从博弈论角度看“公地悲剧”

江海霞

摘 要 传统的西方经济学认为，当资源或财产有许多拥有者，他们每一个人都有权使用资源，但没有人有权阻止他人使用，由此导致资源的过度使用，即为“公地悲剧”。这一分析忽视了参与人在制定相关策略时的相互制约机制，同时传统的西方经济学以“经济人”为前提，然而在現实中并不是每个人都是理性“经济人”，利他主义、社会意识、公正追求的品质和观念也是广泛存在的。构建一个由A、B两个代表性家庭组成的博弈模型，引进重复博弈和以牙还牙策略，从而得出传统的“公地悲剧”并不是必然结果的结论。

关键词 “公地悲剧”；内生制约机制；行为经济学

前言

“公地悲剧”是指一项资源或财产有许多拥有者，他们中的每一个都有使用权（非竞争性），但没有权利阻止其他人使用（非排他性），从而造成资源过度使用和枯竭。这一案例最早出现在哈丁1968年发表的《公地的悲剧》一文中，它讲述的是，在一个村庄中有n户家庭以放羊为生，公共草场的最大承载力的放牧数量为q1，此时每户的平均放牧量为q1∕n，但在“经济人”假设下，每户家庭总是以最求自身利润最大化为目标，此时总的放牧量为q2（q2>q1），此时达到了个人最优，但不是社会最优，破坏了帕累托最优配置，产生了外部不经济。在草场资源既定的条件下，必然会出现公共资源的枯竭，即所谓的“公地悲剧”。过度砍伐的森林、过度捕捞的渔业资源及污染严重的河流和空气，都是“公地悲剧”的典型例子。传统的经济学提出通过集体决策或明确土地使用规定来解决上述问题，但是在考虑到农户在决策时存在的连续重复博弈和内在制约机制时，“公地悲剧”并不是公共资源配置的必然结果。

一、“公地悲剧”的博弈模型解释

1.博弈的设定

假定一个由n个家庭组成的村庄，每一户都有牧羊的传统，并且根据以往的经验他们清楚地知道公共草场的最优饲养量，即q1，此时每户的最优饲养量为q1/n。相应的，由于公共资源的非竞争性，在市场价格一定的条件下，增加饲养数量总是能给农户带来更多的收益，此时农户的饲养数量至少为q1/n。每个家庭拥有两种选择：限额或者超额。

为了简化分析，我们将分析两个典型农户A和B，他们共同拥有这片草场，同时两者的决策数量都受到对方的制约。A和B都有两个策略，即限额和超额。如果A超额而B限额，那么A的收益为a，B的收益为b且a>b，因为在价格保持不变的前提下，供给的数量越多则利润越大；如果A限额B超额，那么B的收益为a，A的收益为b且a>b；当A、B同时限额生产时，这个小型经济体的总收益为T，A、B的收益都为T/2且T>a+b，a>T/2，作为农户超额放牧的激励，此时社会的资源达到合理配置，每个人的收益也达到了最大；同时若是A、B都超额此时的总收益为C，两者收益各为C/2且C

2.博弈的分析

假定A、B两者都是在信息完全的情况下做出决策，即A和B都知道对方的两种选择和相应的支付分布状况，那么双方存在两种博弈方式：同时博弈和连续博弈。

第一种，同时博弈。就A而言，如果B选择限额，那么A将选择超额，相反如果B选择超额，A则选择限额；同样的就B而言，A选择限额，B则选择超额，A选择超额，B则选择限额。在上述的支付矩阵中出现两组纳什均衡解，即（限额，超额）、（超额、限额）。此时确实是出现了过度放牧的问题，产生了“公地悲剧”。

在产生两组纳什均衡解的情况下，A和B会以一定的概率选择限额和超额。假设A选择限额概率为r1，超额概率为1-r1，相应的B选择限额的概率为r2，超额的概率为1-r2，此时A的期望收益为E（A）=r1*[r2*T/2+（1-r2）*b] +（1-r1）*[a*r2+（1-r2）*C/2]，最大化A的收益得MAX（A）=T/2*r2+b*（1-r2）- ar2-C/2*（1-r2）=0，则r2=（b-C/20）/ （a-b-T/2-C/2），同理可得r1=r2= （b-C/20）/（a-b-T/2-C/2），因此若A、B分别以以r1、r2的概率选择限额，则双方的决策将不会受到对方的影响。

从上述支付矩阵可以看出A、B的联合分布概率，出现（限额，限额）的概率为r1*r2，出现（超额，超额）的概率为（1-r1）*（1-r2），两者做出相反决策的概率即（限额，超额）或（超额，限额）的概率为r1+r2-2r1*r2，此时A、B中至少有一人偏离了社会最优规模，产生了负的外部性，形成了所谓的“公地悲剧”。从前面的计算过程中看出，“公地悲剧”出现的概率为1-r1*r2，而A、B总是以大于0的概率选择限额，即r1、r2大于0，从而“公地悲剧”出现概率小于1，这与传统的经济学观点得出的“公地悲剧”必然出现的结论有所不同。可以发现在公共资源的配置并不必然伴随着“公地悲剧”的产生。

第二种，连续博弈。在现实生活中有的人掌握了更多的信息从而具有先动优势，这时就存在这连续博弈。本文假定A是先动者，B是追随者，信息完全，支付矩阵中的数值同上，连续博弈的拓展式如下：

从上面的拓展式中看出对于A而言，因其是先动者，故一定会选择超额决策，此时的收益为a，与此同时，B是后动者，在A选择超额放牧的前提下最好的选择是限额，此时获得收益为b。此时确实会出现“公地悲剧”。

二、“公地悲剧”的非必然性

从上述分析中看出，不论是同时博弈还是连续博弈，都会出现“公地悲剧”，然而上述的分析是建立在单次博弈而不是重复博弈的基础之上，在重复博弈下，情况会有所不同。

首先看分析同时博弈。从上述分析中我们知道A、B会以r1*r2的概率选择（限额，限额），以（1-r1）*（1-r2）的概率选择（超额，超额），同时以r1+r2-2r1*r2选择（限额，超额）或（超额，限额）。即以1-r1*r2的概率形成“公地悲剧”在最后一种情况中双方受益的差额是|a-b|，在第二种情况中A、B的收益为最小值。

无论是A还是B选择超额的动机都是获得超额收益a-T/2，A、B双方在选择超额时总是假定对方选择限额，此时便多獲得a-T/2收益。在单次博弈中会存在这种可能，假设在第一次博弈中A选择超额而B 选择限额，此时A获得超额收益a-T/2，但在第二次博弈中B知道A没有遵守信用，他可以与A进行谈判，在A没有遵守信用的前提下，自己在第一次博弈中遭受了损失T/2-b，如果A继续超额放牧，那么自己也会超额放牧，即使自己的收益会下降到C/2，同时A的损失a-C/2>B的损失b-C，那么A必然在第二次博弈中选择限额。可以看出在重复博弈下并不必然出现过度放牧，相反，参与人之间存在内在制约机制，可以使社会资源得到最优配置。

上述的假设建立在A、B两个参与者相互合作的基础之上，现在假设在村庄中合作的成本为V，收益为M，只要合作的收益大于不合作的收益即M-V>a-T/2，那么限额牧羊就是值得的。只要双方达成协议，内生的机制就会使（限额，限额）成为均衡解，此时没有任何一个人存在打破均衡的激励机制，“公地悲剧”便不再发生。

在连续博弈中也是存在同样的工作机理，只要后动者能够对先动者形成威胁。面对A采取超额策略，B最好的选择是选择限额，A长期处于优势地位而B则永远被动采取策略，如果B能够对A产生威胁，即不惜放弃现有收益而采取以牙还牙策略，那么A则很有可能采取限额策略。

以上所有的结论都是建立在理性经济人假设之上，即A或B一定会采取超额策略来最大化自身收益，然而在现实生活中，特别是在农村牧场这样的小型经济体中，并不是以最大化自身收益的行动指南，比如社会风俗和诚信观念也会影响参与人的决策，如乡亲邻里会为了维持良好的关系而自觉遵守限额的规范，同时还会存在为了维持当地的生态环境而自觉减少放牧量的情况，所以在重复博弈下存在内生的相互制约机制使“公地悲剧”不再成为必然。

三、结论

通过上述分析，在重复博弈的内生约束机制和行为经济人的假设下，传统的“公地悲剧”模型不再成为必然，相反，无需第三方的介入和集体决策的情况下，参与人之间的内生约束机制可以使社会资源实现最优配置，实现帕累托最优。

参考文献：

[1]高鸿业：《西方经济学：微观部分》第六版.342-346页.北京.中国人民大学出版社.2014

[2]湛志伟.“公地悲剧”及其治理的博弈分析[J].经济评论， 2004 （03）：49-52.

[3]张维迎.《博弈论与信息经济学》.85页.上海.上海人民出版社. 1996.