墩底部连接，桥墩上放置钢板(模拟梁面)，磁流变支座放置于钢板与桥墩间。桥面上分别安装有加速度传感器和位移传感器。试验时，激振台将水平振动传递给桥墩及台架试验系统，磁流变支座工作在剪切模式下，在测量桥面振动加速度和振动位移后，通过控制装置实现对磁流变支座的在线隔振调控。

图6 小尺度桥梁隔振试验平台实物图Fig.6 Bench test apparatus of small-scale bridge in laboratory

图7 小尺度桥梁隔振试验原理图Fig.7 Schematic diagram of vibration test for small-scale bridge

图8(a)为自主研发的磁流变支座，磁流变弹性体被内部线圈缠绕，当不加电流时可视为被动支座；磁流变支座在不同控制电流下的力学特性可经液压伺服力学测试机(MTS)试验测得。由于本文的重点是研究小尺度隔振试验平台与实际原型系统的相似性并验证磁流变支座的隔振效果，因此在试验中磁流变支座的控制特性可简化为不同恒定控制电流与其刚度和阻尼的关系，试验测得该关系如表7所示。图8(b)为加速度传感器，加速度传感器采用能够测量±5g(g=9.8 m/s2)的LC0809型内置压电加速度传感器，灵敏度能够达到0.001g。图8(c)为LVDT型位移传感器，测量范围为[-15，15] mm，精度可达到0.05%。

4.2 台架试验理论计算值与实际测量值对比

调整激振台，输入振幅为10 mm、频率为2 Hz和3 Hz叠加的复合正弦振动。对传感器测量的数据进行滤波后，与理论计算的加速度和位移进行对比。加速度、位移以及加速度响应的对比结果如图9所示，结果显示，参数指标基本吻合(相似度可达到80%以上)。可通过改进试验条件来提高这些指标的相似度。

图9 桥面加速度位移及加速度响应的试验值与理论值对比Fig.9 Acceleration,displacement and acceleration response of bridge deck in experiment and in theory

4.3 台架试验隔振效果

选取桥面振动位移、桥面振动加速度系统加速度响应和支座剪切力作为隔振效果的评价指标。

采取给支座通以恒定电流的控制方式，当给磁流变支座通以3 A的电流时，对加速度传感器测得结果滤波后，其时域对比如图10(a)所示，频域对比如图10(b)所示；对位移传感器测得结果滤波后，其时域对比如图10(c)所示，频域对比如图10(d)所示。

调整振动试验台，施加2 Hz、10 mm的振动，由式(11)计算得到的加速度响应对比值，如图11所示。

图10 隔振效果对比Fig.10 Comparison of vibration isolation effect

图11 加速度响应Fig.11 Acceleration response of system

由于试验条件的限制，没有安装剪切力测试仪，故对于支座的剪切力采取间接计算的方式获得。计算公式为：

Fm=kn×(Lm-Ln)

(13)

式中：Fm为支座的剪切力；kn为支座的刚度；Lm为桥面振动位移；Ln为振动试验台的振动位移。

计算所得剪切力的时域图如图12所示。当支座剪切力增大时，剪力-位移滞回曲线面积变大，表明支座对地震能量的耗散能力增强[15]。

图12 磁流变支座的剪切力Fig.12 Shear stress of MRB

从图10～图12可以看出，给磁流变支座通以电流之后，桥面振动加速度峰值最大减小42%，桥面振动位移峰值最大减小36%，支座剪切力峰值最大增加41%，大大降低了振动对桥梁结构的危害。

5 结束语

推导出了基于相似理论的三跨桥隔振原型与小尺度试验模型的主要关系，设计了小型隔振模拟试验系统，对比分析了桥面振动加速度和位移的理论值与实测值的相似性，结果表明其具有良好的一致性，说明试验系统能够揭示出桥梁可控隔振原型的主要隔振性能。

基于磁流变支座的三跨桥梁隔振系统相对于传统的被动隔振，桥面振动加速度峰值最大减小了42%，振动位移峰值最大减小了36%，支座剪切力峰值最大增加了46%。表明磁流变支座在降低桥梁振动和提升地震能量耗散能力方面具有明显效果。

参考文献：

[1] 卢凯良,张卫国,吴志君,等. 集装箱起重机减隔震装置及其模型试验[J]. 振动、测试与诊断,2011,31(4):501-506.

Lu Kai-liang,Zhang Wei-guo,Wu Zhi-jun,et al. Anti-seismic device design for container crane and its model test[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis,2011,31(4):501-506.

[2] Ju B X,Yu M,Fu J,et al. A novel porous magnetorheological elastomer: preparation and evaluation[J]. Smart Materials and Structures,2012,21(3):035001.

[3] 王修勇,陈政清,何旭辉,等. 斜拉桥拉索风雨振控制的智能阻尼技术[J]. 振动与冲击,2002,21(3):26-30.

Wang Xiu-yong,Chen Zheng-qing,He Xu-hui,et al. Control of wind-rain-induced vibration of stay cables on cable-stayed bridge using smart damping[J]. Journal of Vibration and Shock,2002,21(3):26-30.

[4] 陈琳. 磁流变弹性体的研制及其力学行为的表征[D]. 合肥：中国科学技术大学工程科学学院,2009.

Chen Lin. The development and mechanical characterization of magnetorheological elastomers[D]. Hefei:School of Engineering Science,University of Science and Technology of China,2009.

[5] 龚兴龙,邓华夏,李剑锋,等. 磁流变弹性体及其半主动吸振技术[J]. 中国科学技术大学学报,2007,37(10):1192-1203.

Gong Xing-long,Deng Hua-xia,Li Jian-feng,et al. Magnetorheological elastomers and corresponding semi-active vibration absorption technology[J]. Journal of University of Science and Technology of China,2007,37(10):1192-1203.

[6] Li Y,Li J,Tian T,et al. A highly adjustable magnetorheological elastomer base isolator for applications of real-time adaptive control[J]. Smart Materials and Structures,2013,22(9):095020.

[7] 李锐,杜鹏飞,徐文韬,等. 基于相似理论的短型浮置板磁流变隔振试验研究[J]. 仪器仪表学报,2014,35(1):200-207.

Li Rui,Du Peng-fei,Xu Wen-tao,et al. Magneto-rheological vibration isolation model experimental study on discrete floating slab based on similarity theory[J]. Chinese Journal of Scientific Instrument,2014,35(1):200-207.

[8] 韩强，杜修力，刘文光，等. 不同地震烈度下隔震连续梁桥模型振动台试验[J]. 中国公路学报,2008,21(6):50-56.

Han Qiang,Du Xiu-li,Liu Wen-guang,et al. Shaking table test of isolated continuous girder bridge model under different earthquake intensity excitations[J]. China Journal of Highway and Transport,2008,21(6):50-56.

[9] 李哲，胡吉全，王东，等. 地震载荷作用下岸桥结构单参数畸变相似模型研究[J]. 振动与冲击,2014,33(20):164-169.

Li Zhe,Hu Ji-quan,Wang Dong,et al. Distortion model of container cranes subjected to seismic load[J]. Journal of Vibration and Shock,2014,33(20):164-169.

[10] Polley M, Alleyne A G. Dimensionless analysis of tire characteristics for vehicle dynamics studies[C]∥Proceeding of the 2004 American Control Conference, Boston,USA,2004:3411-3416.

[11] 冷曦晨,佴磊,亓宾. 桩基承载力模拟试验中相似性问题[J]. 吉林大学学报：地球科学版,2005,35(4):491-495.

Leng Xi-chen,Nie Lei,Qi Bin. Similarity in the simulation test for bearing capacity of pile foundation[J]. Journal of Jilin University (Earth Science Edition),2005,35(4):491-495.

[12] 李锐,牟文俊,陈世嵬,等. 小尺度磁敏弹性体支座的结构设计及性能分析[J]. 仪器仪表学报,2016,37(10):2399-2406.

Li Rui,Mu Wen-jun,Chen Shi-wei,et al. Research on structure design and performance of a small-scale magneto-rheological elastomeric bearing[J]. Chinese Journal of Scientific Instrument,2016,37(10):2399-2406.

[13] 宋彦君,刘寒冰,谭国金,等. 基于应变计的梁式桥位移响应测试方法[J]. 吉林大学学报：工学版,2012,42(增刊1):198-201.

Song Yan-jun,Liu Han-bing,Tan Guo-jin,et al. Displacement response test method of beam bridge based on a strain gauge[J]. Journal of Jilin University (Engineering and Technology Edition),2012,42(Sup.1):198-201.

[14] 黄俊明，周孔亢，徐兴,等. 空气悬架固有频率试验研究及理论分析[J]. 机械工程学报,2011,47(14):114-119.

Huang Jun-ming,Zhou Kong-hang,Xu Xing, et al. Theoretical analysis and test research of eigen-frequency of air suspension[J]. Journal of Mechanical Engineering,2011,47(14):114-119.

[15] 高欣,吴晓伟,田俊. 轻骨料混凝土剪力墙非线性有限元模型的构成及影响其抗震性能的因素[J]. 吉林大学学报：工学版,2015,45(5):1428-1435.

Gao Xin,Wu Xiao-wei,Tian Jun. Structure of nonlinear finite element model of lightweight aggregate concrete share wall and the factors affecting seismic performance[J]. Journal of Jilin University (Engineering and Technology Edition),2015,45(5):1428-1435.