初中数学“伪理解”成因及策略探究

陈芬

摘 要：正确对待数学练习或检测中学生的“粗心”等“伪理解”现象，探究认知模糊、思维模糊、审题模糊产生的原因。尝试通过数学学习中的“四清”来破解“三糊”：弄清错误点，集中纠错；理清知识疑点，归纳反思；析清重点，挖掘隐藏的条件；梳清知识树结构，变式编题拓展，避免学生形成“习惯性粗心”，从而提高数学学习的品质。

关键词：初中数学；伪理解；审题

学生在数学练习或测试中，经常会出现“粗心”“没有看清题意”“计算错误”等情况，这是值得关注的一个问题。学习数学的过程，其实是从不懂到理解再到运用的阶段，是从同型模仿到自主分析、自主探究的过程。如果学生只是将错误的原因归因于偶然，而不去探究根本原因，久而久之会养成“习惯性粗心”，大大降低数学学习的效率，学生就会慢慢失去对数学学习的兴趣。因此，教师需要指导学生认真探究错误原因，透过表面“粗心”发现其实“伪理解”的本质，并有系统、有条理地引导学生自主解决问题，不断提高学生的数学学习能力，增强其数学深入学习的信心。

一、“伪理解”原因探究

学生对于数学知识运用的过程中表现出来的错误，主要是学生对知识点的“伪”理解所致，究其原因主要是“三糊”。

（一）认知模糊

数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映，是一种数学的思维形式。在数学中，作为一般的思维形式的判断与推理，以定理、法则、公式的方式表现出来，而数学概念则是构成它们的基础。正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象能力的前提。而在练习和测试中，学生往往因为不重视数学概念的理解和掌握，从而降低了学习数学的有效性。

案例1 （1）（浙教版七上）已知一元一次方程（a-1）x+|a+1|=0有一个根为0，则a=_______。

学生错误解法：|a+1|=0，即a=1或a=-2

（2）（浙教版八上）已知一次函数y=（a-1）x+a2-a的图象经过（0，0），则a=_______。

学生错误解法：a2-a=0，即a=1或a=0

（3）（浙教版八下）已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-x+a2-a=0有一个根为0，则a=_______。

学生错误解法：a2-a=0，即a=1或a=0

错因分析：表面上看是学生对一元一次方程、一次函数、一元二次方程的概念认识模糊，把系数a-1≠0给漏了，导致此类题目错误。相似的题型，相同的错误，说明是此类题错误的一种延续。若对此类问题纠错不到位，在接下来学习一元二次方程根的判别式及二次函数时，还会犯同样的错误。

案例2 （1）（浙教版八下）一元二次方程（k-1）x2+（2k+1）x+k=0有实数根，求k的取值范围。

学生错误解法：△=（2k+1）2-4k（k-1）≥0，解得k≥-■

（2）（浙教版八下）方程（k-1）x2+（2k+1）x+k=0有实数根，求k的取值范围。

学生错误解法：△=（2k+1）2-4k（k-1）≥0且k-1≠0，即且k≥-■且K≠1。

错因分析：题（1）是对案例1错误的一种延续，忽略了“一元二次方程”这个概念ax2+bx+c=0中的a≠0，即k-1≠0，k≠1，所以且k≥-■≠1。题（2）的错因其实是方程、一元一次方程、一元二次方程概念模糊。方程里包括一元一次方程和一元二次方程，从而需要从两个方程的角度来考虑问题，而学生看到了“x2”就会界定此方程为一元二次方程，忽视了k-1=0时，此方程是x=0，是一个一元一次方程，同样满足题目的要求。每次在说到方程和一元二次方程时，学生都能把概念说清楚，但在运用时总是失误，这就是缺少了思维的严密性和严谨性。

案例3 （浙教版九年级上）（1）二次函数y=（k-1）x2+（2k+1）x+k与x轴有两个交点，求k的取值范围。

学生错误解法：△=（2k+1）2-4k（k-1）>0，解得k>-■

（2）二次函数y=（k-1）x2+（2k+1）x+k与坐标轴有两个交点，求k的取值范围。

学生错误解法一：△=（2k+1）2-4k（k-1）≥0且k-1≠0，即k≥-■且k≠1

学生错误解法二：△=（2k+1）2-4k（k-1）=0，解得k=-■

错因分析：题（1）中的错误是案例1案例2错误的延续，模糊了二次函数的概念，忽略了a≠0，即k-1≠0，k≠1。题（2）中学生错误解法一，由于思维定式，学生想当然地认为是与x轴的两个交点，忽视了关键词“坐标轴”的概念——x轴和y轴，導致理解偏差。学生错误解法二，虽然学生能分析出与y轴已经有了一个交点，另一个交点必定是在x轴上，从而得到△=0，可“与y轴的一个交点”中（0，0）的特殊性（既在x轴上，也在y轴上）不清楚，因此就归纳不出函数图象“过原点也可以”的结论。

总之，学生如果对概念理解不透彻，只是模糊套用，就会出现学生常犯的“粗心”错误。比如：零指数幂、负指数幂、分式、分式方程等概念以及（-2）2和-22，（■）2和■等形式，学生刚开始凭借记忆性的思维解题，不会出现错误，若时间间隔长了，概念忘记了，只能按照自己的思维定式解决，其实就是没有真正理解概念，也就是机械学习。

（二）思维模糊

思维指的是人脑对客观现实的概括和间接反映，属于人脑的基本活动形式。数学思维就是数学地思考问题和解决问题的思维活动形式。《数学教学课程标准》中明确指出，思维能力主要是指：会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎和类比进行推理；会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；能运用数学概念、思想和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质。

案例4 （浙教版七年级上）（1）3+5÷（-■）×（-6）

学生错误解法：3+5×■×6=8

（2）3+5÷（-■）×62

学生错误解法：3+（-5×■×36）=-27

错误原因分析：题（1）的错误在于符号确定和除法法则两个思维混乱。学生主观上想着可以先确定符号，同时又想着“除以一个不为零的数等于乘以它的倒数”，两个思路同时碰撞，同时进行，就出现了错误。题（2）也是如此，乘方和除法法则相互干扰，学生没有重视，这样的计算简化，自然容易导致错误。这样的问题反映出的是学生计算能力不足，学生轻观察和分析，存侥幸心理，大大提高了“粗心”的比重。如果学生在计算中，知道如何进行计算，明白实施这些步骤的理由，就能提高计算的正确率。

（三）审题模糊

审题就是对题目的含义进行分析、研究，从而正确地把握问题，理解题意，明确题目要求，确定答题方式等。审题是合理、正确解题的基础。审题不清就是学生通过读题，没有明确题意，使得解决问题的方向有偏差或考虑问题不全面，最终出现了学生的“粗心”现象。

1.条件不聚焦，答题错误

学生经常在审题时会把焦点放在常见的关键词上，比如“二次函数”“等腰三角形”“分式”……或者只是关注题目中给出的方程、函数解析式、几何图形等，往往会忽视题目中其他的条件：取值范围、隐含条件或者其他关键词“不大于”“不小于”等等。

案例5 （1）已知二次函数y=x（x-8）（0≤x≤3），则关于该函数的值的最大值为_____；最小值为_____。

学生错误解法：最大值为：无，最小值为-16

（2）如图，A、B是双曲线y=■上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为C。若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为________学生错误解法：■

错误原因分析：题（1）中，学生在审题时把焦点放在二次函数的解析式和最大值上，而遗漏了自变量的取值范围0≤x≤3，导致了答题错误。题（2）中学生会把重心放在∣k∣与面积的关系，忽视了图像上的隐含条件k<0。学生没有挖掘出这个条件，解题就不能正确了。

2.方向不正确，答非所问

学生在答题过程中经常出现一种连题目的最后问题是什么都不知道就开始答题的“粗心”，急功近利，自己编造问题，答非所问。这样的问题并不少见，特别是数学功底越好的学生，就越容易在这类问题上丢分。

案例6 （1）已知：已知|a|=3，|b|=2，且a

學生错误解法：由题意得：a=±3，b=±2；∵a

（2）若单项式-3x4a-by2与单项式2x3ya+b是同类项，则这两个单项式的和是______。

学生错误解法：a=1，b=1。

错误原因分析：题（1）是比较常见的题目，特别是条件部分，从学绝对值开始，几乎都会看到类似的题目。学生熟悉，就会产生思维偏差，看最后的问题都省略了，想当然地以为跟以前题目一样，只是求a+b而已；题（2）是在学习《二元一次方程组》时出现的题目，学生看完前半部分，找到关键词“同类项”，很快就列出方程组，解出答案a=1，b=1，殊不知已经掉入了题目的陷阱中。如果能仔细看问题，就会发现跟a、b没有关系，只要按要求找到“x3和y2”即可。

3.变化不关注，模式应答

学生如果对题目比较熟悉，读题速度就会很快，就像拍照一样“咔嚓”一下就开始做题。这样读题导致学生不能对题目进行正确、全面地观察，往往被一些表面现象所吸引。

案例7 （1）计算：-99■×26

学生错误解法：（-100+■）×26=-2598

（2）绝对值不大于5的所有正整数有_______。

学生错误解法：±5，±4，±3，±2，±1，0

错误原因分析：-99■×26可以找到跟它差不多的计算题，如-99■×99，49■×20，学生习惯用凑10凑100简便运算，即（-100+■）、（50-■），受类似■、■的影响，只要看到-99■，直接定势为（-100+■）；同样下一题也受“绝对值不大于5的所有整数有_____”影响，由于受大脑信息内存的影响，导致审题不清，看题快，没有区别“正整数”和“整数”两个概念，模式应答。

4.原理不明晰，胡搬乱造

初中数学中的阅读理解题往往题目较长，题目可以是对新概念的规定，也可以是新结论的运用，甚至是推理方法的应用。很多学生对这类题非常“感冒”，第一时间觉得很难、很烦，不想看其中的原理，凭着对感觉胡乱一写。这不仅仅是“粗心”问题，更是审题的态度问题。

案例8 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）等。类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈2次方”，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）记作（-3）④，读作“-3的圈4次方”，一般地，把a÷a÷a÷…÷a（n个a）（a≠0）记作■，读作“a的圈n次方”。

初步探究

（1）直接写出计算结果：2③=8，（-■）④=■；

深入思考

我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？

（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式.（-3）④=81；5④=625；

（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于______；

（3）算一算：122÷（■）④-（-■）⑥÷33。

错误原因分析：以上阅读理解题只要老师稍作点拨，学生就知道正确的解题方法，这些看似粗心导致的错误，其实就是原理不清晰。类似这样的概念性问题或推导题，需要学生认真读题而不是“看问题”。案例8就是一个普遍的错误：学生读题时直接跳跃至问题，根据问题的字面意思简单思考，匆忙下结论。如果遇到自己有点会的，就把它当做普通综合题来做。学生看到题目偏长，静不下心来认真读题，浮躁、不耐烦，自然不可能认真观察、分析和探究了。阅读题往往都会隐含着结论或推理的方法，只要抓住它的特点，基本都不会做错。

二、数学理解中“去伪存真”的策略

综上原因分析，在数学理解中要去伪存真，可以运用以下四种策略：

（一）一清：弄清错点，集中纠错

《新课程标准》指出：数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的。费赖登塔尔说：“学习数学的唯一正确方法就是实行‘再创造，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来。”纠错就是把在练习或检测过程中出现的错误集中起来，分析错误原因，及时纠正。

案例9

■

■

评析：认知心理学派认为，错误是学习的必然产物。因此认真对待错误，让错误的价值最大化，显得尤为必要。心理学家盖耶认为“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富成效的学习时刻”。因此，把错误当作一种资源，培养学生的纠错能力，有利于学生巩固数学概念，掌握正确的思想方法，同时帮助学生养成分析问题、解决问题的能力，养成良好的学习习惯。

（二）二清：理清疑点，归纳反思

学生可以从数学角度对现实中出现的各种问题进行归纳与反思，对数学课上所学到的重难点，作业、考试中的易错题作记录。

案例10 学生反思：这周，老师给我们归纳了一些无图式的一题多解题。刚开始体验时，我总是思维定式，想当然地考虑问题。比如：“等腰三角形一腰上的高线与另一腰成40°，求顶角。”还有“已知△ABC中，AD⊥BC，且AB=20cm，AC=13cm，AD=12cm，求BC的长。”我在画图的时候就只画锐角三角形，所以造成了漏解。通过老师的分析，让我意识到，对于无图或存在疑问的题目，需要我们全方位地考虑，不能只凭感觉。老师还告诉我们，当遇到一些几何难题时，可以按要求画图。图画好后，标出它的已知条件，然后再一步一步地进行分析，很快思路就清晰了，就能很快地把题给解出来。我还真做出来了。看来，做几何题，画图很重要呀！

评析：美籍数学教育家波利亚说“如果没有了反思，题目就错过了解题的一次重要而有效益的方面”。南京大学哲学系教授、博士生导师郑毓信教授说“学生的错误不可能单纯依靠正面的示范和反复的练习得到纠正，而必须是一个自我否定、自我反思的过程”。归纳与反思不容易受时间和空间的影响，学生有足够的业余时间可以利用。反思的过程，可以促使学生对数学学习过程进行全方位的了解，找到自己的思维漏洞，培养学生自我剖析的能力，从而达到自我预防错误，自我解决问题的能力，从而提高学习的有效性。

（三）三清：析清重点，挖掘隐因

审题过程中，为了让学生养成良好的审题习惯，可以让学生抓住数学问题中的小细节进行圈划，比如：用笔圈出题目中的关键条件、要求和问题，尤其要注意括号中的内容，几何题中有图像的最好在圖像中标示出已知的条件，并挖掘图形中的隐含条件，在做题时，还要思考检查所圈出来的每一个条件是不是都用到了。

案例11

（1）已知：■，■，且a

（2）-■相反数的倒数是______

（3）下面是两个多位数1248624…、6248624…、都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以二，若积为一位数，将其写在第二位上，若积为两位数，则将其个位数写在第二位。对第二位数字再进行如上气喘吁吁西伯利亚得到第三位数字… 、后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上打哈哈毛毛虫到的。若第一位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是______

评析：心理学认为，观察是人的一种有目的、有计划的知觉，它是知觉的高级形式。同时，观察与思维是紧密联系在一起的。在观察的过程中自始至终地伴随着思维活动。通过圈圈点点或者默读题目，有意识地去关注在题目中经常出现的自己容易犯错误的关键字眼，将它们一点点总结到一起，比如一看到“（）”你就要提醒自己里面的内容很重要；一看到“方程”就想到一元一次方程还是一元二次方程或者两者都可……一旦有了足够多的积累，那么，学生在审题时，就会马上意识到这道题题目哪里是重要条件，哪里是容易忽略的关键条件，题目的问题是什么，有没有需要注意的，脑海里马上就可以呈现。通过这样有意识地引导学生观察，就培养了观察能力，积累审题经验，进而提高审题能力。

（四）四清：梳清节点，变式拓展

《新课程标准》指出：数学知识中，要注重知识的“生长点”和“延伸点”，注重梳理清楚各个知识的结构和体系，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解。

案例12 原题：（浙教版九（上）《1.3二次函数的性质》作业题

求下列二次函数的图象与x轴交点的坐标

（1）y=■x2-6x（2）y=-2x2-3x+2

拓展：①二次函数y=-x2-3x+1的图像与x轴有几个交点？

②当k是什么值时，二次函数y=（k-1）x2+（2k+1）x+k的图象与x轴没有交点？

教师变式：①k取何值时，二次函数y=（k-1）x2+（2k+1）x+k的的图象始终在x轴的下方？

③k取何值时，不等式（k-1）x2+（2k+1）x+k<0恒成立？

学生编题：①k取何值时，方程（k-1）x2+（2k+1）x+k=0没有实数根？

②k取何值时，二次三项式（k-1）x2+（2k+1）x+k的值总是负数？

评析：“理解一道题，达到会一类题”是数学学习应用能力的体现。心理学上说：变式指通过变更对象的非本质特征以突出对象的本质特征而形成的表现形式，也指通过变更对象的本质特征以突出对象的非本质特征，从而显示概念的内涵发生了变化。变更人们观察事物的角度或方法，以突出对象的本质特征，突出那些隐蔽的本质要素，这样可以达到深度学习。

深度学习是指个体能够将其在一个情境中的所学运用于新的情境的过程，也就是“迁移”。从原题出发，让学生学会深入挖掘题目根源，通过“拓展、变式”，运用类比、对比等方法，恰当的变更问题情境或改变思维角度，把相关的知识系统衔接起来，培养学生的应变能力，引导学生从不同途径寻求解决问题的方法，彻底理清楚各知识之间的联系。“学生编题”更是对知识点的巩固，也是学生数学能力的体现。通过这样的多思，多用，激发学生思维的积极性和深刻性。

初中数学学习过程中，学生不仅要学习数学的知识和技能，同时也需要提高分析问题、解决问题的能力。仔细读题，认真审题是分析问题和解决问题的前提，也是良好的数学学习习惯之一。在今后的教学中，我们可以运用以上“四清”策略来解决练习中的“伪理解”问题，帮助学生养成良好的学习习惯和思维方式，从而提高学生数学学习的能力。

参考文献：

中华人民共和国教育部《义务教育数学课程标准》北京师范大学出版社2012年1月

（作者单位：浙江省建德市新安江第三初级中学）