数学名题在高考命题中的应用

梁志红

【摘 要】本文分析数学名题在高考命题中的应用情况，指出这种应用有直接采用数学名题、采用数学名题的变形、以数学名题为基本素材这三种主要形式，以例讲解，为高三学生提供良好有效的复习策略。

【关键词】数学名题 数学典籍 高考命题

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2018）01B-0154-02

随着新课标改革的进行，高考命题中开始越来越多地出现一些数学名题的身影，对其稍加整合或变形，很容易就成为了高考中数学的命题新形式。因为数学名题一般都极具知识点代表性和考查重心特点，这些题目的解法具有较为独到的构思和较为新颖的解题技巧，使学生得到较好的考查，这些名题在高考命题中受到一定程度上的欢迎。我们知道，每一年高考数学命题都是高中师生关注的焦点，教师摸清楚命题者在设计高考数学题时的思路与方向，便于为高三学子提供良好的有效的复习方向，提高数学复习的效率。而研究数学名题的原题、变形、改编等是非常有效的途径，因此，本文研究数学名题在高考命题中的应用。下面从具体的几个方面加以阐述。

一、直接采用数学名题

在高考命题中直接采用数学名题来进行命题的例子并不少见，因为数学名题中蕴藏的考点很多，所以有些高考命题中会直接选取这些数学名题来作高考命题的参考。比较常见的直接采用数学名题内容来命制高考试题的有欧拉定理、中国剩余定理、丢潘图的墓志铭、不说话的学术报告，等等。将数学名题直接用在高考命题中的例子有：

〖例 1〗（2014 年湖北高考数学 理科）8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一。该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 π 近似取为 3，那么近似公式 ，相当于将圆锥体积公式中的 π 近似取为（ ）

无需过多解释，单从这道高考题的题干來看，就知道其借用的是“囷盖算术”这一经典的数学名题，其中也无多大的变形，它几乎是直接运用数学名题，但是，其中考查的数学要点不容忽视。这一题主要考查圆锥体的体积公式，考查学生的阅读理解能力。它虽是一道基础的数学题目，但题干较长，使得学生在面对此类题目的时候会出现一定的初始晕题效应。《算术书》作为我国古代著名的数学典籍，其中蕴藏了许多数学奥秘，像这里提出来的“囷盖算术”就是圆锥体积公式的早期形成与运用。它虽以文字的形式出现，但其中的数学道理都是经过后代无数的验证的。在此题目中，可以直接运用 这个公式作为中间站点，建立方程来进行求解。设圆锥底面圆的半径为 r，高为 h，则 L=2πr，然后就比较容易通过方程求出这里 π 近似取值的大小。除此之外，平时还要注意如“秦九韶算法”等古代名题，这些也是高考命题中的热点。就“秦九韶算法”而言，求多项式的时候，可以将它直接转移应用。像这些数学名题，较好地考查学生的思维能力、理解能力、解题能力。这在提倡素质教育的今天，它成为高考数学命题中的一个重点，我们要给予更多关注。

二、采用数学名题的变形式

在高考数学名题当中，与数学名题的直接运用相比，采用数学名题的变形来进行高考命题更为常见。在近些年来，几乎各地的高考数学卷子上都有此类题目出现。经过对数学名题进行适当变形，把数学名题中所蕴藏的道理经过整合后更好地运用到高考命题当中，拓宽考查点，更好地考查学生运用数学知识的能力和掌握解题技巧的能力，这在高考命题中受到广泛欢迎。

〖例 2〗（2012 年全国高考理科数学试题——新课标）2.（5分）将 2 名教师和 4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动。每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有（ ）

A.12 种 B.10 种 C.9 种 D.8 种

2012 年高考全国卷考的这道有关计数原理的题目，其中所运用的数学名题就是四色定理，它在这个数学名题的基础上，经过适当变形而来，在解题的技巧上仍然存在一定的相通之处。学生在解答这道高考数学题的时候，可以分为三步进行。第一步，为甲地选择一名老师，有 C21=2 种选法；第二步，为甲地选择两名老师，则有 C42=6 种；第三步，为乙地选 1 名教师和 2 名学生，有 1 种选法。综合求解，则共有 12 种（2×6×1=12）不同安排的方案，这道选择题的答案 A 就自然而言地显现出来。而在四色定理中，其作为世界近代三大数学难题之一，主要内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同颜色”。这其中就考察了计数原理的问题，但其可能更为复杂，可能还会运用到几何双面属性的问题，在其分析中，对学生思想层面的要求较高。但在这道高考题中，它就进行了变形，重点考查学生分析题目的条理性和步骤性。除此之外，还有许多高考试题都是由一些数学名题变形而来。有的还出现在数学大题的考查当中，但它一般并不会进行全部变形，使其中某一小问的解题思路与这些名题类似。运用这些数学名题的思维来解答这些高考数学题，是解答数学问题的捷径，有效提高解题效率。

三、以数学名题为基本素材

高考命题中以数学名题为基本素材是近些年来数学名题在高考命题中应用的一个重要的趋势，特别是以世界数学名题为基本素材的高考题，从题目的表面来看，其似乎与这些数学名题无多大关系，但是仔细来看，其命题思路与相应的数学名题有极大的相通之处，但并不是说学生掌握此类数学名题之后就可以很轻松地解出答案。学生可以借助这些名题的思想方法当作辅助工具，在复杂多样的题型新颖的高考题中找到熟悉感。但其中也会有陷阱，因此备受高考数学命题者的偏爱，使得其在如今的高考命题中占据了越来越大的比重。

〖例 3〗（2015 年高考数学浙江卷）18.（15 分）已知函数 f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记 M（a，b） 是 |f（x）| 在区间 [-1，1]上的最大值。

（1）證明：当 |a| ≥2 时，M（a，b）≥2；

（2）当 a，b 满足 M（a，b）≤2 时，求 |a|+|b| 的最大值。

看这道题目，似乎没有什么特别之处，但第（2）问在求解 |a|+|b| 的最大值时，当 a=b=0 时，|a|+|b|=0，又 |a|+|b|≥0，所以 0 为最小值，符合题意；对任意 x∈[-1，1]，有 -2≤x2+ax+b≤2，得到 -3≤a+b≤1，且 -3≤b-a≤1，易知 |a|+|b|=max{|a-b|，|a+b|}=3，在 b=-1，a=2 时符合题意，所以 |a|+|b| 的最大值为 3。这里的解答就间接运用了数学名题中的“彭罗斯阶梯”，它指的是一个始终向上或向下但却走不到头的阶梯。这表面看似与求最大值不相关，但是命题思路上存在较大的相关性，需要学生考虑数值的各个方面，运用其中的回归原点的中心思想，考虑题目的全面性。这里只是以此类数学名题为基本素材，进行变形、拓展，抓取其中的一个要点，作为高考命题的中心，再结合高中数学学习重点进行整合，成为高考命题中的一个亮点。

总的来说，数学名题在高考命题中的应用主要有直接采用数学名题、采用数学名题的变形、以数学名题为基本素材这三种主要形式，其中直接采用数学名题做高考题并不十分多见，但是后两种却在高考命题中有着较为广泛的应用，因其具有更为广大的思考的空间，考查的内容更为贴合高中生数学学习的实际。新课改后，高考命题的形式更注重对学生各方面能力的考查，而不仅考查学生的基础理论知识。数学名题蕴藏丰富的知识，这些名题的变换在很大程度上贴合新课改的要求，因此研究数学名题在高考命题中的应用具有进一步探析的意义。

【参考文献】

[1]董裕华.高等数学背景下的高考数学命题探析[J].中学数学杂志，2007（7）

[2]钟咏锋.新课程标准下数学高考命题的研究[J].中学课程辅导：教师教育，2017（2）

[3]张乃贵.高考命题设计思路探析——研究课本题，创造新问题[J].数学通讯，2009（2）

[4]张夏强.邱 云.数学名题在高考命题中的应用[J].中学数学教学，2011（1）

[5]彭 锋，邓元洁.数学史在数学高考题中的渗透[J].数学教学研究，2016（6）