巧用整体法，妙解方程题

◎江苏省泰州市高港实验学校七（6）班 李可人

在一次数学课外阅读活动中，我遇到了一组求解方程组的问题：

我一看，不就是解方程组吗？难不倒我！

解方程组（1），得

对于方程组（2），我先化简为然后用加减消元法先消去x，解得y=0，再将y=0代入化简后的第一个方程，解得x=2，故方程组（2）的解为

可是，还没等我算出结果，小明同学早就报出了结果，和我的结果一模一样.我很纳闷，小明怎么就那么快呢？这两个方程组之间有什么关联吗？我再仔细观察发现：除了未知数不同外，两个方程组的结构特征、系数都完全相同，如果把方程组（2）中的（x+2）和（y-1）看作整体，它们不就分别是方程组（1）中的a和b吗？因此，把方程组（1）的a、b替换成x+2、y-1不就直接得到即吗？用“整体”的思维方法解方程组（2），从分析到解决时间都不到1分钟，这是多么神奇啊！

从那之后，我开始有意识留心用“整体”方法来解决方程组的问题，越来越觉得用“整体”的方法真是省时又省力.如：

例1若方程组

的解互为相反数，求a的值.

常规方法是先解方程组，将x和y用含a的代数式表示出来，得再根据“互为相反数”列出方程：，解得a=-1.

从另外一个角度观察两个方程发现，未知数x的系数分别为3、1，未知数y的系数分别为1、3，相同未知数系数的和都是4.故想到用整体方法，将方程（1）与方程（2）直接相加可得：4x+4y=2+2a，即4（x+y）=2+2a，再将x+y=0代入，可得a=-1.看，这正是整体思想的功劳.

例2 解方程组

常规方法是代入消元法或加减消元法.但仔细观察可发现：4x+11y=5可变形为4x+10y+y=5，即2（2x+5y）+y=5①，再将2x+5y=3看作整体，代入方程①，很快解得y=-1，再将y=-1代入2x+5y=3，得x=4.故此方程组的解为

在解题中，我们要认真审题，仔细观察方程组的特点，这时你会发现，很多问题除了有常规方法外，还有更巧妙的解决思路呢！一次班级开展“悦读有奖”活动，需要购买奖状、书签和水笔共3种奖品.老师让我购买，还出了一道题考一考大家.题目是这样的：如果购买3张奖状、2个书签和1支水笔共需要13元；如果购买5张奖状、4个书签和3支水笔共需要25元.那么，班级活动需要购买12张奖状、9个书签和6支水笔共需多少元？

我稍加思索，很快回答：57元！聪明的同学，我的答案正确吗？你是怎么思考的呢？

教师点评

整体思想方法是指在观察、思考数学问题时，把某些式子或图形看作一个整体，把握已知与所求之间的关联.有目的、有意识地用整体的方法处理问题，体现了着眼全局、通盘考虑的整体观念.整体代入、整体运算、整体设元等都是整体思想在解决数学问题中的具体运用.小作者是个有心人，她通过解题的反思发现了整体方法，然后有意识地在后续的学习中运用整体方法来解决问题，发现了运用整体方法解决问题的巧妙之处.所以，在做题时要仔细审题，留心已知条件的特征，你一定也能找到属于自己的解题妙招！